Основы биомеханики
..pdf
Несколько слов о различии понятий вектора и псевдовектора. Оба могут быть представлены в виде a = ak ek = a1e1 + a2e2 + a3e3 , где
e1 ,e2 ,e3 − орты декартовой ортогональной системы координат, Поня-
тия вектора и псевдовектора возникают при переходе к новой декартовой ортогональной системе, т.е. при операциях поворота и отражения исходной системы координат. Компоненты вектора при переходе от системы Ох1х2х3 к системе Ох′1х′2х′3 преобразуются согласно формуле ai′ = αik ak (сумма по k от 1 до 3), где αik − косинус угла между «новой» осью xi′ и «старой» осью xk (i, k = 1, 2, 3). Компоненты
псевдовектора при повороте системы координат преобразуются так же, а при отражении они приобретают обратный знак.
Например, пусть имеем исходную систему Ох1х2х3, а затем переходим к новой системе Ох′1х′2х′3 путем
отражения в |
плоскости |
Ох1х2, |
т.е. |
|
(рис. 7.5) х′1=х1, х′2= х2, х′3= – х3. |
|
|||
В |
этом |
случае |
α11 = α22 |
=1 , |
α33 = −1 , |
остальные αik = 0 . Принимая |
|||
формулу ai′ = αik ak , получим a1′ = a1 , |
Рис. 7.5. Отражение оси |
||||||||||||||||||||
a2′ = a2 , a3′ = −a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Именно так преобразуются, например, компоненты вектора |
|||||||||||||||||||||
скорости точки v , т.е. |
|
v1′ = v1 , v2′ = v2 , v3′ = −v3 . Компоненты же псев- |
|||||||||||||||||||
довектора ω = 0,5rot v |
|
преобразуются иначе – они приобретают об- |
|||||||||||||||||||
ратный знак. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Например, ω3 = |
|
∂v |
|
− |
∂v |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∂x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
Для компонент вектора должно быть ω3 = −ω3 . |
|||||||||||||||||||||
Здесь же (поскольку х′1 = х1, х′2 = х2, v′1 = v1, v′2 = v2) получим |
|||||||||||||||||||||
ω′3 = |
1 |
|
|
∂v′ |
∂v′ |
|
|
1 |
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
||||||
|
|
|
2 − |
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
2 |
− |
|
1 |
= ω3 . |
|||||
|
|
∂x2′ |
|
|
∂x1 |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
∂x1′ |
|
|
2 |
|
|
∂x2 |
|||||||||||||
111
Таким образом, компоненты псевдовектора при вращении системы координат преобразуются так же, как компоненты вектора, а при отражении – меняют знак.
Вычисление показывает, что для вектора ω = 0,5rot v ассоциированный тензор W есть тензор вихря (антисимметричная часть тензора градиента скорости v ) с компонентами.
|
1 |
|
∂v |
|
|
|
|
∂v j |
|
|
|
W = |
|
|
i |
|
− |
|
, |
i =1, 2, 3, |
(7.13) |
||
2 |
∂x |
|
|
∂x |
|||||||
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
i |
|
|
||
или в тензорных обозначениях |
|
|
|
|
|||||||
|
|
W = |
1 |
( v − v). |
(7.14) |
||||||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, из (7.11) и (7.12) мы найдем производную Яуманна-Нолла для вектора a .
a = a& − W a. |
(7.15) |
Аналогичное вычисление может быть сделано для тензора второго ранга T =Tij eie j :
|
d T |
= |
|
dTij |
|
e |
e |
|
+T |
de |
i |
e |
|
+T e |
|
de j |
|
= |
|||||||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
i dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
ij |
dt |
|
j |
|
ij |
|
|
||||||||||||
|
=T&ij |
eie j +Tij ω×ei e j +Tij ei ω×e j = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
=T& |
e |
e |
j |
|
+T W e |
e |
j |
|
+T e |
i |
W e |
j |
= |
|||||||||||||||
|
|
ij |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
ij |
|
i |
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
||||
|
=T& |
|
e |
e |
j |
|
|
+ W T e |
e |
j |
−T e |
e |
j |
W, |
|||||||||||||||
|
|
ij |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
ij |
i |
|
|
|
|
ij |
i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
−T |
W, |
|
|
|
||||||
|
|
|
T |
=Tij eie j + W T |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где было использовано соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W a = a W = −a W, |
|
|
|
(7.16) |
|||||||||||||||||||
112
здесь W − тензор транспонированный к W, а так как в данном случае W тензор антисимметричный, то W = −W .
Окончательный результат для производной Яуманна-Нолла тензора второго ранга
T |
|
& |
(7.17) |
|
= T − W T + T W. |
Еще раз укажем, что существуют различные возможности выбрать подвижную систему отсчета (причем система отсчета может быть даже деформируемой). Это ведет к различным коротационным производным. Эти производные носят имена Зарембы, Олдройда, Коттера, Ривлина, Трусделла и других ученых.
Вернемся к примеру (см. рис. 7.3).
Мы имеем определяющее соотношение (7.6)
ξ = Aσ+ Bσ&,
которое, по предположению, верно в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ω = 0,5rot v .
Это дает результат
ξxx |
= |
AP |
cos2 ωt. |
(7.18) |
|
||||
|
|
S |
|
|
Получим этот результат с точки зрения неподвижного наблюдателя. Вместо (7.6) мы должны записать определяющее соотношение в виде
|
|
ξ = Aσ+ Bσ , |
|
(7.19) |
где |
|
|
|
|
σ |
|
& |
W |
(7.20) |
|
= σ− W σ+ σ |
есть производная Яуманна-Нолла с тензором W.
W= 1 ( v − v) − тензорвихря. 2
113
Подставляя (7.20) в (7.19), мы получаем правильное определяющее соотношение
ξ = Aσ+ B (σ− W σ+ σ W). |
(7.21) |
& |
|
В данной задаче мы имеем
σx ' x ' = P ,
S
σxx = P cos2 ωt,
S
σyy = P sin2 ωt,
S
σxy = P sin (ωt )cos (ωt ).
S
ξxx = Aσxx + Bσ&xx − B (Wxx σxx +Wxy σyx ) +
+B (σxxWxx + σxyWyx ) = Aσxx + Bσ&xx − 2BWxy σxy .
|
= |
1 |
|
∂v |
x − |
∂vy |
|
Wxy |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
2 |
∂y |
∂x |
|||
Вектор скорости точки
v = ω×r,
vx = ωy z −ωz y = −ωy, vy = ωz x −ωx z = ωx,
|
W = |
1 |
(−ω−ω) = −ω. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получим |
|
|
|
|
|||
ξxx = A |
P |
|
cos2 ωt + B |
P |
(−2ωcos (ωt ) sin (ωt )) + |
||
|
|
||||||
|
S |
|
|
S |
|||
|
P |
|
|
|
|
||
+2Bω |
|
|
cos (ωt ) sin (ωt ) , |
||||
|
|
||||||
|
S |
|
|
|
|
||
114
ξxx |
= A |
P |
cos2 ωt. |
(7.18) |
|
||||
|
|
S |
|
|
Мы вновь получили тот же результат.
В заключение отметим, что в данном разделе предложены основные принципы для формулирования определяющих соотношений. Эти принципы представляют ограничения для возможных форм определяющих соотношений в механике сплошной среды.
7.9. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что такое определяющее соотношение?
2.Приведите примеры определяющих соотношений?
3.Почему важно знать определяющее соотншение?
4.Почему трудно найти определяющее соотношение в живых системах?
5.Перечислите основные принципы для определяющих соотношений.
115
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ
Дадим определение определяющего соотношения в общем случае. Отметим еще раз, что построение определяющих соотношений является наиболее важным и сложным вопросом в механике и особенно в биомеханике.
Пусть мы имеем некоторую систему А (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Система А с входными и выходными параметрами
Х − входные параметры, описывающие внешнее воздействие на систему, Y − выходные параметры системы. Х и Y − тензоры некоторого ранга.
В общем случае определяющее соотношение для системы А есть соотношение между Х и Y.
Y = Φ(X), |
(8.1) |
где функциональная зависимость Ф определяется процессами, проходящими в системе.
В простейшем случае пусть A − частица (материальная точка). Тогда X = f есть сила, действующая на эту частицу, величина Y должна описывать движение этой частицы как результат действия силы. В соответствии со вторым законом Ньютона
a = |
f |
, |
(8.2) |
|
|||
|
m |
|
|
где a − ускорение частицы, m − масса частицы. В этом случае Y = a .
116
Другие простые примеры – система материальных точек и абсолютно твердое тело, где закон Ньютона должен быть написан для каждой частицы системы.
В механике континуума (сплошной среды) в качестве системы обычно берется представительный объем сплошной среды. Этот объем является бесконечно малым (в смысле механики сплошной среды), но содержит достаточное количество элементарных частиц. Тогда определяющее соотношение связывает тензоры напряжений и деформаций (и/или скоростей деформаций) в этом объеме, а также, возможно, другие параметры (температура, плотность, структурные параметры и др.).
Общее выражение определяющего соотношения для континуальной системы имеет вид
σ(R,t) = Φ(ε, θ, ρ, ck |
, ...) |
|
t |
, |
(8.3) |
|
|||||
где θ − температура, ρ − плотность, ck |
|
|
−∞ |
|
|
− структурные параметры. |
|||||
В общем случае для системы с памятью параметры в правой части соотношения (8.3) должны быть известны в точке R (лагранжевы координаты данной частицы) в течение периода времени (−∞;t] и, возможно, в других точках тела.
Соотношение (8.3) может быть определено из эксперимента и с помощью теоретических рассмотрений.
Микроскопические методы (рис. 8.2) означают рассмотрение взаимодействий элементарных частиц (атомов, молекул и др.) и постепенный переход к макроскопическому определяющему соотношению (8.3). Этот способ кажется наиболее логичным и перспективным. Но появление многих неизвестных функций и параметров делает это приближение пока мало реальным. Движение в этом направлении (благодаря развитию современных компьютеров) продолжается и обещает успехи в будущем.
Внастоящее время, как правило, определяющие соотношения
вмеханике сплошной среды определяются с помощью макроскопического метода вместе с направленными экспериментами.
117
Рис. 8.2. Подходы к построению определяющих соотношений
Мезамеханика занимает промежуточное место между микромеханикой и макромеханикой. Это означает рассмотрение сплошной среды как совокупности структурных элементов, отражающих реальную структуру системы. Такой подход кажется перспективным для более корректного определения макроскопических определяющих соотношений, отражающих структуру системы.
8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА (МОДУЛЯ УПРУГОСТИ) ТРАБЕКУЛЯРНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ
Вэтом разделе мы применим приближения макромеханики
имезомеханики, чтобы связать упругий модуль (модуль Юнга) Е трабекулярной ткани с ее эффективной плотностью. Известно, что трабекулярная (или спонгиозная) костная ткань локализуется вблизи суставов. Эффективная плотность трабекулярной костной ткани определяется методами денситометрии (как правило, это делается путем проникновения электромагнитных или ультразвуковых полей внутрь кости.) Определение модуля Юнга индивидуального пациента важно для разработки методов, ориентированных на пациента, при диагностике и лечении болезней костных тканей.
8.1.1. Макроскопическая модель
Эффективные характеристики костной ткани могут быть найдены с помощью континуальной (макроскопической) модели. В этом случае структура кости не рассматривается. Кость моделируется как континуальная структура (в нашем случае как изотропная ткань).
118
Для простоты мы рассмотрим двумерную модель трабекулярной кости. Наблюдаемый образец в виде прямоугольной пластины подвергнем сжимающему нагружению интенсивности p на верхней и нижней границах. Координатные оси направлены параллельно нагруженной границе (ось Ох) и перпендикулярно ей (ось Оу), ось Оz перпендикулярна плоскости рисунка (рис. 8.3).
Предполагается, что имеет место плоское напряженное состояние
|
|
|
σiz = 0, |
i = x, y, z. |
|
|
|
|||||
|
|
Пренебрегая объемными сила- |
|
|||||||||
ми и силами инерции, мы имеем |
|
|||||||||||
уравнение равновесия в виде |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
σ = 0, |
|
|
|
|
(8.4) |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.3. Нагруженный |
∂σ |
|
|
∂τxy |
∂τxy |
|
∂σy |
|
|
||||
x |
|
|
|
|
образец костной ткани |
|||||||
|
+ |
|
= 0, |
|
|
+ |
|
|
= 0. |
(8.4′) |
||
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
|
||||||||
Определяющие соотношения для плоского напряженного состояния (в главных осях) имеют вид
εx |
= |
1 |
σx |
− |
ν |
σy , |
εy |
= |
1 |
σy |
− |
ν |
σx . |
(8.5) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
E |
|
E |
|
|
E |
|
E |
|
||||
Если проблема формулируется в напряжениях (перемещения не определены), то граничные условия имеют вид
S1 : |
σy |
= −p, τxy |
= 0 |
(нагруженная граница), |
||
S2 |
: |
σx |
= 0, |
τxy |
= 0 |
(свободная граница), |
|
|
σy |
= −p, τxy |
= 0 |
(8.6) |
|
S3 |
: |
(нагруженная граница), |
||||
S4 |
: |
σx |
= 0, |
τxy |
= 0 |
(свободная граница). |
Легко проверить, что решение задачи (8.4−8.6) имеет вид
σx = 0, σy |
= −p, εx |
= νp , |
εy |
= − |
p |
. |
(8.7) |
|
|||||||
|
|
E |
|
|
E |
|
|
119
Следовательно, возможно экспериментально определить εx и εy
при данных p, а затем из формулы (8.7) определить модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона ν .
Это решение есть пример макроскопического приближения для определения механических параметров костной ткани in vitro.
В противоположность этому мезоскопическое приближение позволяет определить эти параметры in vivo, что очень важно для поиска индивидуализированных методов лечения различных болезней.
8.1.2. Мезоскопическая (структурная) модель из гексагональных элементов
Предположим, что трабекулярная ткань может быть моделирована как система гексагональных элементов. Каждая ячейка есть шестиугольный элемент. Каждая балка имитирует трабекулу. Заполнение ячеек отсутствует. Трабекулы имеют жесткие соединения в узлах.
Геометрические параметры модели: l − длина каждой балки (трабекулы), t − толщина, θ − угол наклона. Число рядов и столбцов очень велико. Весом трабекул пренебрегаем. Нагружение дискретизировано силами F.
Цель вычисления − найти соотношение между силой F (или напряжением σ) и деформацией данной структуры ε. Тогда эффективный упругий модуль
E = |
σ. |
(8.8) |
|
ε |
|
Результат должен быть выражен через эффективную плотность.
8.1.3. Трабекула как балка
Каждая трабекула моделируется как балка. В двумерном случае балка имеет 6 степеней свободы (4 координаты концевых точек и 2 угла поворота в этих точках). Деформация считается малой. Элементарная теория Бернулли−Эйлера может быть применена
120