Прикладная математика механика и процессы управления

ботки. Возникает необходимость использовать максимально прочные материалы: чем прочнее материал, тем при более высоких нагрузках его можно использовать. В связи с этим такое свойство материала, как прочность, является одним из наиболее важных конструкционных свойств материала. Повысить прочность можно путем увеличения предела текучести материала, например при финишной обработке в процессе изготовления детали.

Физические причины, приводящие к упрочнению, весьма разнообразны: упрочнение связывают с взаимодействием дислокаций между собой и со скоплениями дислокаций [1]. Также существенное влияние на упрочнение оказывает наличие границ зерен в поликристаллическом агрегате, поскольку границы зерен являются мощным препятствием для движения дислокаций, а следовательно, и причиной увеличения критических напряжений сдвига дислокаций. В связи с этим возникает необходимость физически корректного описания различных эффектов, связанных с взаимодействием дислокаций.

Изменение физико-механических свойств образца в процессах обработки металлов является следствием существенной перестройки микро- и мезоструктуры материала. Описывать такие процессы невозможно без изучения и создания соответствующих математических моделей, в явном виде учитывающих физические механизмы эволюции микроструктуры материала при интенсивных деформациях [2].

Вработе используется двухуровневая математическая модель поликристалла, в которой элемент макроуровня представляет собой представительный объем поликристалла, состоящий из элементов мезоуровня – отдельных монокристаллических зерен с ОЦКрешеткой.

Вкачестве определяющих соотношений на мезо- и макроуровне используется закон Гука в скоростной релаксационной форме [3]. Совокупность математических соотношений для модели макроуровня выглядит следующим образом:

111

где Σ – тензор напряжений Коши; П – тензор модулей упругости; D, Din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая со-

ставляющие; o – тензор ориентации; п(i) ,din(i) ,ω(i) – тензоры моду-

лей упругости, напряжений, неупругой составляющей деформации скорости и спина i-го кристаллита.

Элемент мезоуровня (отдельно взятый кристаллит) характеризуется начальными критическими напряжениями по всем системам скольжения, упругими параметрами, а также параметрами упруговязкопластического закона. Основным механизмом неупругих деформаций на мезоуровне считаются сдвиги дислокаций по кристаллографическим системам скольжения при достижении в последних критических касательных напряжений.

Совокупность математических соотношений для модели мезоуровня записывается следующим образом:

d D,

ω = o oT ,

где σ – тензор напряжений Коши; п – тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de , din , ω – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне и тен-

112

зор спина КСК; γ(k), τ(ck) – накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига по k-й системе скольжения; γ0 и m – параметры вязко-

упругого закона: характерная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на СС критическим и константа скоростной чувствительности материала; H – функция Хэвисайда. Индекс r означает не зависящую от выбора системы отсчета производную [2].

В рамках рассматриваемого подхода к построению законов упрочнения считается, что изменение критических сдвиговых напряжений на отдельных системах скольжения можно описать, используя аддитивность скоростей критических напряжений, обусловленных каждым из рассматриваемых механизмов упрочнения в отдельности:

Выражение для скорости увеличения критических напряжений сдвига дислокаций, учитывающее механизм зернограничного упрочнения, можно записать следующим образом:

где V – объем зерна; ξ( j ) – мера разориентации текущего и соседне-

го кристаллитов; S – площадь соприкосновения соседнего зерна с данным. Очевидно, что данное слагаемое зависит от скорости сдвига по текущей системе скольжения, поскольку если система не активна в данный момент, то нет причин к возникновению дополнительного упрочнения. Зависимость от накопленного сдвига на системе скольжения можно объяснить следующим образом: чем больше дислокаций провзаимодействовали с границей, тем более высокие поля напряжений создаются на границе и тем большие усилия приходится прикладывать, чтобы продвигать следующие дислокации из зерна к границе.

113

При благоприятной разориентировке зерен дислокации проходят через границу; при этом в границе остается дислокация ориентационного несоответствия (ДОН), вектор Бюргерса которой равен разности векторов вошедшей в границу из данного зерна дислокации и вышедшей из границы в соседнее зерно. ДОНы создают поля напряжений, препятствующие дальнейшему движению дислокаций в данной системе скольжения [2]. Чем больше дислокаций прошло через границу, тем более высокие поля напряжений создаются ДОНами на этой границе. Увеличение напряжения, необходимого для движения дислокации в направлении границы зерна, приводит к возникновению явления зернограничного упрочнения. В связи с этим меру разориентации определим следующим образом [4, 5]:

где b(i) , b( j) – векторы Бюргерса переходящих дислокаций из сис-

тем скольжения текущего и соседнего зерен; N – внешняя нормаль к границе. Мера разориентации учитывает геометрические особенности взаимного расположения систем скольжения соседних зерен.

Выражение для скорости увеличения критических напряжений сдвига дислокаций, характеризующее механизм базового упрочнения, можно записать следующим образом:

сдвиг по всем системам скольжения на данный момент времени; ψ

и δ – параметры материала, определяемые процедурой идентификации.

В данном слагаемом учитывается «чистое» скольжение полных дислокаций и их взаимодействие с препятствиями. Это сла-

114

гаемое описывает упрочнение при любых ненулевых сдвигах по любым системам скольжения.

В работе исследовано явление зернограничного упрочнения при переходе дислокаций из одного зерна в другое в бикристалле (образец, состоящий из двух монокристаллов) и поликристалле. Проведено моделирование поведения модельного материала с ОЦК- и ГЦК-решетками при деформировании. Получены графики зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций для бикристалла и поликристалла из 1000 зерен.

Характерные деформационные кривые, полученные в результате моделирования деформирования поликристалла из 1000 зерен с ОЦК-решеткой, представлены на рисунке. В эксперименте учитывались оба слагаемых закона упрочнения: слагаемое зернограничного упрочнения (4) и базовое слагаемое (6).

Рис. Диаграммы «интенсивность напряжения – интенсивность деформации» без упрочнения (2) и с упрочнением (1)

Анализируя кривые, представленные на рисунке, можно заметить, что после достижения интенсивности деформаций порядка 5 % необходимо прикладывать всё большие усилия для продолжения деформирования (кривая 1), если моделирование проводится с учетом упрочнения. Также видно, что в эксперименте без учета упрочнения (кривая 2) предел текучести не изменяется.

Немаловажным является тот факт, что на кривой 1 отчетливо выделяются три стадии деформирования материала: зона упругих

115

деформаций (около 3 %), зона пластических деформаций (до 5 %), упрочнение (5–30 % деформаций). Часть кривой, отвечающей за упрочнение, имеет параболический вид, что согласуется с известными экспериментальными данными.

Путем сравнения полученных результатов численного моделирования с экспериментальными данными были определены параметры, входящие в законы упрочнения. Также было изучено влияние данных параметров на поведение материала при деформировании.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Прези-

дента РФ № МК-4917.2015.1, РФФИ (грант № 14-01-96008

р_урал_а).

Библиографический список

1.Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными, их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. – 2009. – Т. 12,

№5. – С. 65–72.

2.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

3.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. – 2010. – Т. 15, № 3–1. – С. 983–984.

4.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Науч.-техн. ведомости Санкт-Петербург. гос. политехн. ун-та. Фи- зико-математические науки. – 2010. – Т. 2, № 98. – С. 110–119.

5.Волегов П.С., Никитюк А.С., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2009. – Т. 17. –

С. 25–33.

116

Об авторах

Озерных Владимир Сергеевич (Пермь) – студент ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: ozernykh@yandex.ru).

Волегов Павел Сергеевич (Пермь) – кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры математического моделирования систем и процессов ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь,

Комсомольский пр., 29, e-mail: crocinc@mail.ru).

117

УДК 539.3

Ф.С. Попов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА ПОРТЕВЕНА – ЛЕ ШАТЕЛЬЕ С ПОМОЩЬЮ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ

Рассматривается математическая модель для анализа эффекта Портевена – Ле Шателье, основанная на имитационном подходе, реализованная в виде клеточного автомата для случая монокристалла с ГПУрешеткой. Эффект Портевена – Ле Шателье заключается в том, что при монотонном деформировании образца происходят скачки напряжений, которые наблюдаются на кривой деформирования; считается, что эти скачки обусловлены взаимодействием дефектов кристаллической решетки – дислокаций как между собой, так и с точечными дефектами. Анализируются полученные дислокационные конфигурации.

Ключевые слова: эффект Портевена – Ле Шателье, физические теории пластичности, дислокации, дислокационные конфигурации.

F.S. Popov

Perm National Research Polytechnic University

MATHEMATICAL MODELING

OF THE EFFECT PORTEVIN – LE CHATELIER

USING CELLULAR AUTOMATA

The paper deals with a mathematical model based on simulation approach, implemented in the form of a cellular automaton in the case of a single crystal with a hexagonal close-packed lattice to analyze the Portevin – Le Chatelier effect. Effect Portevin – Le Chatelier is that the deformation of the sample with a monotonic power surges occur, which are observed on the curve of deformation; it is believed that these jumps caused by the interaction of lattice defects – dislocations, both among themselves and with point defects. Dislocation configurations analyzes.

Keywords: effect Portevin – Le Chatelier, physical theory of plasticity, dislocation, dislocation configuration.

118

Основываясь на моделях физики твердого тела и имеющихся экспериментальных данных, можно констатировать, что все процессы деформирования, в которых велика роль диффузионных процессов (диффузия точечных дефектов, неконсервативное движение дислокаций и др.), чувствительны к скорости деформации и температуре [1]. В качестве одного из наиболее известных проявлений влияния диффузионных процессов на поведение деформируемого материала является эффект Портевена – Ле Шателье (ПЛШ) [2].

Рис. 1. Диаграммы одноосного «жесткого» и «мягкого» нагружения

На рис. 1 представлена диаграмма одноосного нагружения, поясняющая эффект Портевена – Ле Шателье. Эффект ПЛШ с точки зрения макроэкспериментов на одноосное нагружение проявляется в следующем: при низких скоростях деформирования и повышенной температуре диаграмма нагружения приобретает пилообразную форму («зубчики») при «жестком» нагружении, при «мягком» нагружении диаграмма становится ступенчатой [2, 3].

Прерывистая текучесть, называемая также скачкообразной деформацией, – явление неустойчивости пластического деформирования, которое обнаруживается практически для всех сплавов в определенных температурно-скоростных диапазонах деформирования. Прерывистая текучесть проявляется на деформационных кривых в виде повторяющихся неоднородностей – ступенек или зубцов различного типа и имеет ряд общих закономерностей для различных материалов и температур. В большинстве работ по дан-

119

ной тематике прерывистую текучесть связывают с макро- и мезолокализацией деформации [3].

Для объяснения физической природы появления скачков напряжений существует несколько гипотез. В предлагаемой работе анализируется возникновение прерывистой пластичности при повышенных температурах и невысоких скоростях деформации, при этом на первом этапе рассматривается мягкое (силовое) нагружение. Основным механизмом рассматриваемого эффекта в рамках данной работы полагается взаимодействие дислокаций с точечными дефектами, такими как вакансии, межузельные и примесные атомы. Известно, что дислокации движутся неравномерно, большую часть времени составляет время «ожидания» на препятствиях различной природы. За время ожидания к дислокациям «стекаются» точечные дефекты, взаимодействующие с дислокациями собственными полями напряжений. Взаимодействие полей напряжений дислокаций и точечных дефектов оказывает «тормозящее» воздействие на движение дислокаций до тех пор, пока не будет преодолен текущий барьер критического напряжения, что и является основным фактором появления «ступенек» на кривой деформирования.

Поскольку появление рассматриваемого эффекта в соответствующих температурных и скоростных диапазонах существенно усложняет реализацию технологических процессов изготовления деталей методами обработки давлением, часто приводит к несовершенствам поверхности изделий, моделирование и исследование эффекта ПЛШ является актуальной задачей. Целью данного исследования является разработка математической модели движения и взаимодействия дислокаций друг с другом и с точечными дефектами на примере анализа движения дислокаций в базисной плоскости ГПУ-кристаллов, а также в ГЦК-решетках, и исследование с ее помощью эффекта ПЛШ на мезоуровне (уровне кристаллита).

Среди эффектов, связанных с деформационным статическим и динамическим старением, отметим следующие: возникновение «зуба текучести» на диаграмме деформирования, повторное его появление, качественная зависимость «зуба» от жесткости нагружающей системы, прерывистая текучесть, которая в большинстве работ связывается с эффектом ПЛШ. Существует большой спектр работ, посвященных исследованию эффекта ПЛШ различными ме-

120