Основы биомеханики

(пренебрегая растяжением-сжатием балок). Также из-за симметрии бесконечной структуры относительно оси L (рис. 8.4, б) каждая вертикально ориентированная балка не имеет деформации изгиба (сжатие всех балок не рассматривается). Заметим, что каждая вертикальная балка сжимается силой F, так как силовое поле однородно по структуре.

Рис. 8.4. Схематическая структура трабекулярной кости: а – структура в целом; б – представительный элемент

Из-за однородности деформации по структуре возможно рассматривать деформацию индивидуального балочного элемента.

Рассмотрим балку АВ. Рис. 8.5 иллюстрирует процесс деформации.

Применяя теорию изгиба, получаем

где Es означает модуль упругости индивидуальной трабекулы, I − мо-

мент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси сечения, которая перпендикулярна плоскости (см. рис. 8.4).

121

Тогда деформация достаточно большой структуры может быть выражена в виде

123

d − толщина структуры в направлении, перпендикулярном к плоскости рис. 8.4.

В результате получим

Предположим, что поперечное сечение есть прямоугольник,

тогда I = 1 t3d . 12

Далее получим

Далее мы найдем соотношение между геометрическими параметрами и эффективной плотностью ρ.

124

8.1.4. Модель из квадратных элементов

Модель структуры показана на рис. 8.6. Каждая ячейка есть квадратичный элемент. Допущения задачи идентичны допущениям в предыдущей модели.

Это означает, что верна форму-

ла (8.14)

Деформация ε может быть найдена из формулы

ЭффективныйупругиймодульE вычисляетсяследующимобразом:

l 2 d ρ = 4 1 t l d ρs , 2

125

8.1.5. Численное вычисление

Исходные данные: длина трабекулы l =1 мм , толщина трабе-

Из эксперимента известно, что модуль Юнга трабекулярной костной ткани Е изменяется в диапазоне от 0,1 МПа до 1,5 МПа.

Рассмотренный пример показывает возможности мезомеханики для определения параметров в определяющих соотношениях. Полученные результаты для эффективного упругого модуля трабекулярной кости находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментом. Развитие исследований в этом направлении важно для разработки ориентированных на пациентов методов лечения различных заболеваний.

8.2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чем отличие микроскопического, мезоскопического и макроскопического методов исследования?

2.В каких органах тела человека имеются трабекулы?

3.Что такое модуль Юнга и коэффициент Пуассона?

4.Для чего практически важно знать модуль Юнга для систем данного человека?

126

ГЛАВА 9. МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ В МЕХАНИКЕ И БИОМЕХАНИКЕ

Введем несколько новых понятий.

Собственная деформация. (Eigenstrain, Reissner [19], Mura

[20]) есть неупругая деформация любой природы, которая может быть температурной деформацией, пьезоэлектрической деформацией, деформацией ползучести, пластической деформацией, деформацией из-за фазовых переходов, ростовой деформацией и деформацией при перестройке в живых тканях и т.д.

где ε − тензор полной деформации, εe − тензор упругой деформации, связанный с тензором напряжений σ законом Гука

формация.

Собственная деформация, не создающая напряжений (Mura, 1987), или stress-free eigenstrain, есть собственная деформация, которая не создает напряжений в любой точке тела.

Нильпотентная, или не создающая деформацию собственная деформация (Irschik and Ziegler, 2001), есть собственная деформация, которая производит напряжения, но деформация в каждой точке тела равна нулю.

127

Простейшие примеры свободной от напряжений и свободной от деформаций (нильпотентной) собственной деформации показаны на рис. 9.1, a, б.

Рис. 9.1. Простейшие примеры свободной от напряжений (а) и свободной от деформаций (нильпотентной) (б) собственной деформации

Предполагаются одноосные напряжения и деформации для тонких стержней. Тогда на рис. 9.1, а при однородном нагреве собственная деформация является свободной от напряжений. Напротив, на рис. 9.1, б собственная деформация является нильпотентной (свободной от напряжений).

εxx = ε*xx + σ = 0 ,

E

εxx = αT + σ = 0, σ = −EαT .

E

Пусть объемные силы равны нулю ( b = 0 ) и поверхностные силы также отсутствуют ( t = 0 ). В этом случае напряжения, вызванные собственной деформацией, называются собственными напряже-

ниями (self–stresses),

ε* σ .

Если собственные напряжения самоуравновешены, то их называют остаточными напряжениями.

128

Остаточные напряжения являются частным случаем собственных напряжений. В предыдущем примере (см. рис. 9.1, б) мы имеем собственные напряжения σ = −EαT , но не остаточные напряжения. Это связано с тем, что эти напряжения не являются самоуравновешенными, а уравновешены реакциями опор на левом и правом торцах стержня.

Строго говоря, остаточные напряжения могут возникать только в свободном твердом теле (т.е. теле без опор).

9.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Для дальнейшего анализа нам потребуется постановка краевой задачи механики сплошной среды. Данная постановка называется дифференциальной, так как она включает в себя дифференциальные

1) Уравнение статического равновесия имеет место внутри об-

здесь σ − симметричный тензор напряжений, b − объемная сила. В уравнении (9.6) и далее тензоры σ , ε, u считаются функциями декартовых ортогональных координат, представляемых радиусомвектором r V .

129

2) Деформации считаются достаточно малыми и аддитивными. Это означает, что тензор деформации ε есть сумма упругой дефор-

мации εe и собственной деформации ε* .

Тензор собственной деформации ε* может означать температурную деформацию, пластическую деформацию, деформацию ползучести, деформацию при фазовых превращениях, деформацию роста или перестройки в живых тканях и другие виды неупругой деформации.

3) Упругая деформация связана с напряжениями законом Гука

где C − тензор упругих моделей четвертого ранга.

4) Соотношение деформация–перемещение записывается в рамках геометрически линеаризованной теории

где u − вектор перемещения.

5) Заметим, что полные деформации удовлетворяют условиям совместности деформаций. Это эквивалентно обращению в нуль

компонент тензора четвертого ранга rot (rot ε) (индекс означает

транспонирование). Если существуют вторые производные от компонент тензора деформации по пространственным координатам, то можно записать условия совместности деформаций в виде [22]

6) Граница S делится на две непересекающиеся части, S = Su + Sσ . Кинематические граничные условия заданы на части границы Su , и вектор напряжения t задан на части Sσ .

130