Основы биомеханики

Аналогичное выражение может быть написано для скорости изменения эндостального диаметра De , что дает вместе с (4.17) сис-

тему двух связанных нелинейных дифференциальных уравнений. Эти уравнения не имеют прямого аналитического решения, но могут быть решены с помощью численных методов.

4.5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для вычисления и сохранения значений накопленной повреждаемости поперечное сечение было разделено на 10 000 концентрических участков вокруг оси цилиндра. Используются данные по усталости согласно формуле (4.11), где можно вычислить поведение при усталости кости при температуре 37 °C и плотности 1,8 г/см3 .

Для физиологической нагрузки используется значение 25 Н, после чего вычисляется скорость повреждаемости под физиологической нагрузкой по поперечному сечению кости. Эти данные используются как скорость восстановления повреждаемости (обозначаемая как ω& RE ) для дальнейших вычислений, поэтому скорость восстановления

повреждаемости затем используется для всего вычисления.

Рис. 4.3. Перестройка сечения бедренной кости

81

Для вычислений был выбран крутящий момент 25 Нм, так как это дает уровень напряжений, который существует физиологически (приближенный максимум напряжений равен 47 МПа). Приложенная нагрузка была затем уменьшена в два раза, что вызвало перестройку, такую, что периостальная и эндостальная поверхности двигаются, при этом сечение делается тоньше.

Интегрирование дифференциальных уравнений для функций Dp (t) и De (t) производится шаговым методом с использованием

аппроксимации Эйлера. Конечная картина кости после перестройки достигается после 1000 шагов по времени.

Результаты вычислений показаны на рис. 4.3.

4.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое повреждаемость живой ткани?

2.Каковы причины повреждаемости?

3.Как объяснить накопление повреждений?

4.Чем в смысле повреждаемости отличаются живые и неживые системы?

5.Где, по вашему мнению, в организме человека особенно вредна повреждаемость?

6.Что такое трансплантат?

82

ГЛАВА 5. ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМИРУЕМОСТЬ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ

5.1. ТВЕРДЫЕ ТКАНИ – ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ (ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ) БИОМАТЕРИАЛОВ, МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Биоматериалы используются для замены твердых и мягких живых тканей. Они, как и живые ткани, могут подвергаться стационарному и переменному нагружению.

Вводится понятие сплошности (Качанов, 1958), или коэффициента упаковки (см. формулу (4.2) и рис. 4.1).

ψ = F0 − F .

F0

Качановым были предложены кинетические уравнения, описывающие изменение величины ψ ,

dψ = 0 при σmax ≤ 0. dt

Физический смысл уравнений (5.1) заключается в том, что сплошность, описывающая накопление микротрещин в объеме материала, уменьшается только тогда, когда имеются растягивающие напряжения в объеме; при наличии только сжимающих напряжений – роста микротрещин и, соответственно, уменьшения сплошности не происходит.

Заметим, что в уравнениях (5.1) не учитывается явление залечивания материала, поэтому эти уравнения применимы не к живым тканям, а только к неживым биоматериалам.

83

Далее, при условии σmax ≥ 0 проинтегрируем уравнения (5.1). Применим метод разделения переменных.

ψn dψ = −Aσnmax dt,

При полном разрушении (ψ = 0) и при условии σmax (t) = const(t) получаем

1+ = AσnmaxT. n 1

Здесь Т − время до полного разрушения.

84

При кусочно-постоянном нагружении из (5.3) получаем принцип линейного суммирования повреждений (Робинсон, 1952),

рис. 5.1.

5.2. МЯГКИЕ ТКАНИ – ПОЛЗУЧЕСТЬ (ВЯЗКОЕ РАЗРУШЕНИЕ), БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ

Вновь рассмотрим простой эксперимент на одноосное растяжение (см. рис. 4.1) и введем следующие обозначения:

σ= P − компонента тензора напряжений Коши;

F

ε = ln l − компонента тензора деформаций Генки, или лога- l0

рифмическая мера деформации;

ξ = d ε = 1 d l − компонента тензора скоростей деформации. d t l d t

Поведение образца показано на рис. 5.2.

Для установившейся ползучести обычно вводится степенной закон Нортона–Хоффа (Norton−Hoff)

85

Далее кратко рассмотрим неустановившуюся фазу ползучести

(рис. 5.3).

Рис. 5.3. График функции β(t)

Во время этой фазы ползучести закон Нортона–Хоффа может быть несколько модифицирован.

где

87

Тогда будем иметь

Соотношение (5.13) совпадает с соотношением (5.6) (с заменой t на τ). Следовательно, решения уравнений (5.6) и (5.13) также совпадают. В частности, «приведенное время» до разрушения

5.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Чем различаются хрупкое и вязкое разрушения?

2.Объясните отличие повреждаемости от ползучести?

3.Чем различаются большие и малые деформации?

4.Какие критерии разрушения вы знаете?

88

ГЛАВА 6. МНОГООСНОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИМПЛАНТАТАМ МЯГКИХ ТКАНЕЙ

В излагаемой теории принимаются следующие гипотезы, верность которых проверена экспериментально.

1) Материал несжимаем.

Распишем соотношение (6.1) более подробно, при этом учтем, что во всем изложении подразумевается правило суммирования по повторяющимся индексам в диапазоне от 1 до 3. Поскольку индексы i и j являются повторяющимися, по ним нужно провести суммирование (такие индексы еще называют немыми, так как при замене их любой другой буквой соотношение не изменяется).

Кроме того, в этом соотношении используются символы Кро-

Тогда ξij δij = ξ11 +ξ22 +ξ33 . Здесь, как и ранее, индекс «1» соответствует оси х, индекс 2 – оси у, индекс 3 – оси z.

Диагональные компоненты тензора скоростей деформации равны

Отсюда

89

Можно также записать

Здесь введено понятие дивергенции вектора, известное из векторного анализа.

В механике сплошной среды доказывается, что соотношение div v = 0 является условием несжимаемости материала. Таким образом, мы приходим к соотношению (6.1).

2) Девиатор напряжений S и тензор скоростей деформации ξ

(он же девиатор тензора скоростей деформации ввиду равенства нулю шарового тензора скоростей деформации, имеющего, по опреде-

лению, компоненты 1 ξij δij = 0 ) пропорциональны друг другу. 3

6.1. ГИПОТЕЗА ЕДИНОЙ КРИВОЙ

Вводятся два инварианта тензоров скоростей деформации и напряжений, т.е. величины, не зависящие от выбора системы координат (в данном изложении мы для простоты используем только ортогональные декартовы системы координат).

90