Прикладная математика механика и процессы управления

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

Материалы всероссийской научно-технической интернет-конференции студентов и молодых ученых (30 ноября – 5 декабря 2015 г.)

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2016

УДК 539.3:517.929:534.1:678.2:531.114:624.1:622.011.43:532.5:550.37

Представлены материалы всероссийской научно-технической конференции студентов и молодых ученых «Прикладная математика, механика и процессы управления» за 2014 и 2015 годы.

Тематика докладов охватывает широкий круг прикладных задач механики и смежных отраслей науки, проблемы численной и аналитической реализации их решения.

Оргкомитет конференции

Председатель д-р техн. наук, профессор В.Н. Коротаев

Заместители председателя:

д-р техн. наук, профессор В.Ю. Столбов; д-р техн. наук, доцент О.Ю. Сметанников

Ответственный секретарь Г.В. Ильиных

Члены оргкомитета:

канд. физ.-мат. наук, доцент И.Ю. Зубко, канд. техн. наук П.В. Максимов, канд. техн. наук Г.Н. Вотинов

3

4

5

УДК 531.133.1

А.Л. Дубинин, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.С. Туктамышев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ОРТОДОНТИЧЕСКОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЗУБОВ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ «ЦЕНТР СОПРОТИВЛЕНИЯ ЗУБА»

Посвящено исследованию ортодонтического перемещения зубов с помощью центра сопротивления зуба. Понятие центра сопротивления необходимо для управления перемещением зубов и в литературе определяется как точка, при прохождении через которую линии действия приложенной силы, зуб будет перемещаться поступательно и без всякого вращения. В одной из работ авторов впервые введены условия существования центра сопротивления, из которых видно, что он существует всегда для плоского случая, а для пространственного – лишь при наличии у тела оси симметрии. Следовательно, реальный зуб, не обладая данной формой, не имеет центра сопротивления. Там же введено новое понятие, расширяющее количество случаев существования данного центра, с сохранением его основных свойств, но с некоторыми ограничениями − «центр сопротивления зуба в плоскости». Авторами данной работы найдено положение центра сопротивления в плоскости, создана методика аналитического и практического определения его координат.

Ключевые слова: центр сопротивления зуба, ортодонтическое движение зубов, зубочелюстная система, биомеханика.

A.L. Dubinin, Yu.I. Nyashin, M.A. Osipenko, V.S. Tuktamishev

Perm National Research Polytechnic University

RESEARCH ORTHODONTIC TOOTH MOVEMENT

USING THE CONCEPT OF “CENTER

OF RESISTANCE OF THE TOOTH”

The article is dedicated to the investigation of the orthodontic tooth movement by using the resistance of the tooth. The concept of the center of resistance needed to control movement of the teeth and is defined in the litera-

6

ture as the point at which it passes through the line of action of the applied force, the tooth will move progressively and without any rotation. In earlier work, the conditions of existence the center of resistance first were introduced, which clearly show that it always exists in the planar case, and exists only with the axis of symmetry of the body in the space case. Therefore, the real teeth, that does not have this form does not have a center of resistance. Ibid a new concept introduced, which explained the number of cases of the existence of the center, while maintaining its basic properties, but with some restrictions – the “center of resistance of the tooth in the plane”. The authors of this study found the position of the center of resistance in the plane established analytical and practical method to determine its origin.

Keywords: center of resistance to the tooth, the orthodontic movement of teeth, dentition, biomechanics.

Введение. Актуальность. По различным данным, около 80– 90 % людей имеют неправильный прикус, последствием которого могут являться такие проблемы, как стирание эмали и кариес

вплотно примыкающих зубах, функциональная перегрузка отдельных групп зубов, нарушение функции дыхания, жевательных и мимических мышц, дефекты речи, дисфункция височнонижнечелюстного сустава, эстетические проблемы и пр. [1]. В настоящее время для их решения используются различные брекетсистемы, эластопозиционеры, хедгиры (headgear), действующие на отдельный зуб или весь зубной ряд определенным образом. Однако

впроцессе ортодонтического лечения нередко возникают нежелательные эффекты или же зубы перемещаются не в то положение, в которое запланировал врач [2].

Возможное решение данных проблем заключается в необходимости использования методов биомеханики для постановки и решения задач ортодонтии, одним из главных вопросов которой является приложение определенной системы сил для изменения положения зуба или перестройки костной ткани [2, 3]. Одним из главных понятий в этом вопросе является понятие «центр сопротивления зуба».

Историческая справка. Впервые понятие центра сопротивления зуба появляется в 1917 г. благодаря врачу-ортодонту G.D. Fish и формулируется так: «Предположим, что горизонтальная сила приложена к щеке. Существует такая точка С где-то меж-

7

ду кончиком корня и краем десны – так, что если линия действия силы будет приложена на линии, проходящей через эту точку, то не будет никакого поворота зуба вокруг его продольной оси (рис. 1, а). Эту точку можно назвать центром сопротивления. Без сомнений, эта точка находится где-то между десневым краем и серединой длины корня. Конечно, эта точка может изменяться в зависимости от величины или направления силы» [4]. Данное определение является первым, и, вероятно, не все предположения в нем являются верными.

В 1980-х гг. теория центра сопротивления зуба получила стремительное развитие. В основном данным вопросом занимались ученые-ортодонты, и поэтому, ввиду отсутствия строгого математического определения, имелось несколько различных формулировок, общей идеей которых являлось следующее: «Центр сопротивления зуба – это мнимая точка, местоположение которой достаточно условно определено, однако принадлежит корню зуба и обладает таким свойством, что при прохождении линии действия силы через эту точку зуб будет двигаться поступательно, а при приложении пары сил − будет вращаться вокруг оси, проходящей через данный центр» (см. рис. 1) [5, 6]. На положение центра сопротивления влияют форма зуба, структура периодонтальной связки, состояние альвеолярной кости [7, 8].

аб

Рис. 1. Схема движения зуба: а – поступательное;

б– чистое вращение

Вработе [7] было введено наиболее строгое математическое определение данного понятия: «Центром сопротивления зуба и пе-

8

риодонта, в который зуб погружен, назовем точку, удовлетворяющую условиям:

а) если R = 0, то u(rц.с) = 0 для любого M (если нагрузка приводится к паре сил, то зуб поворачивается вокруг центра сопротивления),

б) если M = rц.с × R, то φ = 0 для любого R (если нагрузка приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр сопротивления, то зуб перемещается поступательно)»

(*). Здесь R, M – вектор-столбцы, которые содержат компоненты главного вектора и главного момента сил; φ – вектор-столбец компонент поворота; u – вектор-столбец компонент перемещения зуба; rц.с – радиус-вектор центра сопротивления. По смыслу данного определения положение центра сопротивления не зависит от направления или величины нагрузки. Зуб рассматривается как абсолютно твердое тело, периодонт – линейно-упругой средой, изучается начальное перемещение зуба.

Также в статье [7] впервые приводятся условия существования центра сопротивления зуба в трехмерном случае: центр сопротивления зуба существует и единственен, если зуб имеет ось симметрии тела, т.е. зуб должен иметь форму тела вращения, что, вероятно, не соответствует реальной его форме. Следовательно, центра сопротивления как единственной точки для зуба не существует. В связи с этим введено новое понятие, расширяющее количество случаев его существования и, сохраняющее его основные свойства, – «центр сопротивления зуба в плоскости» для случая, когда у зуба имеется плоскость симметрии: «Центром сопротивления зуба (и периодонта, в который зуб погружен) в плоскости симметрии назовем точку этой плоскости, удовлетворяющую условиям а), б) определения (*), но лишь для R, M, лежащих в плоскости симметрии».

Цель и задачи. Глобальная цель работы – создание строгой теории управления перемещением зуба с учетом механических и биологических факторов (перестройка и свойства костной ткани, свойства периодонта, влияние соседних зубов) с учетом особенностей организма отдельного пациента.

Данная работа является частью всего проекта и посвящена исследованию начальной подвижности зуба при приложении к нему системы сил.

9

Определение положения центра сопротивления в плоскости. Развитая в статье [7] теория центра сопротивления укладывается в матричное уравнение

где ρ – вектор перемещения полюса; φ – вектор малого поворота зуба; матрицы ˆ , ˆ, ˆ определяются формой корня зуба и упруги-

ми свойствами периодонта; R – главный вектор системы сил; М – главный момент системы сил относительно полюса.

Для плоского случая матрица (1) будет иметь вид

Для определения положения центра сопротивления зуба в плоскости симметрии можно воспользоваться формулами, приве-

необходимо разработать методику получения значений коэффициентов матриц ˆ , ˆ, ˆ . Также необходимо разработать практиче-

ский способ определения положения центра сопротивления зуба в плоскости, который заключается в поиске точки пересечения всех возможных прямых поступательного воздействия, т.е. линий действия сил, при приложении которых зуб двигается поступательно.

Зуб принимается как абсолютно твердое тело, корень которого погружен в окружающую его периодонтальную связку, чьи свойства принимаются линейно-упругими. В задаче периодонт моделируется в виде набора пружин с заданной жесткостью сi (в силу функции амортизации). Ориентация пружин в двумерном пространстве

задается углом i c горизонтальной осью и координатами (xi; yi) –

точки прикрепления коллагенового волокна к поверхности зуба. Наружная граница периодонта считается закрепленной (рис. 2).

10