Основы биомеханики

нем. Преобразование координат опять может быть использовано, чтобы связать компоненты вектора a в какой-либо системе координат в системе отсчета А и декартовой системе в системе отсчета В, но это преобразование будет зависеть от времени.

Из рассмотренного видно, что единственная разница между системами отсчета и системами координат есть потенциальная зависимость преобразования компонент вектора от времени. Различие этих двух понятий становится более существенным в физических проблемах. Например, рассмотрим второй закон Ньютона для движения материальной точки f = ma , где f есть вектор силы, действующей на материальную точку массы m, движущуюся с ускорением a . Если А – инерциальная система отсчета (без вращения и без ускорения), то это уравнение верно в любой системе координат в А, хотя компоненты векторов, входящих в это уравнение, могут изменяться при переходе к другой инерциальной системе отсчета В, f = ma остается верным (если пренебречь релятивистскими эффектами).

Если В есть неинерциальная (вращающаяся и/или с ускорением) система отсчета, то форма закона Ньютона изменяется. Причина этого лежит в векторе ускорения a . Переход вектора f от системы отсчета А к системе отсчета В включает только одно зависящее от времени преобразование, но преобразование вектора a более сложно. Например, если f = a = 0 в системе отсчета А, то вектор f также равен нулю при определении силы наблюдателем в системе отсчета В, но масса движется с ускорением a ≠ 0 относительно этого наблюдателя в неинерциальной системе отсчета В, так как в анализе появляются сила Кориолиса и переносная сила инерции. Вектор силы есть пример величины, не зависящей от системы отсчета, или объективной, в то время как вектор ускорения a есть инвариантный к преобразованиям координат, но не индифферентный по отношению к системе отсчета (индифферентный = не зависящий).

Тензорный анализ имеет дело с преобразованиями координат.

101

7.1. КООРДИНАТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ (НЕИЗМЕННОСТЬ)

Определяющие соотношения в различных системах координат данной системы отсчета могут быть получены друг из друга с помощью не зависящего от времени преобразования координат.

Очевидно, что любая система координат может быть использована для описания движения тела. Поэтому, как и другие основные уравнения механики, определяющие соотношения должны быть записаны в тензорной форме. Это обеспечивает выполнение принципа координатной инвариантности.

7.2. ДЕТЕРМИНИЗМ

Значения напряжений в некоторой точке тела определяются историей изменения параметров во всех точках тела.

В общем случае распределение напряжений в некоторый момент времени зависит не только от мгновенных деформаций, температуры и других параметров, но также от всей истории этих величин вплоть до этого момента. Деформирование вязкоупругого материала, например, включает вязкую диссипацию энергии, которая не может быть восстановлена. Поскольку величина потери энергии зависит от траектории, приводящей к данной конфигурации, напряжения зависят от всей истории деформирования.

При деформации идеального термоупругого материала диссипация энергии отсутствует. Поэтому состояние напряжений в момент t зависит только от деформации и температуры в момент t. В идеальном упругом материале и в идеальном гиперупругом материале (со скалярной плотностью энергии деформации) температурные эффекты не учитываются, и поэтому напряжения зависят только от мгновенной деформации.

7.3. ЛОКАЛЬНОЕ ДЕЙСТВИЕ

Значения напряжений в точке Р тела существенно не зависят от значений независимых переменных вне некоторой малой окрестности точки Р.

102

Чтобы пояснить теоретическое значение принципа локального действия, рассмотрим, например, движение r(R,t) и температу-

ру θ(R,t) в точке Р в термоупругом теле. Вдобавок к этому движение и температура в произвольной точке внутри малой окрестности точки Р задаются как r(R ',t) и θ(R ',t) . Здесь R и R ' − радиусывекторы точек в недеформированной конфигурации (лагранжевы координаты), а r(R,t) и r(R ',t) − радиусы-векторы этих точек в текущей конфигурации в момент t (эйлеровы координаты) (рис. 7.2).

На рис. 7.2 u(R,t) = r(R,t) − R − перемещение точки с начальным радиусом-вектором R за время t.

Рис. 7.2. Движение деформируемого твердого тела

При достаточно гладкой деформации в окрестности точки Р можно применить разложение в ряд Тейлора

103

С помощью принципа локального действия эти соотношения указывают, что движение и температура в точке (частице) термоупругого тела могут быть определены через значения этих величин

иих производные по координатам в соседней точке.

Всоответствии с классическими работами Трусделла и Нолла материалы называются простыми, если производные выше первой игнорируются в соотношении (7.1). Тогда эти соотношения и прин-

Зависимость от R имеет место в неоднородном материале. Следовательно, в начально однородном термоупругом теле напряжения зависят только от мгновенных значений тензора градиента

7.4. РАВНОПРИСУТСТВИЕ

Независимая переменная, которая входит в какое-либо определяющее соотношение для данного материала, должна входить во все определяющие соотношения для данного материала.

Здесь мы имеем дело с ситуацией, когда кроме тензора напряжений σ определяющие соотношения определяют другие зависимые переменные, например внутреннюю энергию u или энтропию η. Так, если важны химические эффекты, то химический потенциал может быть добавлен к числу независимых переменных для каждого определяющего соотношения. Для термоупругого материала с химическими эффектами мы имеем

104

7.5. ФИЗИЧЕСКАЯ ДОПУСТИМОСТЬ

Определяющие соотношения должны быть совместны с фундаментальными физическими законами сохранения (массы, количества движения, момента количества движения, энергии) и законом энтропии (вторым началом термодинамики).

Согласно принципу физической допустимости определяющие соотношения не должны противоречить основным законам механики сплошной среды. Например, известно, что теорема о моменте количества движения (в отсутствие распределенных моментов) ведет к заключению, что тензор напряжений Коши симметричен. Поэтому определяющие соотношения не должны нарушатьэту симметрию.

7.6. МАТЕРИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Определяющие соотношения должны быть инвариантны (неизменны) при не зависящих от времени преобразованиях системы координат, соответствующих симметриям, характерным для материала.

В биологических материалах часть имеют место некоторые типы материальной симметрии: ортотропная, траневерсально изотропная и изотропная. Определяющие соотношения также должны иметь эти типы симметрии. Например, для гиперупругого материала функция плотности энергии деформаций должна удовлетворять этим ограничениям.

7.7. МАТЕРИАЛЬНАЯ ОБЪЕКТИВНОСТЬ (ИЛИ МАТЕРИАЛЬНАЯ ИНДИФФЕРЕНТНОСТЬ)

Определяющие соотношения должны быть инвариантны (неизменны) при жестких вращениях пространственной системы отсчета (системы наблюдателя).

Этот постулат требует более подробного рассмотрения. В этом постулате утверждается, что имеется система отсчета А (может быть,

105

несколько систем отсчета), где определяющее соотношение верно и где производные по времени находятся наблюдателем, который неподвижен в этой системе отсчета. Например, второй закон Ньютона для материальной точки

верен в инерциальных системах отсчета. Аналогичная ситуация, предполагается, имеет место для определяющих соотношений в представительных объемах сплошной среды.

По определению, тензор (в частности, вектор), который инвариантен (неизменен) в различных системах отсчета, называется индифферентным по отношению к системам отсчета, или объективным. Например, таким является вектор силы f . Тензор (в частности вектор), который не инвариантен (меняется) в различных системах отсчета, называется зависящим от системы отсчета, или необъективным. Например, вектор ускорения a зависит от системы отсчета наблюдателя.

При изменении системы отсчета (скажем, от А к В) форма определяющего соотношения не изменяется, но некоторые члены могут изменяться. А именно индифферентные члены остаются неизменными, но индифферентные члены в системах отсчета А и В должны быть связаны друг с другом.

Во многих случаях определяющее соотношение включает производные тензорных величин по времени. Эти производные могут зависеть от выбора системы отсчета. Например, эйлерова производная (в неподвижном пространстве) отличается от лагранжевой производной (вычисленной подвижным наблюдателем).

В частности, производные по времени могут быть неиндифферентными. Определяющее соотношение, содержащее эти производные, должно быть переформулировано и производные по времени в системе отсчета В должны быть связаны с производными в системе отсчета А. В результате вместо производных по времени в системе отсчета В мы получим новые производные в системе В, которые называются коротационными или объективными производными.

106

Например, в неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона может быть переформулирован согласно теореме Кориолиса

m (ae +ac + ar ) = f ,

где ae − переносное ускорение, ac = 2ωe × vr − ускорение Кориолиса, ar и vr − относительное ускорение и относительная скорость, находимые наблюдателем в новой, вообще говоря, неинерциальной

Полученное соотношение (7.5) индифферентно и верно в любой системе отсчета.

7.8. ОБЪЕКТИВНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ В МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА

107

Предполагая, что соотношение (7.7) может быть обобщено в тензорном виде, мы можем написать соотношение (7.6).

Сначала мы решим эту задачу с точки зрения наблюдателя, который вращается вместе со стержнем.

Этот наблюдатель находит следующие величины:

108

Далее мы решим эту задачу с точки зрения неподвижного наблюдателя. В этом случае имеем

Врезультате мы получили соотношения (7.9) и (7.10), которые противоречат друг другу. Однако скорости деформации, вычисленные в двух системах отсчета, отличающихся на движение твердого тела, должны быть одинаковыми.

Вчем же заключается ошибка наших рассуждений? Естественно предположить, что определяющее соотношение

(7.6) верно в подвижной системе отсчета, вращающейся вместе со стержнем, и производная по времени вычисляется подвижным наблюдателем. Тогда решение (7.9) верно. В нашем решении неподвижный наблюдатель «забыл», что σ& в (7.6) не есть производная по времени относительно неподвижной системы отсчета, но производная по времени относительно подвижной системы. Соответствующие производные по времени относительно подвижной системы являются коротационными, или объективными производными. Можно заметить, что тензор σ является всегда индифферентным и тензор ξ

также является индифферентным, если различные системы отсчета движутся относительно друг другу как жесткие тела.

Чаще всего предполагается, что определяющее соотношение верно в системе отсчета, вращающейся вместе с представительным объемом с угловой скоростью ω = 0,5rot v (в соответствии с теоремой Коши–Гельмгольца о разложении движения бесконечно малого элемента сплошной среды). Тогда, решая краевую задачу в неподвижной

109

системе отсчета, мы должны ввести соответствующую коротационную производную.

В механике существует ряд таких производных в зависимости от того, в какой подвижной системе отсчета мы считаем верным определяющее соотношение. Если такой системой является подвижная система, вращающаяся с угловой скоростью ω = 0,5rot v , то мы получим производную Яуманна–Нолла (Jaumann–Noll). Эта производная была первоначально введена австрийским ученым Яуманном в 1911 году и опубликована в Вене. Затем эта производная была введена в механику сплошной среды американским ученым Ноллом (1951).

Сначала мы найдем производную Яуманна–Нолла для вектора. Напомним, что эта производная есть производная по времени для наблюдателя, вращающегося с угловой скоростью ω = 0,5rot v относительно неподвижной системы отсчета. Доказательство вполне аналогично теореме сложения скоростей в классическом курсе теоретической механики.

Пусть мы имеем произвольный вектор a = ak ek (напомним, что по повторяющемуся индексу k проводится суммирование от 1 до 3), где ek – базисные векторы декартовой (для простоты доказательства) системы координат в движущейся вращающейся системе отсчета.

Из тензорного анализа известно, что для каждого псевдовектора ω имеется ассоциированный тензор W второго ранга в соответствии с формулой

110