Прикладная математика механика и процессы управления

Рис. 2. Кривые упругопластического гистерезиса представительного объема поликристалла: а – деформирование происходило

с этапом упругой разгрузки, б – деформирование происходило без учета упругой разгрузки

Изменение критических касательных напряжений по системам скольжения (закон упрочнения) описывается соотношением

где (ck0) – начальное критическое напряжение на k-й системе скольжения; ψ и δ – показатели степеней, определяемые в процессе идентификации модели; a(jk ) – модули упрочнения.

В данном законе учитывается «чистое» скольжение полных дислокаций и их взаимодействие с препятствиями, включая пересечение дислокаций других систем скольжения. Это слагаемое дает упрочнение при любых ненулевых сдвигах по любым системам скольжения [6].

Из рис. 3 видно, что при выходе в зону пластических деформаций напряжения постоянно увеличиваются, это объясняется тем, что при учете упрочнения критические напряжения по системам скольжения возрастают. Возрастание критического напряжения здесь объясняется наличием в зерне препятствий того же типа, что и дислокации: косы, жгуты, дислокации леса и т.д.

101

4.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56.

5.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамб. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. – 2010. – Т. 15, № 3–1. – С. 983–984.

6.Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. – 2009. –

Т. 12, № 5. – С. 65–72.

Об авторах

Лоевец Дмитрий Андреевич (Пермь) – студент ФБГОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: loevetsda@gmail.com).

Волегов Павел Сергеевич (Пермь) – кандидат физико-

математических наук, доцент, доцент кафедры математического моделирования систем и процессов ФБГОУ ВО ПНИПУ (614990,

г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: crocinc@mail.ru).

103

УДК 539.3

Е.И. Овчинников, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ МЕЗОНАПРЯЖЕНИЙ

ВДВУХУРОВНЕВОЙ МОДЕЛИ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛА

СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАМЕТРА НАДАИ–ЛОДЕ

Рассмотрены процессы неупругого деформирования поликристаллических материалов, а также возникающие при таких процессах остаточные напряжения. Приведены основные используемые определяющие соотношения. Проведены численные эксперименты, позволяющие исследовать возникающие в поликристаллическом агрегате остаточные мезонапряжения в зависимости от типа предшествующего деформирования, свойств материала, а также сопутствующих процессов эволюции внутренней структуры. Анализ вида напряженного состояния зерен проводится при помощи параметра Надаи–Лоде.

Ключевые слова: физические теории пластичности, поликристалл, остаточные напряжения, одноосное растяжение, одноосное сжатие.

E.I. Ovchinnikov, P.S. Volegov

Perm National Research Polytechnic University

INVESTIGATION OF RESIDUAL STRESSES

IN THE TWO-LEVEL MODEL OF INELASTIC

DEFORMATION OF A POLYCRYSTALLINE SAMPLE

USING NADAI-LODE PARAMETER

The paper discusses the processes of inelastic deformation of polycrystalline materials, as well as arising from such processes residual stresses. Main used constitutive equations were shown. Numerical experiments to investigate arising in polycrystalline aggregates residual stress depending on the type of previous loading, material properties, and related processes of the internal structure evolution. Stress state analysis is performed using a Nadai-Lode parameter.

Keywords: inelastic deformation, crystal plasticity, residual stresses, uniaxial tension, uniaxial compression.

104

В настоящее время возрастает значение надежности и долговечности деталей и механизмов, где остаточные напряжения, возникающие в материале при отсутствии внешних нагрузок, играют одну из важнейших ролей [1].

Остаточные напряжения возникают в деталях практически при любых способах технологической обработки металлов (при литье, ковке, термической и механической обработке), а по своей величине иногда могут превосходить внешние нагрузки. Во многих случаях разрушение конструкций из высокопрочных металлов вызвано действием растягивающих остаточных напряжений (рабочие лопатки турбин, компрессоров, коленчатые валы, плунжеры и пр.).

Для уменьшения остаточных напряжений применяется специальная термическая обработка, которая, однако, не всегда применима. Остаточные напряжения не всегда вредоносны, во многих случаях технологические процессы подразумевают создание остаточных напряжений, улучшающих эксплуатационные характеристики деталей и механизмов (обдувка дробью, обкатка валиками и пр.) [2].

Одной из наиболее типичных физических причин образования остаточных напряжений является пластическая деформация [3], точнее – несовместность пластических деформаций различно ориентированных зерен поликристалла.

Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, существенным образом определяются состоянием эволюционирующей мезо- и микроструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры здесь понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление. Под эволюцией микроструктуры в первую очередь понимаются изменения в дефектной структуре материала (уровне дислокационных субструктур, конгломератов точечных дефектов, границ зерен и т.д.) [4].

Существует большое количество теорий, предназначенных для описания деформирования металлов, наиболее известными из них являются математические макрофеноменологические теории, которые основаны на предсказании поведения материала исходя из

105

предыстории деформирования; такие теории используют «тяжелые» операторные уравнения, в которых можно утратить физический смысл входящих переменных. Однако существует класс теорий, позволяющий путем использования внутренних переменных значительно упростить математические выражения, входящие в модель, разделить объект моделирования на несколько масштабных уровней, непосредственно описать механизмы деформирования. С этой точки зрения наиболее подходящим вариантом для описания деформирования представляются физические теории пластичности.

Существует следующая классификация остаточных напряжений по масштабу:

–остаточные напряжения I рода (макроскопические), вызваны различными факторами обработки материала детали;

–остаточные мезонапряжения (введены в рамках двухуровневой модели, используемой в работе), уравновешенные на уровне представительного объема поликристалла, но не уравновешенные в масштабах отдельных зерен;

–остаточные напряжения II рода (кристаллитные напряжения), являются следствием ограниченности условий деформирования каждого зерна;

–остаточные напряжения III рода (микроскопические), возникают вследствие существенной неравномерности пластической деформации, обусловленной анизотропией свойств кристаллической решетки.

Для исследования остаточных мезонапряжений была использована двухуровневая модель деформирования ГЦК-поликристал- ла. Модели такого типа подробно описаны в литературе [5]. Такие модели позволяют исследовать остаточные напряжения на уровне каждого из кристаллитов, составляющих исследуемый представительный объем.

Целью работы является определение напряженно-деформиро- ванного состояния поликристаллического образца в любой момент времени и оценка остаточных напряжений после предварительного этапа произвольного нагружения и последующей упругой разгрузки.

106

При построении модели, пригодной для оценки остаточных мезонапряжений, принципиально важной является реализация упругой разгрузки, которой предшествует процесс неупругого деформирования. С алгоритмической точки зрения процесс разгрузки характеризуется выполнением следующего условия на каждом шаге моделирования [6]:

где П – тензор упругих констант макроуровня; D, Din – тензор де-

формации скорости и его неупругая составляющая соответственно; λ – характерная скорость разгрузки; Σ – тензор напряжений макроуровня. Процесс разгрузки необходимо продолжать до тех пор, пока интенсивность Σ не станет равной нулю. В таком случае можно говорить о том, что напряжения внутри представительного объема уравновешены, что позволяет называть их остаточными мезонапряжениями.

В работе представлены результаты численных экспериментов для оценки остаточных мезонапряжений для представительного объема поликристаллического материала, характеристики соответствуют чистой меди, нагружение кинематическое по схеме простого сдвига. На рис. 1 представлена кривая напряженно-деформированного состояния исследуемогообъекта сучетомупругой разгрузки.

Рис. 1. Кривая напряженно-деформированного состояния поликристалла с учетом упругой разгрузки

107

Для анализа остаточных мезонапряжений используется параметр Надаи–Лоде, характеризующий вид напряженного состояния и рассчитываемый для каждого зерна в отдельности согласно соотношению

где σ1 , σ2 , σ3 – отранжированные значения главных напряжений.

Проведен анализ распределения зерен поликристалла по параметру (2). На рис. 2 представлено распределение зерен по параметру Надаи–Лоде для различных схем нагружения.

Рис. 2. Распределение кристаллитов по параметру Надаи–Лоде для одноосного растяжения

и простого сдвига соответственно

Анализируя данные распределения, нетрудно заметить, что очевидных закономерностей не наблюдается. Такая ситуация является предсказуемой для равномерного распределения ориентаций кристаллических решеток, которое и исследуется в рамках данной модели. Однако можно заметить отличия в распределениях для разных типов нагружения, это говорит о пригодности использования модели для дальнейшего исследования процессов неупругого деформирования поликристаллов.

108

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Прези-

дента РФ № МК-4917.2015.1, РФФИ (грант № 14-01-96008

р_урал_а).

Библиографический список

1.Давиденков Н.Н. Избранные труды: в 2 т. Т. 1. Динамическая прочность ихрупкостьметаллов. – Киев: Наук. думка, 1981. – 704 с.

2.Биргер И.А. Остаточные напряжения. – М.: Машгиз, 1963. –

233 с.

3.Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. – М.: Наука, 1982. – 109 с.

4.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

5.Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститутивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение к текстурообразованию в поликристаллах // Вестник Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2006. – № 14. –

С. 11–26.

6.Волегов П.С., Трусов П.В., Янц А.Ю. Остаточные мезонапряжения в двухуровневых физических теориях пластичности поликристаллов // Вестник Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и техни-

ческие науки. – 2013. – Т. 18, № 4–2. – С. 1623–1624.

Об авторах

Овчинников Евгений Иванович (Пермь) – студент ФБГОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: efm620@gmail.com).

Волегов Павел Сергеевич (Пермь) – кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры математического моделирования систем и процессов ФБГОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь,

Комсомольский пр., 29, e-mail: crocinc@mail.ru).

109

УДК 539.3

В.С. Озерных, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ МЕХАНИЗМОВ УПРОЧНЕНИЯ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ

Рассматриваются некоторые механизмы упрочнения при деформировании материалов. Используется двухуровневая упруговязкопластическая математическая модель неупругого деформирования поликристалла с ОЦК-решеткой. Исследуется влияние взаимодействия дислокаций на упрочнение материала при монотонном деформировании. Определены законы, позволяющие описывать упрочнение материала. Анализируются полученные зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций, определены параметры, входящие в законы упрочнения, выявлено влияние этих параметров на деформационное поведение материала.

Ключевые слова: физические теории пластичности, упрочнение, границы зерен, деформирование, поликристалл.

V.S. Ozernykh, P.S. Volegov

Perm National Research Polytechnic University

DESCRIPTION OF SOME HARDENING MECHANISMS DURING POLYCRYSTALLINE DEFORMATION

In this article, some of the mechanisms of material hardening during deformation are discussed. The two-level mathematical model of polycrystalline material’s inelastic deformation with BCC lattice is used. The influence of the dislocations interaction on the hardening with a monotonic deformation is researched. Relations to describe the hardening of material were defined. Stressstrain diagrams are obtained and analyzed, the parameters included in the hardening laws are defined, and influence of these parameters on deformation behavior of the material is detected.

Keywords: crystal plasticity, hardening, grain boundaries, inelastic deformation, polycrystalline.

В настоящее время наибольший интерес представляет разработка новых материалов, а также способов их получения и обра-

110