Основы биомеханики

вектора напряжений. Возможны также смешанные граничные условия. Например, в некоторых точках могут быть даны две компоненты вектора скорости и одна компонента вектора напряжений, или наоборот. Также возможно граничное условие, где даны соотношения между компонентами векторов скоростей и напряжений.

В данном тексте используются следующие обозначения: а – скаляр, a – вектор (тензор первого ранга), α – тензор второго ранга, A – тензор четвертого ранга.

Тогда постановка начально-краевой задачи определения росто-

Здесь σ − тензор напряжений, b − вектор массовых сил, ρ − плотность тела, r − радиус-вектор точки, v − вектор скорости, ξ − тензор

скорости деформации, − оператор Гамильтона (набла), « » − точка означает скалярное произведение тензоров различных рангов;

3) определяющее соотношение (Хсю, 1968) [4]:

влияние напряжений на деформацию роста.

В общем случае тензоры A и B зависят от времени и координат.

21

Тензор ξe есть тензор скорости упругой деформации и в случае малой деформации он описывается формулой

В итоге система уравнений (2.1–2.6) есть система дифференциальных уравнений начально-краевой задачи определения ростовой деформации в упругой системе. Мы имеем 16 скалярных уравнений для определения 16 скалярных функций координат и времени

( σ, ξ, v, ρ).

2.3. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО РАСТУЩЕГО УПРУГОГО ТЕЛА

Предположим, что ростовые деформации развиваются в рас-

сматриваемой области изотропно, т.е. компоненты тензоров A% и B% не зависят от вращения (и отражения) декартовой ортогональной системы координат.

22

В этом случае тензоры называются изотропными, компоненты которых, по определению, не зависят от вращения (и отражения) осей координат. Другими словами, эти компоненты не зависят от ортогонального преобразования базисных векторов.

Известно [5], что среди тензоров второго ранга имеется только один линейно независимый изотропный тензор

Среди тензоров четвертого ранга имеется три линейно независимых тензора [5]

Поэтому предположим, что тензор Bijkl есть линейная комбинация линейно независимых тензоров (2.8)

Простое вычисление позволяет получить

(B σ)ij = Bijkl σkl = λ δij σkk +µ (σij + σji ) + µ1 (σij −σji ) .

Здесь и далее применяется правило суммирования А. Эйнштейна: повторяющийся индекс означает суммирование при изменении индекса от 1 до 3.

Далее, предполагая симметрию тензора напряжений ( σij = σji ),

Окончательно скорость деформации роста можно представить в следующем виде:

23

Во многих случаях удобно разложить тензор напряжений на сферический и тензор-девиатор:

Для сравнения запишем компоненты упругой деформации

а также компоненты скорости упругой деформации

где введены упругие модули

Очевидно, что соотношения (2.12) и (2.15) довольно похожи друг на друга. Кроме члена с тензором A и заменой напряжений на скорости изменения напряжений можно отметить следующее разли-

чие формул (2.12) и (2.15).

Из второго начала термодинамики следует, что в (2.15) G ≥ 0 и K ≥ 0 , что ведет к ограничениям

24

В соотношении (2.12) для ростовых деформаций такие ограничения отсутствуют.

Соотношение (2.12) может быть написано в тензорной форме.

где g − метрический тензор, s − тензор-девиатор напряжений.

Далее мы приведем определяющее соотношение для ростовой деформации в другой форме.

Допустим, что в соотношении (А) заложены дополнительные условия λ = 0, 2µ = B (новое обозначение).

Тогда в соответствии с (2.10)

Соотношение (А) примет вид

Жизнь каждого человека проходит стадии эволюции (усложнения структуры и функции органов и тканей) и инволюции (обратный процесс упрощения структуры и функций органов и тканей). На стадии эволюции нужно предположить, что A > 0 , напротив, на стадии инволюции предполагается, что A < 0 .

Предположим также, что в соотношении (2.21) B > 0 . При таком предположении растяжение будет стимулировать рост ткани,

25

а сжатие, наоборот, подавлять рост (закон Хютера-Фолькмана, Германия, XVIII век).

В настоящее время всемирно известен компрессионно-дистрак- ционный метод для лечения различных патологий костной ткани, в частности при переломах и недоразвитии конечностей (акад. Г.А. Илизаров, Курган, Россия). В данном случае управление ростовыми деформациями позволяет достичь удлинения конечностей, доходящего до 50 см. Например, на этом основано лечение ахондроплазии (нарушении роста кости, приводящее к недостаточному росту конечностей при нормальных размерах туловища).

Заметим также, что если в соотношении (2.21) положить A = 0 , то получим определяющее соотношение линейно-вязкой (или ньютоновской) жидкости.

В заключение этого параграфа отметим, что соотношение (2.22) помогает анализировать сколиоз – заболевание позвоночника, заключающееся в его искривлении во фронтальной плоскости.

Пусть имеется начальная кривизна позвоночника во фронтальной плоскости. Причиной этого искривления может быть какая-либо асимметрия ворганизме(например, различная длина нижних конечностей вследствие ахондроплазии; асимметрия в зубочелюстной системе; асимметрия в мышечной системе и т.д.),

(рис. 2.2).

26

неустойчиво по отношению к малым возмущениям из-за наличия деформаций роста.

Вопрос к читателю: Что можно предложить для лечения искривления позвоночника (сколиоза) с помощью биомеханических методов?

2.4. МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ СКОЛИОЗА

При решении поставленной проблемы необходимо учесть не только ростовую деформацию позвоночника, но и действие скелетномышечной системы.

Дадим следующую постановку рассматриваемой проблемы. Пусть ребенок имеет заболевание ахондроплазию, привед-

шее к различной длине ног. В результате позвоночник наклонён на угол α к горизонту. Усилия мышц представляются парой сил

смоментом М, удерживающей голову в вертикальном положении

(рис. 2.3).

По-видимому, это условие отражает стремление к вертикальному положению головы человека. Механизм этого управления связан

сдеятельностью центральной нервной

27

Применяя классическую теорию изгиба балок Бернулли– Эйлера, можно записать следующее:

продольная скорость деформации нейтральной оси позвоночника (как балки), y − расстояние волокна балки от нейтральной оси,

k − кривизна нейтральной оси, k& −скорость изменения кривизны нейтральной оси.

Далее вводятся силовые факторы: M = ∫σ y ds − изгибающий момент,

S

Внашем случае мы имеем k& = 0 .

Витоге, получаем дифференциальное уравнение относительно искомой функции M (t)

E

28

возрастает.

Можно также сформулировать другую задачу. Пусть при t = 0 известны начальная конфигурация позвоночника и момент мышц. Как должен изменяться угол α(t) , чтобы сколиотическая деформа-

ция не росла совсем или изменялась как можно медленнее?

29

В некоторых методах лечения сколиоза управление углом α(t)

достигается путем ношения обуви с различной толщиной стельки. Анализ показывает, что таким способом невозможно полностью подавить развитие искривленности, но возможно замедлить этот процесс.

2.5. РАСЧЕТ РОСТОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Имеется два независимых стержня: 1 и 2 (рис. 2.4). Каждый стержень имеет упругие и ростовые свойства: Ei − модуль Юнга

( i = 1, 2 ), Si − площадь поперечного сечения, Ai , Bi − реологические коэффициенты определяющего соотношения. При t = 0 длины стержней равны.

Рис. 2.4. Два растущих стержня

Каковы должны быть допустимые силы F1 (t) и F2 (t) , создающие одинаковые длины стержней?

l1 (t) = l2 (t), или ξ1 (t) = ξ2 (t), t.

В данной задаче скорость ростовой деформации имеет вид

Изопределяющегосоотношения(2.27) дляобоихстержнейимеем

30