Основы биомеханики

Например, температурная деформация как собственная деформация имеет вид

В проекциях на оси уравнения (9.6–9.9) дают систему 21 скалярного уравнения относительно 21 неизвестной функции координат

(компоненты вектора u и тензоров ε, εe , σ ). При этом величины b, ε , C и t заданы как функции координат.

9.2. РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Постановка задачи в напряжениях.

Классическим решением задачи собственных напряжений называется симметричный тензор напряжений σ , который удовлетворяет уравнениям (9.14–9.17) (см. уравнения (9.6–9.12) при некотором u, удовлетворяющем условию u = 0, r Su .

Для простоты далее используются декартовы ортогональные координаты x1, x2 , x3 (т.е. x, y, z ). Запятая перед индексом означает

производную по координатам, означаемую этим индексом.

Компоненты тензора s рассматриваются как функции координат.

131

Постановка задачи в перемещениях.

Использование уравнения (9.15) дает краевую задачу определения перемещений ui , i =1, 2,3

9.3. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ВНЕШНИХ СИЛ

Заметим, что уравнения (9.18–9.19) находятся в соответствии друг с другом в следующем смысле: уравнение (9.19) может быть распространено на границу Su . Тогда следующее интегральное преобразование может быть сделано следующим образом:

Здесь использована теорема Гаусса о дивергенции

∫ Aij , j dV = ∫ Aij n j dS ,

V S

или

∫ A dV = ∫n A dS ,

V S

где n − вектор единичной внешней нормали к поверхности. Уравнение (9.19) может быть преобразовано к виду

132

После суммирования (9.18′) и (9.19′) получаем

что выражает условие равновесия внешних сил, действующих на систему.

9.4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

Обсудим вопрос о единственности решения, полученного выше. Пусть u ' и u '' два решения задачи (9.18–9.20), введем обозначение v = u '−u" . Тогда из (9.18–9.20) получаются уравнения для

вектора v

Если ввести обозначение ρij (v) = Cijkl vk ,l , уравнения (9.22−9.23) принимают вид

133

Отсюда следует, что εij (v) = 0 (i, j =1, 2, 3) , так как тензор Cijkl является положительно определенным.

Напомним, что тензор четвертого ранга называется положительно определенным, если Cijkl εij εkl ≥ 0 , причем Cijkl εij εkl = 0 , только если εij = εkl = 0 . Аналогичное определение вводится для тензора второго

ранга A . Если Aij xi x j ≥ 0 для любого вектора x и Aij xi x j = 0 , только если x = 0 , то этот тензор является положительно определенным.

Далее нам потребуется теорема Коши−Гельмгольца, одна из фундаментальных теорем механики сплошной среды.

Рассмотрим малые перемещения бесконечно малого представительного объема сплошной среды

u(r ',t) = u(rA ,t) +r u(rA ,t) ,

или

в ряд Тейлора, ограничиваются линейным приближением ввиду бесконечно малых размеров элемента сплошной среды.

Тензор градиента перемещений (точнее его транспонированный тензор) [ u]T может быть разложен, как и всякий тензор второго ранга, на симметричную и антисимметричную части.

134

Соотношение (9.30) носит название теоремы Коши-Гельмгольца для малых перемещений (аналогичная теорема имеет место для скоростей точек сплошной среды).

Теорему можно сформулировать так.

Малое перемещение любой точки бесконечно малого элемента сплошной среды может быть представлено как векторная сумма перемещений полюса (точка А), вращения квазитвердого элемента (с угловой скоростью ω , связанной с тензором вихря) и деформационного перемещения, описываемого тензором малой деформации ε.

Данная теорема является обобщением известной формулы кинематики абсолютно твердого тела в случае его произвольного движения (общий случай движения свободного твердого тела).

С помощью теоремы Коши–Гельмгольца для малых переме-

вектор точки, a и c – постоянные векторы. Заметим, что оба решения соответствуют одному и тому же полю деформаций ε(x1 , x2 , x3 ) .

Другими словами, два возможных решения задачи (9.18−9.20) отличаются только на движение абсолютно твердого тела. Если условия на границе Su запрещают такое движение, то a = c = 0 .

Напротив, если v = a + c ×r , то, как показывает непосредственное вычисление, εij (v) = 0 . Следовательно, если вектор u есть реше-

ние проблемы (9.18−9.20) и v = a + c ×r , то вектор ( u + v ) есть решение той же задачи, и a = c = 0 , если движение системы как твердого тела невозможно.

135

Обсудим единственность решения задачи (9.14−9.17). Пусть тензоры σ' и σ" являются двумя решениями задачи. Тогда

σ'ij = ρij (u ') + sij , σ"ij = ρij (u") + sij .

Из (9.15) следует, что σij = Cijkl uk ,l + sij , тогда, используя обозначения для ρij , получим

ρij (v) = Cijkl vk ,l = Cijkl εkl (v) .

Поскольку u ' и u" являются двумя решениями соответствующей задачи (9.18−9.20), вектор (u '−u") есть один из векторов, описывающих

малое перемещение твердого тела. Тогда σ'ij −σ"ij = ρij (u '−u") = 0

и σ'ij = σ"ij , i, j =1, 2,3 .

В результате, задача (9.14−9.17) имеет единственное решение относительно напряжений.

9.5. УСЛОВИЕ НУЛЕВЫХ СОБСТВЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (ИЛИ УСЛОВИЕ СОБСТВЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ, СВОБОДНОЙ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ)

Рассмотрим твердое тело, имеющее собственную деформацию без внешних объемных и поверхностных сил, но при наличии неподвижных опор ( Su ≠ ).

Теорема 1.

Совместность тензора ε* (т.е. существование вектора переме-

опорах) являются необходимыми и достаточными условиями того, что σ = 0 в любой точке тала (или собственная деформация свободна от напряжений).

136

Другими словами имеет место следующая система уравнений:

тензора ε* , так как тензор ε всегда совместен и u = 0, r Su .

9.5.2. Доказательство достаточности

Пусть деформация ε* совместна и соответствующее перемещение равно нулю на границе Su . Тогда вектор v(v1 , v2 , v3 ) существует,

так что ε* = 0,5(v + v) , или ε* = ε(v) . В этом случае имеет место соотношение σ = C (ε(u) −ε(v)) .

Вводим обозначение u − v = z . Тогда σ = C ε(z) , или σij = Cijkl zk ,l . Ввиду того, что компоненты тензора напряжений σ

удовлетворяют уравнению равновесия внутри объема и граничному условию на границе Sσ при отсутствии внешних объемных и поверхностных сил, имеем

137

В результате получили задачу (9.33−9.35), которая аналогична задаче (9.18−9.20). Эти уравнения представляют краевую задачу для определения перемещений. Как было показано, решение имеет вид

z= a + c ×r, или u = v +a +c ×r. Следовательно, ε(u) = ε(v) и

σ= C (ε−ε* ) = C [ε(u) −ε(v)] = 0.

Теорема доказана.

9.5.3. Иллюстрация условий для собственной деформации, свободной от напряжений

При постоянном нагреве мы имеем постоянную температурную деформацию как собственную деформацию (рис. 9.4). Далее проверяем условия (9.32).

Рис. 9.4. Защемленный стержень

ε*xx ≡ εTxx = du = const, u = εTxx x + b, dx

u(x = 0) = 0 b = 0 u(x = l) = εTxxl ≠ 0.

Условие u = 0, r Su не выполняется, σ ≠ 0 .

9.6. ТЕОРЕМА О СОБСТВЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ, СВОБОДНОЙ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ

Теорема 2.

Тензор собственной деформации ε* (r) является тензором соб-

ственной деформации, свободной от напряжений, если и только если существуют такие объемные силы b и поверхностные силы t , кото-

138

Эта теорема помогает строить эффективные алгоритмы для вычисления собственной деформации, свободной от напряжений, в данной системе.

9.7. УСЛОВИЯ НИЛЬПОТЕНТНОЙ СОБСТВЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ

По определению, собственная деформация ε* является нильпотентной, если полная деформация в любой точке системы равна нулю.

где εe − упругая деформация, вызванная собственными напряжениями. Собственная деформация является нильпотентной, если и толь-

ко если она соответствует статически допустимым напряжениям σ .

Наложение нильпотентной собственной деформации ε* производит собственные напряжения

Важно отметить, что нильпотентная собственная деформация создает статически возможные напряжения (в соответствии с (9.41)), но не самоуравновешенные напряжения, так как на границе Su возникают опорные реакции.

9.8. ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ, СВОБОДНЫХ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ, И НИЛЬПОТЕНТНЫХ СОБСТВЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Для собственных деформаций, указанных в заголовке данного раздела, имеют место следующие краевые задачи.

Краевая задача при заданных собственных деформациях, свободных от напряжений,

140