Прикладная математика механика и процессы управления

м

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

Рис. 13. Высота подъема

Библиографический список

1.ЗУР семейства STANDARD [Электронный ресурс] // Вест-

ник ПВО. – URL: http://pvo.guns.ru/other/usa/standard/index.htm#2.

2.Правила техники безопасности [Электронный ресурс] // Ра-

кетная мастерская. – URL: http://www.airbase.ru/modelling/rockets/ safety/safety.html.

3.Сорбитовая карамель [Электронный ресурс] // Serge77 – моя ракетная мастерская. – URL: http://serge77.rocketworkshop.net/can sorb/cansorb.htm.

Об авторе

Романов Никита Сергеевич (Пермь) – студент ФГБОУ ВО ПНИПУ (614900, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: nikita-romanov71@rambler.ru).

131

УДК 539.3

М.А. Тельканов, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

СРАВНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ РОТАЦИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК В ПРОЦЕССАХ ИНТЕНСИВНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ

Рассматривается двухуровневая математическая модель, описывающая неупругое деформирование представительного объема поликристаллического материала. Модель включает два различных механизма ротаций (разворотов) кристаллических решеток зерен: модель стесненного поворота по Тейлору и модель, связанную с несовместностью пластических сдвигов в соседних зернах. С использованием модели проведены численные эксперименты по различным видам деформирования представительного объема поликристалла. Анализируются полученные кристаллографические текстуры, а также кривые деформирования, приводится сравнение двух моделей ротаций.

Ключевые слова: двухуровневая модель, физические теории пластичности, поликристалл, неупругое деформирование, ротация решетки, модель Тейлора, текстура.

M.A. Telkanov, P.S. Volegov

Perm National Research Polytechnic University

COMPARISON OF CRYSTAL LATTICE ROTATIONS MODELS DURING THE PROCESSES OF INTENSIVE INELASTIC DEFORMATIONS OF POLYCRYSTALLINE

In this study, mathematical model describing the inelastic deformation of representative volume of polycrystalline material is considered. Model includes two different mechanisms of crystal lattice rotations: Taylor’s rotation mechanism and the mechanism, related with plastic shears incompatibility. Some numeric experiments of deformations of representative volume of polycrystalline carried out using the model and specified parameters. Stress-strain diagram and crystallographic textures were analyzed. Comparison of the two models of rotations was carried out.

Keywords: two-level model, crystal plasticity, polycrystalline, inelastic deformation, lattice rotation, Taylor’s model, texture.

132

Введение. На сегодняшний день большинство схем обработки металлов связаны с интенсивными упругопластическими деформациями, такими как прессование, прокатка, волочение и т.д. Хорошо известно, что при интенсивных неупругих деформациях поликристаллических материалов происходит формирование так называемой кристаллографической текстуры, т.е. появление выделенных направлений в ориентациях кристаллических решеток отдельных зерен. Текстура материала может порождать существенную анизотропию его свойств на макроуровне, которую необходимо учитывать при эксплуатации конструкций из данного материала. Специально для описания процессов образования текстуры создаются математические модели, учитывающие механизмы поворотов (ротаций) кристаллических решеток материала при интенсивных неупругих деформациях [1].

Целью настоящей работы является построение двухуровневой математической модели деформирования поликристалла, позволяющей описывать процессы ротаций кристаллических решеток зерен, и последующее изучение с ее помощью эволюции физикомеханических свойств поликристалла, в том числе – формирование кристаллографических текстур при интенсивных неупругих деформациях.

Математическая постановка задачи. Для описания про-

цессов неупругой деформации поликристалла была выбрана двухуровневая математическая модель на базе физической теории пластичности. Элементом макроуровня является представительный объем поликристалла, элементом мезоуровня – зерно. Подробное описание соотношений двухуровневой математической модели представлено в работе [2], здесь лишь приведем системы данных соотношений.

Определяющим соотношением на макро- и мезоуровне является закон Гука, записанный в скоростной релаксационной форме, скорости сдвигов описываются упруговязкопластическим соотношением Хатчинсона. Приняты гипотеза аддитивности деформаций и гипотеза Фойгта. Модель мезоуровня описывается следующей системой соотношений:

133

d,de ,din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие; γ(k ) , τ(k ) и τ(ck ) – скорость сдвига, напряжение сдвига и критическое напряжение сдвига по k-й системе скольжения соответственно; n( k ) и b( k ) – вектор нормали и вектор Бюргер-

са для данной СС соответственно; γ0 и m – параметры вязкоупру-

гого закона; ω – тензор спина, характеризующий мгновенную скорость вращения кристаллической решетки.

Модель макроуровня описывается следующей системой соотношений:

134

Для описания процессов ротаций решеток зерен применены два различных подхода. Первый из них – это модель стесненного поворота по Тейлору. В ней спин решетки определяется как разность тензора вихря и антисимметричной составляющей тензора пластических сдвигов [3]:

где w – тензор вихря. Данная кинематическая модель обладает одним существенным недостатком: отсутствием явного учета физических причин возникновения разворотов решеток зерен. Однако, несмотря на это, модель применяется во многих работах.

Вторая модель явным образом учитывает физические причины разворотов решеток зерен. Она связывает развороты с вращательным моментом, возникающим из-за появления на межзеренной границе дислокаций ориентационного несоответствия в результате перехода дислокаций из одного зерна в другое (рис. 1). Реализация этой модели предполагает вычисление эволюции поверхностного вращательного вектора-момента, а затем переход к эквивалентной объемной величине:

где – экспериментально определяемый параметр; N – внешняя для анализируемого зерна единичная нормаль к границе с соседним

m-м зерном; V(i) – объем анализируемого зерна; rm – радиусвектор, проведенный от центра масс данного зерна к средней точке фасетки m; S(mi) – площадь данной фасетки.

Результаты моделирования. При помощи построенной математической модели проведена серия идентичных экспериментов по нагружению представительного объема поликристаллического образца с использованием описанных моделей ротаций.

135

В частности, проведен численный эксперимент по равноканальному угловому прессованию поликристалла с параметрами, соответствующими технически чистой меди.

Рис. 1. Дислокации, вышедшие на границу зерна, образующие вращательный момент решетки зерна

Параметры материала (технически чистая медь):

По результатам численных экспериментов были построены полюсные фигуры распределения ориентаций зерен в поликристалле. На рис. 2 представлены полюсные фигуры, полученные с использованием модели Тейлора (а), модели несовместности пластических сдвигов (б), а также данные аналогичного натурного эксперимента (в), приведенные в работе [4]. Отчетливо прослеживается схожий характер неоднородностей на полученных полюсных фигурах, однако эти неоднородности в модели Тейлора проявляются гораздо четче. Это объясняется отсутствием в данной модели условия окончания разворотов решеток зерен. В реальных же образцах, как правило, текстуры имеют более рассеянный характер, который наблюдается при использовании модели несовместности сдвигов.

Для анализа напряженно-деформированного состояния поликристалла была построена кривая деформирования (рис. 3). Анализируя ее, можно отметить тенденцию спада напряжений в поликри-

136

сталле начиная с интенсивности деформаций в 15 %, что соответствует моменту начала активных разворотов решеток зерен.

а

б

в

Рис. 2. Полюсные фигуры для поликристалла чистой меди, прошедшего равноканальное угловое прессование

Рис. 3. Кривая деформирования поликристалла

137

По результатам сравнения работы обеих моделей ротаций модель, связанная с несовместностью пластических сдвигов в соседних зернах, предложена к использованию, так как она имеет четкое физическое обоснование и дает более адекватные результаты.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Прези-

дента РФ № МК-4917.2015.1, РФФИ (грант № 14-01-96008

р_урал_а).

Библиографический список

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне // Физ.

мезомех. – 2013. – Т. 16, № 5. – С. 17–23.

3.Трусов П.В., Волегов П.С., Нечаева Е.С. Многоуровневые физические модели пластичности: теория, алгоритмы, приложения // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. –

№4–4. – С. 1808–1810.

4.Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application Ti texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2004. – Iss. 193. – P. 5359–5383.

Об авторах

Тельканов Михаил Александрович (Пермь) – студент ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: michaelperm@gmail.com).

Волегов Павел Сергеевич (Пермь) – кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры математического моделирования систем и процессов ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь,

Комсомольский пр., 29, e-mail: crocinc@mail.ru).

138

УДК 51-77

О.В. Пастухова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ СТРОИТЕЛЬНОЙ ОТРАСЛИ РЕГИОНОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Приведена постановка задачи оптимизации для определения направления инвестиций в строительные отрасли регионов РФ. Предлагается решение методом идеальной точки, а также экономическая интерпретация полученного решения.

Ключевые слова: многокритериальная задача оптимизации, метод идеальной точки.

O.V. Pastukhova

Perm National Research Polytechnic University

THE ASSESSMENT OF INVESTMENT APPEAL

OF CONSTRUCTION BRANCHES REGIONS

OF THE RUSSIAN FEDERATION

In article the problem definition of optimization for definition of the direction of investments into construction branches of regions of the Russian Federation is offered, the solution is proposed by method of an ideal point, economic interpretation of the received decision is offered.

Keywords: multicriteria problem of optimization, method of an ideal point.

Для выбора направления инвестиций необходим анализ отрасли или предприятия инвестирования. Этот анализ можно провести, решив многокритериальную задачу оптимизации.

Так, например, для решения проблемы строительного сектора в России необходимо привлекать частные инвестиции на модернизацию и реконструкцию действующих строительных объектов, создавать новые строительные объекты, принимать меры по развитию инфраструктуры.

139

Для оценки инвестиционной привлекательности строительных отраслей регионов изначально было выбрано два показателя:

1)среднедушевая конечная прибыль (I), которая определяется как отношение сальдированного финансовый результата (прибыль – убыток) в строительстве к численности населения регионов РФ;

2)ликвидность (L), которая определяется как произведение показателя доступность жилья на показатель потребности в жилье.

Показатель доступности жилья представляет собой отношение среднедушевых доходов населения к средним ценам на первичном рынке жилья. Показатель потребности жилья, в свою очередь, представим в виде удельного веса семей, состоявших на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях, в общем числе семей.

Необходимо найти регион РФ, который максимизирует рассматриваемые частные критерии. Отметим, что введенные критерии дискретны. Рассмотренные регионы представляют собой альтернативные решения поставленной задачи. Ограничения накладываются только на прибыль, поскольку она должна быть положительной. В данном случае заданным ограничениям удовлетворяют 42 региона РФ [1, 2].

Математическая постановка задачи:

I CS max,

I 0,

где I – среднедушевая конечная прибыль (млн руб./тыс. чел.); C – сальдированный финансовый результат по регионам в строительстве (млн. руб.); S – численность населения (тыс. чел.); L – ликвидность; R – среднедушевые денежные доходы (руб.); P – средние цены на первичном рынке жилья (руб.); N – удельный вес семей, состоявших на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях, в общем числе семей.

Поставленная задача была решена с помощью метода идеальной точки [3]. Данный метод состоит в отыскании на границе множества Парето точки, ближайшей к идеальной. В качестве координат идеальной точки выбирается сочетание наилучших значений рас-

140