Основы биомеханики

ника. В данном учебном пособии рассматриваются биологические системы, в которых имеется очень много атомов и молекул. Поэтому эти системы рассматриваются как сплошная среда (классическая механика континуума), в некоторых случаях как материальная точка или система материальных точек (в частности, абсолютно твердое тело).

Проблемы, изучаемые в современной биомеханике, отличаются от других задач механики рядом существенных особенностей.

1.1. ОСНОВНЫЕ ОТЛИЧИЯ БИОМЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОТ МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В НЕЖИВЫХ СИСТЕМАХ

1.Биологические конструкции, как правило, имеют сложную пространственную форму (например, сердце, позвоночник, суставы, кости и др.). Многие инженерные конструкции могут быть аппроксимированы набором простых элементов (стержни, пластины, балки, оболочки), их изучение является объектом исследования науки «сопротивление материалов». В настоящее время возможности современных компьютеров позволяют преодолеть трудности математического моделирования сложных пространственных биологических систем.

2.Материал биологических конструкций имеет очень сложные

инедостаточно изученные физические свойства. Как правило, эти системы неоднородны и анизотропны. Определяющие соотношения (т.е. соотношения, связывающие параметры напряженного и деформированного состояний) для живых тканей изучены недостаточно. В наибольшей степени это касается мягких тканей (например, ткани печени, почек, легких). Определяющие соотношения для твердых тканей (например, костной ткани) изучены лучше.

3.Значительная трудность при математическом моделировании биомеханических процессов связана с определением нагрузок, действующих на элементы биоконструкций, особенно мускульных усилий. Нужно отметить, что мышца как орган способна производить значительное натяжение без подвода внешней энергии, т.е. бла-

11

годаря только внутренней энергии. В неживой ткани такие аналогии пока неизвестны.

4.В живых тканях имеется ростовая деформация, определяемая генетическим кодом и зависящая от многих других факторов (температура, силовые факторы, химические вещества и др.).

5.Также важно отметить, что имеется тесная связь между архитектурой материала биологических конструкций и их функциями. Механические свойства материала в большой степени определяются его напряженно-деформированным состоянием, и эти свойства изменяются при изменении нагрузок. Имеет место закон приспособляемости материала к условиям окружающей среды (закон Ю. Вольфа, 1892 год).

6.Наконец, проблемы биомеханики часто не являются проблемами только механики. Процессы деформации (особенно длительной) в биологических системах тесно связаны с биологическими процессами их функционирования, с изменением химического состава материала, с ростом ткани и их адаптацией, с электрохимическими

иэлектрическими процессами. Можно сказать, что проблемы биомеханики являются междисциплинарными проблемами (механика, физика, химия, анатомия, физиология, медицинские науки и др.).

1.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИОМЕХАНИКИ

Далее для иллюстрации рассмотрим решение трех задач биомеханики, которые допускают простое аналитическое решение.

1.2.1. Открытие В. Гарвеем круга кровообращения (1615)

Английский ученый В. Гарвей первый заметил, что кровь может покинуть левый желудочек сердца только в одном направлении. Он замерил выброс крови при одном сокращении сердца и нашел, что эта величина составляет 2 унции (одна унция равна 28,3 г). Заметим, что в настоящее время известно, что выброс крови почти у всех млекопитающих близок к данному значению. При частоте сокраще-

12

ний сердца 72 удара в минуту выброс крови за один час составляет: 2×72×60 унций = 8640 унций = 244,5 кг. Куда уходит такое большое количество крови? Гарвей пришел к выводу, что необходимым условием функционирования сердца является наличие круга кровообращения. Этот результат был опубликован в 1628 году и может рассматриваться как пример применения простейшего математического моделирования для открытия новых фактов в живых системах.

1.2.2. Прочность и надежность Ахиллова сухожилия

Рассмотрим вопрос о прочности тканей человека и запасе прочности при физических упражнениях. В качестве примера рассмотрим натяжение Ахиллова сухожилия в стопе человека при ходьбе и дальнейшем прыжке Ахиллово сухожилие – весьма крепкое сухожилие икроножной мышцы, прикрепляющееся к пяточному бугру. Структура костей стопы показана на рис. 1.1. Для вычисления натяжения Ахиллова сухожилия можно рассмотреть равновесие сил, действующих на стопу. Сустав между большеберцовой и таранной костями рассматривается как ось вращения стопы. Данные о прочности сухожилий, хрящей и костей имеются в классической монографии [2].

Рис. 1.1. Кость и сухожилия стопы

13

Предположим, что вес человека равен 68 кг, размеры его стопы (в дюймах) показаны на рис. 1.1 (размеры указаны в дюймах). Обозначим натяжение Ахиллова сухожилия как Т (см. рис. 1.1). Предположим также, что человек встал на носки, готовясь к прыжку, но остается в состоянии покоя. Тогда из уравнения моментов сил относительно сустава между большеберцовой и таранной костями имеем

Т 1,5 = 34 6,

откуда получаем значение натяжения в Ахилловом сухожилии Т = 136 кг. Если поперечное сечение Ахиллова сухожилия равно 1,6 см2, то растягивающее напряжение

σ = 136 = 85 кг/см2 . 1, 6

Для совершения прыжка вверх нужно генерировать силу на стопу вверх, большую чем вес тела. Или, эквивалентно, генерировать начальную кинетическую энергию.

Читателю предлагается ответить на вопрос: каким образом создается эта вертикальная сила вверх?

В верхней точке прыжка начальная кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию. Это приводит к соотношению

m g h = 1 m v2 , 2

где m – масса тела человека, g – ускорение в поле силы тяжести, h – высота прыжка, измеряемая относительно центра тяжести тела, v – начальная скорость прыжка, измеряемая в центре тяжести тела.

При весе человека 68 кг и высоте прыжка h = 61 см получим

v = 346 см/с.

При выполнении прыжка вверх нужно согнуть колени, понижая тем самым положение центра тяжести, и затем внезапно подпрыгнуть. В течение времени распрямления единственными внешними силами,

14

действующими на человека, являются вес и силы, действующие на подошву. Согласно теореме об изменении количества движения системы, применяемой к человеку при выпрямлении, импульс внешних сил равен изменению количества движения. Пусть F есть добавочная сила, действующая на стопу (считается постоянной) и t интервал времени между моментом начала прыжка и моментом отталкивания от грунта. Тогда импульс силы равен Ft, а количество движения при отталкивании от грунта равно mv. В итоге, мы имеем

F t = m v.

Величина t зависит от качества выполнения прыжка. Экспериментальные данные [1] показывают, что величина t примерно равна 0,3 с. Примем это значение. Тогда при m = 68 кг получим F = 80 кг.

При прыжке на двух ногах общая сила, действующая на каждую стопу, равна (68 + 80) / 2 = 74 кг. Соответственно, натяжение Ахиллова сухожилия равно 74 × (6:1,5) = 296 кг. Тогда напряжение при площади поперечного сечения 1,6 см2 равно 185 кг/см2.

Насколько такое напряжение опасно для сухожилия человека? Согласно данным из монографии [2], предельное (разрушающее) растягивающее напряжение для Ахиллова сухожилия в возрастной группе 10−29 лет составляет 5,6±0,09 кг/мм2. Сравнивая вычисленное напряжение 1,85 кг/мм2 с предельным напряжением, мы видим, что запас прочности довольно мал, особенно при многократном выполнении прыжков и неизбежном накоплении микроповреждений.

Однако такая ситуация не является опасной для здоровья человека, так как живые организмы (в отличие от неживых) имеют способность самозалечивания и самовосстановления нарушенных живых тканей.

1.2.3. Коррекция деформации позвоночника при сколиозе

Рассмотрим упрощенную модель сколиотического позвоночника [3] и три метода коррекции деформации (рис. 1.2).

Напомним, что сколиоз (греческое слово) означает боковое (врожденное или приобретенное) искривление позвоночника. Про-

15

филактика и лечение сколиоза заключаются в применении гимнастических упражнений и хирургических методов. В последнее время начали применяться также механические методы, обсуждаемые в данной задаче. Рассматриваются три варианта приложения корректирующего изгибающего момента относительно точки С – вершины кривой, образовавшейся при сколиозе. Нужно показать, что для сильно деформированного позвоночника (угол θ > 53°) метод (а) ведет к большему корректирующему моменту, чем метод (б). Для менее искривленного позвоночника (угол θ < 53°) метод (б) является более предпочтительным. Наконец, случай (в) является лучшим для всех степеней искривленности позвоночника.

Рис. 1.2. Несколько механических методов, способствующих выпрямлению искривленного позвоночника

Корректирующий момент равен изгибающему моменту относительно нормального сечения, проходящего через точку С, а последний, в свою очередь, равен сумме моментов внешних сил, действующих на позвоночник и лежащих выше (или ниже) точки С. Заметим, что сумма моментов всех внешних сил равна нулю, так как система сил F должна быть уравновешенной системой сил, для которой имеют место условия равновесия

(∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑mc (F) = 0).

16

Пусть корректирующий момент в случае (а) больше, чем в слу-

Следовательно, при θ > 53° метод (а) ведет к более эффективной коррекции позвоночника, чем метод (б). Наоборот, при θ < 53° метод (б) более эффективен.

Далее рассмотрим метод (в). В этом случае имеем

Для удобства введем обозначение θ = α, тогда получим

2

17

18

Рассмотренные примеры, число которых можно приумножить, доказывают, что существуют различные задачи биомеханики, в которых решение не требует учета деформаций. Таковы, например, различные задачи биомеханики спорта.

Однако в более сложных задачах, которые будут рассмотрены ниже, модели абсолютного твердого тела не могут привести к корректному решению (сюда, например, относятся проблемы кровообращения). Учет деформаций также необходим при решении большого класса задач, в которых рассматриваются важные вопросы роста

иперестройки живых тканей.

1.3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Чем отличаются задачи механики для живых и неживых

систем?

2.Можете ли вы придумать задачу биомеханики, аналогичную рассмотренным в данной главе?

3.Почему, по вашему мнению, Россия отстает от передовых стран мира в развитии и применении биомеханики в медицине?

19

ГЛАВА 2. РОСТ И ПЕРЕСТРОЙКА ОРГАНОВ И ТКАНЕЙ

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 1. Рост есть процесс изменения массы биологической системы, определяемый генетическими (врожденными) факторами и зависящий от эпигенетических факторов (факторов окружающей среды, таких как температура, механические напряжения и деформации, химические вещества, внешние и внутренние физические поля и т.д.).

Определение 2. Перестройка (или адаптация) есть процесс изменения формы и свойств биологической системы, определяемый изменением внутренних и/или внешних условий.

Определение 3. Внешняя перестройка есть процесс изменения формы системы.

Определение 4. Внутренняя перестройка есть процесс изменения свойств системы (механические свойства трабекул, их архитектура, развитие пор и др.).

Иногда процесс изменения формы системы называют морфогенезом.

2.2. ПОСТАНОВКАНАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙЗАДАЧИОПРЕДЕЛЕНИЯ РОСТОВОЙ ДЕФОРМАЦИИ В УПРУГОЙ СИСТЕМЕ

20