Основы биомеханики

Таким образом, мы видим, что материалы с памятью формы обнаруживают широкий спектр свойств.

Эти материалы широко используются в медицине для фиксации костей и растяжения, связи костных фрагментов, лечения сколиоза, при болезнях кровеносных сосудов (например, для расширения сужения сосуда) и т.д.

В заключение укажем, что реализованный эффект памяти формы может быть использован для конструирования различных приспособлений для создания перемещений.

Пусть имеем деформацию возврата от 5 % до 10 % при температурном диапазоне Af − As = 30 °C . Здесь изменение температуры

только на 1 °C может вызвать относительную деформацию около

2 10−3 , которая эквивалентна температурному расширению при нагреве около 100 °C . Это позволяет создать термочувствительные эле-

менты с очень высокой точностью. Необходимо иметь в виду, что температурное расширение происходит только в форме удлинения и сжатия в элементах тела. В то же время в случае эффекта памяти формы может быть создана любая деформация (кручение, изгиб и др.).

10.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое память формы?

2.Что такое мартенситный переход?

3.Можно ли создать требуемое усилие, применяя материал

спамятью формы?

4.Приведите примеры применения материалов с памятью формы в медицине.

181

ГЛАВА 11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДЕФОРМИРОВАНИЕ МАТЕРИАЛОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ

В этой главе рассматриваются решения нескольких задач о превращениях в однородном стержне постоянного сечения, изготовленного из материала с эффектом памяти формы.

11.1. ЗАДАЧА 1

Пусть стержень защемлен на левом конце и имеет длину l0. На рис. 11.1 показана декартова система координат Охy, связанная со стержнем, находящимся в аустенитном состоянии в отсутствии нагрузки. Также показана сила F , приложенная к правому концу при столь высокой температуре, чтобы не вызвать прямой мартенситный переход в изотермических условиях за счёт изменения температуры M S от действия напряжений.

Рис. 11.1. Стержень в декартовой системе координат

Далее стержень переводится в полностью мартенситное состояние за счёт охлаждения через интервал прямого мартенситного превращения, причем сила F в процессе перехода остаётся неизменной. После этого стержень нагревается до исходной температуры. Требуется определить деформации фазовых превращений и полную деформацию стержня как функцию от температуры.

182

Выпишем полную систему уравнений теории упругости. Уравнение равновесия

где εxxp – деформация от фазовых превращений.

Выражение компоненты деформации через перемещение имеет вид

где A – площадь поперечного сечения стержня.

11.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1

При решении задачи для простоты пренебрегаем объемным эффектом реакции мартенситного превращения и температурной деформацией. Используем одномерный вариант определяющих соотношений, предложенный А.А. Мовчаном [25].

В данной теории принимается, что тензор малых деформаций состоит из упругой εije , фазовой εijp и температурной составляющих

εTij . Упругая и температурная составляющие деформации находятся по соотношениям термоупругости

183

где G, К – модули сдвига и объёмного расширения соответственно, α – коэффициент линейного температурного расширения, Т, Т0 – температура в исследуемый момент времени и отсчетная температура в состоянии, где все компоненты напряжений и деформаций равны нулю, штрихом обозначаются компоненты девиаторов соответствующих тензоров, повторяющийся индекс означает суммирование.

В рассматриваемой задаче мы используем одномерный вариант теории, пренебрегая температурными деформациями. Поэтому получим

чивается, dq > 0 ) обработка экспериментальных данных приводит

где q2 – объемная доля мартенсита при обратном превращении.

В формулах (11.9) и (11.11) M S , M f , AS , Af – температуры

начала и завершения прямого и обратного мартенситных превращений соответственно.

184

Экспериментально показано, что значение модуля Юнга в процессе фазового превращения описывается следующей формулой:

где ЕM, ЕA – значения модуля Юнга для мартенситного и аустенитного состояния.

Найдем значение фазовой деформации путем интегрирования (11.8) при нулевых начальных условиях.

в точке начала обратного превращения. Если предварительная фазовая деформация ε(0) для случая обратного превращения создана путем прямого превращения под действием постоянного напряжения σ0 , то определяющее соотношение (11.10) этот эффект учитывает.

185

Выражение для фазовой деформации в точке начала обратного превращения с учетом (11.13) при q = 1 и σ = σ0 = const примет вид

ε(0) = 2c0σ0 (exp(a0 ) −1) /(3a0 ) ,

т.е. в этом случае соотношение (11.13) может быть записано в виде

Следовательно, определяющие соотношения для прямого (11.8) и обратного (11.14) превращений различаются лишь тем, что в уравнении для прямого превращения присутствует напряжение, действующее в процессе прямого превращения, а в уравнении для обратного превращения – постоянное напряжение, действовавшее в течение предварительного прямого превращения.

Зависимость εp (q) при обратном переходе находится аналогично случаю прямого превращения, при этом в формуле (11.13) величину σ надо заменить величиной σ0 . В результате для обратного превращения получим

Подставим выражение (11.13) в (11.2). С учётом (11.5) получим выражение для полной деформации стержня в процессе прямого фазового перехода

Подстановка зависимости объемной доли мартенсита от температуры (11.9) в выражение (11.16) позволяет определить полную деформацию стержня как функцию температуры.

186

Для обратного превращения с учётом (11.11) выражение (11.16) примет вид

Результаты вычислений по формулам (11.17) и (11.18) с использованием зависимости (11.9) и (11.11) показаны на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Деформация стержня с эффектом памяти формы

впроцессе прямого и обратного мартенситных переходов

сучетом соотношений (11.9) и (11.11)

Врассмотренном примере кинетика фазовых переходов существенно зависит от выбора аппроксимаций (11.9) и (11.11). В некоторых задачах вводятся иные аппроксимации:

187

Результаты вычислений с учетом формул (11.19) и (11.20) показаны на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Деформация стержня с эффектом памяти формы

впроцессе прямого и обратного мартенситных переходов

сучетом соотношений (11.19) и (11.20)

11.3. ЗАДАЧА 2

В условиях задачи 1 (рис. 11.1) в стержне, находящемся под действием силы F , произошло прямое мартенситное превращение. Затем правый конец стержня был защемлен и стержень был нагрет до температуры T > Af , при этом произошло обратное мартенситное

превращение. Найти связь между возникшей реакцией в стержне и приложенной силой F (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Стержень, защемленный после прямого мартенситного перехода, а затем нагретый до температуры T > Af

188

11.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2

В результате прямого мартенситного превращения в стержне возникает фазовая деформация ε1p , которую можно вычислить по фор-

муле (11.13) при q =1 , σ = − F .

A

Учтем, что в любой момент времени имеет место соотношение

После снятия нагрузки εe = σ = 0 , и поэтому полная дефор-

EM

мация ε равна фазовой деформации прямого мартенситного превращения

После обратного мартенситного превращения суммарная фазовая деформация равна нулю,

εp = ε1p + ε2p = 0 ,

где ε1p и ε2p – фазовые деформации прямого и обратного превращений

соответственно. Значит,

в итоге

189

11.5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Вывестиформулу(11.15) непосредственноизформулы(11.14).

2.Какова должна быть приложена сила F1 , чтобы в условиях

задачи 1 создать в стержне заданную фазовую деформацию ε* ?

3.Почему при решении задачи 2 не обсуждается вопрос о выборе аппроксимации для объемной доли мартенсита?

4.Какова должна быть сила F1 , чтобы в условиях задачи 2 соз-

дать заданную реакцию R* ?

190