Прикладная математика механика и процессы управления

наличии напряжений в материале можно судить по смещению максимума дифракционной линии. С помощью уравнений теории упругости устанавливается связь между деформациями и напряжениями.

Рентгеновским способом измеряется упругая деформация только некоторых благоприятно ориентированных для отражения пучка лучей зерен. Участвующие в отражении лучей зерна могут изменяться в зависимости не только от их ориентировки, но и от используемого излучения. Вследствие этого при определении напряжений первого рода наблюдаются большие расхождения для одинаковых материалов. К недостаткам рентгеновского метода можно отнести также то, что для пластически деформированной углеродистой стали точность определения остаточных напряжений снижается в 4–5 раз по сравнению с точностью определения напряжений недеформированной стали. Также напряжения, измеренные этим методом, определяются только на поверхности образца, а не по всему сечению. Поскольку механическая обработка поверхности перед измерением создает дополнительно остаточные напряжения первого рода примерно на глубине до 0,6 мм, это неблагоприятным образом сказывается на результатах измерений [1].

Метод зондирующей лунки в сочетании с методом голографической интерферометрии. Использование этого метода возможно благодаря явлению интерференции. Она наблюдается при сложении двух когерентных волн, т.е. волн, имеющих одинаковую разность фаз и частоту, при этом возникает пространственная картина распределения интенсивности света – интерференционная картина. Детектор регистрирует это в виде чередующихся светлых и темных полос, или интерферограммы.

Рассмотрим метод голографической интерферометрии. Совместим две голограммы объекта, записанные в различное время при разных состояниях поверхности объекта (один из способов – записать на одну фотопластинку), при освещении этой фотопластинки лазерным лучом возникает результирующая интерферограмма, отражающая разницу геометрических состояний объекта. Линии интерферограммы показывают как перемещения целого объекта, так и деформации его поверхности. С помощью этих данных можно найти значения остаточных напряжений.

91

Часто в сочетании с методом голографической интерферометрии используется метод зондирующей лунки. Во время первой экспозиции записывается голограмма окрестности будущей лунки на поверхности объекта в исходном состоянии. Потом создается возмущение поверхности тела (например, путем высверливания малой лунки), что позволяет проявиться остаточным напряжениям. Далее изъятие малого объема приводит к локальным упругим перемещениям, пропорциональным остаточным напряжениям. Далее записывается голограмма возмущенной таким образом поверхности тела. В результате наложения голограмм при их одновременном восстановлении упругие перемещения поверхности в окрестности лунки выявляются в виде интерферограммы, по которой можно определить значения остаточных напряжений [1].

Рентгеновский дифрактометр Xstress 3000 G3/G3R. Данный прибор (рис. 1) измеряет остаточные напряжения с использованием рентгеновского излучения, т.е. при помощи метода рентгеновской дифракции. Таким прибором лучше всего измерять остаточные напряжения в ферритных сталях, его возможно применять для всех кристаллических материалов, включая керамику [2].

Рис. 1. Рентгеновский дифрактометр Xstress 3000 G3/G3R

92

На основе теории упругости для изотропного кристаллического материала формула для определения деформаций кристалличе-

ской решетки в направлении φ и ψ имеет следующий вид:

ψ – угол между нормалями к поверхности образца и к отражающей плоскости {hkI}; d0 и d – межплоскостные расстояния кристал-

лической решетки для недеформированного и деформированного материала соответственно; 11, , 33 ( 12, 13, 23 ) – нормальные

(касательные) компоненты тензора напряжений; ( ) – нормаль-

ругости.

Тензор напряжений определяется методом Долле–Хаука. Параметры деформации кристаллической решетки этим методом рассчитываются следующим образом [3]:

Прибор для измерения остаточных напряжений Prizm.

Данный прибор использует технологию сверления отверстий с цифровыми изображениями и электронной интерферометрией пятнистой структуры изображения (метод зондирующей лунки). При-

93

бор обеспечивает измерение плоского напряженного состояния. Измерения можно проводить в любом материале, который может быть просверлен [4].

Рис. 2. Схема для измерения остаточных напряжений Prizm

Prizm измеряет деформацию поверхности оптически с помощью лазерного излучения (рис. 2). Отраженный от образца лазерный луч интерферирует с эталонным лучом непосредственно на ПЗС-матрице. Эталонный луч сдвинут по фазе на 0, 90, 180 и 270° с целью создания четырех различных изображений для каждого условия измерения. Такие наборы изображений получаются для каждой глубины сверления, которую пользователь может свободно выбрать. Сравнение двух наборов изображений позволяет рассчитать фазовые карты, описывающие изменение формы поверхности вокруг отверстия при переходе из одного состояния в другое. Развертка фазы переводит фазовую карту в экспериментальную карту смещений, которая затем совмещается с картой стандартных смещений, связанных с двуосным напряженным состоянием определенной величины. В результате расчета определяются продольные

94

и поперечные напряжения. В процессе аппроксимации вычисляются также три переменные величины координат по осям X, Y и Z, которые описывают все возможные перемещения самого образца.

Для расчета профиля напряжений по глубине используется интегральный метод Schajer. Он включает в себя возможность регуляризации, когда расчет карты смещения для каждого шага по глубине связан с результатами расчета для соседних шагов. Фактор регуляризации является переменной, выбираемой пользователем. Эта процедура сглаживает мелкие ошибки отдельных точек данных.

Камера и блок подсветки могут быть легко размещены таким образом, чтобы обеспечить различные условия выполнения измерений. Направления падающего и отраженного лучей определяют направления чувствительности измерения, которые всегда сочетаются в плоскости и вне плоскости компонентов.

Анализ данных включает в себя все пиксели в кольцевой области вокруг отверстия, описываемой внутренним и внешним радиусами, которые пользователь может выбрать. Перемещения являются максимальными в области, близко расположенной к краю отверстия, но эта область не дает полезной информации, поскольку в процессе сверления она повреждается.

Перемещения уменьшаются по мере увеличения расстояния от отверстия, так что данные измерений становятся все менее полезными для анализа [5].

Библиографический список

1.Колмогоров Г.Л., Кузнецова Е.В., В.В. Тиунов. Технологические остаточные напряжения и их влияние на долговечность и надежность металлоизделий. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 40 с.

2.XSTRESS G3/G3R [Электронный ресурс] / Sintrol – поставщик оборудования. – URL: http://www.sintrol.ru/images/Brochures _ru/ Брошюра_о_Xstress_3000_G3_G3R.pdf.

3.XSTRESS G3/G3R [Электронный ресурс / Sintrol – поставщик оборудования. – URL: http://www.sintrol.ru/images/usefulinformation/NDT_World_58_2012_ XStress.pdf.

95

4.Prizm [Электронный ресурс / Sintrol – поставщик оборудо-

вания. – URL: http://www.sintrol.ru/images/Brochures_ru/Брошюра_о _ PRIZM.pdf.

5.Prizm [Электронный ресурс / Sintrol – поставщик оборудо-

вания. – URL: http://www.sintrol.ru/images/useful-information/NDT_ World_59_2013_ Hole_Drilling.pdf.

Об авторах

Дудин Дмитрий Сергеевич (Пермь) – студент ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: dpm@pstu.ru).

Шалимов Александр Сергеевич (Пермь) – студент ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: dpm@pstu.ru).

Кузнецова Елена Владимировна (Пермь) – доцент кафедры динамики и прочности машин ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990,

г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mellen75@mail.ru).

96

УДК 539.3

Д.А. Лоевец, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛА С УЧЕТОМ УПРОЧНЕНИЯ

Рассматриваются вопросы, связанные с описанием циклического нагружения поликристаллических материалов. В целях улучшения прочностных характеристик материалов часто используются те или иные схемы циклического упругопластического деформирования, поэтому анализ физических механизмов, реализующихся при таких процессах, а также описание сопутствующей эволюции внутренней структуры являются актуальными задачами. В рамках работы проводится исследование напря- женно-деформированного состояния поликристаллического материала с ГЦК-решеткой. Получены кривые упругопластического гистерезиса при различных схемах нагружения, а также кривая напряженно-деформи- рованного состояния при циклическом нагружении поликристалла с учетом упрочнения, проведен анализ полученных результатов.

Ключевые слова: многоуровневые модели, физические теории пластичности, циклическое нагружение, упрочнение.

D.A. Loevets, P.S. Volegov

Perm National Research Polytechnic University

MATHEMATICAL MODELING OF CYCLIC LOADING

CONSIDERING POLYCRYSTAL HARDENING

The paper discusses issues related to the description of polycrystalline material’s cyclic loading. In order to improve the strength characteristics of materials commonly used different schemes of cyclic elastic-plastic deformation, so analysis of the physical mechanisms that realizing in such processes, as well as the internal structure’s co-evolution is actual problem. Within the framework of study we carried out stress-strain state of a polycrystalline material with fcc lattice. Elastic-plastic hysteresis curves were obtained at different loading schemes as well as the stress-strain curve of a polycrystal under cyclic loading taking into account hardening, the obtained results were analyzed.

Keywords: multilevel model, crystal plasticity, cyclic loading, hardening.

97

Впроцессах интенсивных пластических деформаций существенно меняется внутренняя структура материала, причем эти изменения происходят на всех масштабных уровнях: меняется дефектная структура, зеренная структура, эволюционирует сеть микроповреждений и т.д. С одной стороны, макронагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. В связи с этим в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материа-

лов [1, 2].

Умение описывать поведение материала, изменение его свойств является актуальной задачей. В целях улучшения прочностных характеристик материалов и конструкций на этапе предфинишной обработки часто используются те или иные схемы циклического упругопластического деформирования. Так, например, комбинация циклических кручений и растяжений позволяет увеличить предел текучести материала на десятки процентов.

Целью работы является математическое моделирование неупругого деформирования поликристаллов с учетом эволюции внутренней структуры, а также моделирование циклического нагружения поликристаллов.

Объектом исследования в данной работе является представительный объем поликристалла. В рамках работы используется двухуровневая математическая модель (макро- и мезоуровни), описывающая неупругое деформирование [3].

Вкачестве модели мезоуровня принята упруговязкопластическая модель неупругого деформирования ГЦК-кристалла, при этом считается, что основной вклад в неупругое деформирование вносит скольжение дислокаций по системам скольжения; в качестве определяющего соотношения на каждом из масштабных уровней используется закон Гука в скоростной релаксационной форме. На-

98

пряжения на макроуровне в этом случае определяется осреднением напряжений в элементах мезоуровня – зернах.

Запишем систему уравнений, позволяющую описать напря- женно-деформированное состояние материала на макроуровне [4]:

спина на макроуровне, который характеризует движение подвижной системы координат; ω – тензор спина на мезоуровне; П, п –

тензоры упругих свойств на макроуровне и на мезоуровне; Din – неупругая составляющая тензора деформации скорости на макро-

уровне; din – неупругая составляющая тензора деформации скоро-

сти на мезоуровне; R определяет вид коротационной производной на макроуровне.

Для передачи воздействия с макрона мезоуровень принята кинематическая гипотеза Фойгта [5].

Можно записать аналогичную (1) систему уравнений для мезоуровня:

99

где σr – коротационная производная тензора напряжений Коши на мезоуровне; d – тензор деформация скорости на мезоуровне;

ское и действующее касательные напряжения, скорость сдвига на k-й системе скольжения; H – функция Хевисайда.

Часть характеристик с мезоуровня переходят на макроуровень

сиспользованием осреднения:

Пп ,

Ω= < ω> ,

Σ< σ>.

При моделировании циклического нагружения использовались две схемы деформирования. Первая схема заключалась в последовательном растяжении, упругой разгрузке, сжатии, повторной разгрузке и растяжении представительного объема (рис. 1, а). Вторая схема исключала процессы, связанные с упругой разгрузкой

(рис. 1, б).

Рис. 1. Кривые упругопластического гистерезиса монокристалла:

а– деформирование происходило с этапом упругой разгрузки;

б– деформирование происходило без учета упругой разгрузки

Аналогичная серия экспериментов проводилась и для поликристалла, состоящего из 125 зерен (рис. 2). Полученные данные позволяют качественно описать кривую упругопластического гистерезиса. Для количественного сопоставления необходимо включить в рассмотрение другие механизмы, сопровождающие неупругое деформирование.

100