Основы биомеханики

вой деформации скобка приняла форму, показанную на рис. 12.6, г. Поскольку фазовая деформация накапливается при охлаждении нагруженного материала (ориентированное превращение), необходимо приложить силы P* перед охлаждением (рис. 12.6, б). Затем необходимо, не снимая нагрузку, охладить скобку до температуры, при которой закончится мартенситное превращение материала. При этом материал накапливает фазовую деформацию (рис. 12.6, в). После этого нагрузка снимается (см. рис. 12.6, г).

Рис. 12.6. Предоперационная обработка скобки

201

Итак, необходимо:

1)чтобы при фазовом переходе накопилась требуемая фазовая деформация, вычисленная по формуле (12.1);

2)чтобы скобка после обработки приняла заданную форму.

В данной работе будем считать, что эффект памяти формы опи-

Здесь ЕM, ЕA – значения модуля Юнга для мартенситного и аустенитного состояния. Уравнение (12.25) соответствует прямому превращению, а (12.26) – обратному (при полном прямом превращении). Найдем значение фазовой деформации путем интегрирования (12.19) при нулевых начальных условиях.

При расчетах предполагается, что напряжения в каждой точке тела не меняют знак в процессе фазового перехода. В этом случае накопленная фазовая деформация имеет тот же знак, что и действующее напряжение.

Следовательно, выражение для фазовой деформации будет иметь вид

202

Таким образом, при обратном мартенситном превращении деформация (12.28) полностью возвратится. Это эквивалентно тому, что в скобке, показанной на рис. 12.2, возникнет фазовая деформация −εp . Необходимо, чтобы она была равна заданному значению

Далее вычислим смещение ∆ для фазовой деформации (12.28). ДляэтоговоспользуемсяформулойМайзеля[5] (см. такжеподразд. 9.13), для которой необходимо найти напряжения, вызванные единичной силой (рис. 12.6, г). В итоге получим следующее соотношение:

2∆ = ∫Σ(ϕ, y* )εp dV , (12.30)

V

где Σ(ϕ, y* ) представляет теперь нап-

d =1,5 мм (диаметр скобки). Скобка изготовлена из сплава с эф-

203

Для вычисления интеграла в формуле (12.31) введем полярную систему координат (ρ, θ), центр которой O1 совпадает с центром тяжести сечения

(рис. 12.8)

Тогда элемент площади равен dF = ρdθ dρ , а расстояние до центра

Согласно формуле (12.29) сила P* , которую нужно приложить к скобке,

204

Вычислим смещение ∆ для фазовой деформации. С учетом преобразований формула Майзеля (12.30) примет вид

Таким образом, необходимо вычислить следующий интеграл:

Проведем сечения бруса двумя поперечными сечениями, которые отстоят друг от друга на угол dϕ (рис. 12.9). В выделенном сечениями элементе бруса выберем элементарный объем dV=dF r dϕ.

Рис. 12.9. Элементарный объем скобки:

а – вид сбоку, б – поперечное сечение (увеличено)

205

Таким образом, формулы (12.34) и (12.36) определяют необходимые численные данные для предоперационного планирования.

12.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Каковы основные этапы установки фиксаторов в костную

ткань?

2.Как вычисляются напряжения при изгибе кривого бруса?

Вчем отличие от изгиба прямого бруса?

3.Что такое нейтральный слой?

4.Какие параметры определяют предоперационную подготовку скобки? Каким образом?

206

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Fung, Y.C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. Second Edition / Y.C. Fung. – New York: Springer-Verlag, 1993.

2.Yamada, H. Strength of Biological Materials / H. Yamada. – Baltimore: Williams and Wilkins, 1970.

3.Fung, Y.C. Biomechanics. Motion, Flow, and Growth / Y.C. Fung. – New York: Springer-Verlag, 1990.

4.Hsu, Feng-Hsiang. The influences of mechanical loads on the form of a growing elastic body / Feng-Hsiang Hsu // Journal of Biomechanics. – Vol. 1. – 1968. – P. 303–313.

5.Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. – М.:

Наука, 1980.

6.Masich, A.G. Mathematical modelling of orthopedic reconstruction of children’s congenital maxillary anomaly / A.G. Masich, Y.I. Nyashin // Russian Journal of Biomechanics. – No. 1. – 1999. – P. 101–109.

7.Masich, A.G. The role of mechanical factor in orthopedic treatment of congenital palate cleft in children / A.G. Masich, E.Yu. Simanovskaya, S.A. Chernopazov, Y.I. Nyashin, G.V. Dolgopolova // Russian Journal of Biomechanics. – Vol. 4, No. 1. – 1999. – P. 101–109.

8.Wolff, J. Das Gesetz der Transformation der Knochen / J. Wolff. – Berlin, Hirschwald, 1892.

9.Guo, X.-D. Periosteal and endosteal control of bone remodelling under torsional loading / Xiang-Dong Guo and Stephan C. Cowin // Journal of Biomechanics. – 1992. – Vol. 25, No. 6. – P. 645–650.

10.Tanaka, M. Bone remodelling considering residual stresses: preliminary experimental observation and theoretical model development / M. Tanaka, T. Adachi, and Y. Tomita // Computational Biomedicine. Second International Conference on Computers in Biomechanics «Biomed–93». – Southampton, 1993.

11.Prendergast, P.J. Prediction of bone adaptation using damage accumulation / P.J. Prendergast and D. Taylor // Journal of Biomechanics. – 1994. – Vol. 27, No. 8. – P. 1067–1076.

207

12.Carter, D.R. Fatigue life of compact bone – II. Effects of microstructure and density // D.R. Carter, W.C. Hages, and D.J. Schurman // Journal of Biomechanics. – 1976. – Vol. 9. – P. 211–218.

13.Taber, L.A. Nonlinear Theory of Elasticity. Applications in Biomechanics / Larry A. Taber. – New Jersey – London – Singapore: World Scientific Publishing, 2004.

14.Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. – М.: Мир, 1975.

15.Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды / А.А. Ильюшин. – М.: Изд-во МГУ, 1978.

16.Прагер, В. Введение в механику сплошных сред / В. Прагер. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

17.Nyashin, Y. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrains / Y. Nyashin, V. Lokhov, F. Ziegler // Zeitschrift fűr Angewandte Mathematik und Mechanik. – 2005. – Vol. 85, No. 8. – P. 557–570.

18.Nyashin, Y. Biological Stresses in Living Tissues. The modeling and

control problems / Y. Nyashin, V. Kiryukhin // Russian Journal of Biomechanics. – 2002. − Vol. 6, No. 3. – P. 13–31.

19.Reissner, H. Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen / H. Reissner // Zeitschrift fűr Angewandte Mathematik und Mechanik. – 1931. – Vol. 11, No. 1. – P. 1–8.

20. Mura, T. Micromechanics of Defects in Solids, 2nd Edition /

T.Mura. – Dordrechcht: Kluwer, 1991.

21.Irschik, H. Eigenstrain without stress and static shape control of structures / H. Irschik, F. Ziegler. – AIAA J. – 2001. – Vol. 39. –

P.1985–1990.

22.Поздеев, А.А. Остаточные напряжения: теория и приложения / А.А. Поздеев, Ю.И. Няшин, П.В. Трусов. – М.: Наука, 1982.

23.Nyashin, Y. Stress-free displacement control of structures / Y. Nyashin,

V.Lokhov, F. Ziegler // Acta Mechanica. – 2005. – Vol. 175, No. 1–4. –

P.45–56.

24.Майзель, В.А. Температурная задача теории упругости / В.А. Майзель. – Киев: Изд-во АН УССР, 1951.

208

25.Мовчан, А.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы / А.А. Мовчан // Проблемы машиностроения и прочности машин. – 1994. – № 6. – С. 47–53.

26.Гюнтер, В.Э. Сплавы с памятью формы в медицине / В.Э. Гюнтер. – Томск: Изд-во Томск. уни-та, 1986.

27.Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко, В.А. Агарёв, А.Л. Квитка, В.Г. Попков, Э.С. Уманский. – Киев: Вища школа, 1986.

28.Nyashin, Y. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain / Y. Nyashin, V. Lokhov, F. Ziegler // Zeitschrift fűr Angewandte Mathematik und Mechanik. – 2005. – Vol. 85, No. 8. – P. 557–570.

29.Циглер, Ф. Механика твердых тел и жидкостей / Ф. Циглер. – М. – Ижевск: РХД, 2002.

209