Прикладная математика механика и процессы управления

Применим принцип возможных перемещений. Сумма виртуальных работ внешних сил равна сумме виртуальных работ напряжений:

i

Рис. 2. Схематичная модель зуба: а – модель зуба, корень которого погружен в периодонт, представленный набором пружин; б – графическое обозначение параметров, входящих в задачу

Тогда

крепления к зубу i-й пружины; ci – жесткость i-й пружины; li – вектор удлинения i-й пружины.

11

Возможное перемещение складывается из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом (x0; y0) и вращательного возможного перемещения вокруг полюса:

висит деформация li .

Зная ориентацию каждой пружины, запишем их деформацию

Тогда, подставив выражения (5), (6) в формулу (4) и сравнив полученное с формулой (7), можем записать принцип возможных перемещений следующим образом:

Qx x0 Qy y0 M z z ci ( x0 yi )cos i +

Раскрывая правую часть выражения (8), обобщенные силы найдем как коэффициенты при независимых вариациях

12

ориентации на плоскости, является симметричной матрицей размером 3×3, имеет шесть независимых компонент:

A11 ci cos2 i , A12 cisin i cos i ,

A13 ci ( yi cos i xisin i )cos i ,

i

A21 A12 , A22 ci sin2 i , i

A23 ci ( yi cos i xisin i )sin i ,

i

A31 A13 , A32 A23 , A33 ci ( yi cos i xisin i )2 . i

Сравнивая выражения (2) и (10), видим, что, обратив матрицу [A], можем получить искомую матрицу

Авторами был реализован алгоритм в программе MatLab, позволяющий найти решения для выражения (10). Задав параметры

пружин: координаты прикрепления (xi; yi), угол i и жесткость ci; далее приложив систему сил, можем посчитать коэффициенты матрицы A 1 и по формулам, известным из статьи [7], найти ко-

ординаты центра сопротивления в плоскости. На рис. 3, а представлены результаты работы программы.

Для нахождения всех возможных линий поступательного действия проводим N тестов. В каждом k-м тесте (1 ≤ k ≤ N) в разных

13

точках зуба с координатами (xF; yF) прикладывается сила F под углом αF = (0; 360°), под действием которой он совершает начальное перемещение. Если угол малого поворота тела при этом будет ра-

вен нулю ( z = 0), т.е. зуб совершает поступательное движение,

значит, линия действия приложенной силы является прямой поступательного воздействия. Точкой пересечения всех таких возможных прямых является центр сопротивления в плоскости. На рис. 3, б представлен результат расчета.

а б

Рис. 3. Положение центра сопротивления, найденное:

а – по аналитическим формулам; б – практическим способом: 1 – границы корня зуба; 2 – пружины;

3 – центр сопротивления зуба в плоскости;

4 – линии поступательного воздействия

Таким образом, разработана методика определения положения центра сопротивления в плоскости двумя способами: по аналитическим формулам и подбором всех возможных прямых поступательного действия. Оба способа показывают одинаковый результат и применены впервые.

Библиографический список

1. Селянинов А.А., Тотьмянина А.В., Подгаец Р.М. Биомеханическое сопровождение коррекции зубного ряда с применением

14

эластопозиционеров // Российский журнал биомеханики. – 2012. –

Т. 16, № 1. – С. 57–79.

2.Burstone C. Part 2: Biomechanics. Interview by Dr. Nanda // Journal of Clinical Orthodontics. – 2007. – № 41(3). – P. 139–47.

3.Haack D.C. The science of mechanics and its importance to analysis and research in the field of orthodontics // American Journal of

Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. – 1963. – № 49(5). −

P.330–344.

4.Fish G.D. Some engineering principles of possible interest to orthodontists // Dental Cosmetics. – 1917. – № 59. − P. 881–889.

5.Hocevar R.A. Understanding, planning, and managing tooth movement: orthodontic force system theory // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. – 1981. – Vol. 80, № 5. – P. 457–477.

6.Smith R.J., Burstone C.J. Mechanics of tooth movement // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. – 1984. – Vol. 85, № 4. – P. 294–307.

7.Osipenko M.A., Nyashin M.Y., Nyashin Y.I. Centre of resistance and centre of rotation of a tooth: the definitions, condition of existence, properties // Russian Journal of Biomechanics. – 1999. – Vol. 3, № 1. – P. 5–15.

8.Dermaut L.R., Kleutghen J.P.J., de Clerck H.J.J. Experimental determination of the center of resistance of the upper first molar in a macerated, dry human skull submitted to horizontal headgear traction // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. – 1986. – Vol. 90, № 1. – P. 29–36.

Об авторах

Дубинин Алексей Лаврентьевич (Пермь) – аспирант кафед-

ры теоретической механики и биомеханики ФГБОУ ВО ПНИПУ

(614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: aspalexey@rambler.ru).

Няшин Юрий Иванович (Пермь) – доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и биомеханики ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29).

15

Осипенко Михаил Анатольевич (Пермь) – кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры теоретической механики и биомеханики ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомоль-

ский пр., 29, e-mail: aspalexey@rambler.ru).

Туктамышев Вадим Саитзянович (Пермь) – кандидат физи-

ко-математических наук, доцент кафедры теоретической механики и биомеханики ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомоль-

ский пр., 29, e-mail: aspalexey@rambler.ru).

16

УДК 539.1

Г.Л. Колмогоров, С.В. Ивукова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ОСОБЕННОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ

Рассматриваются вопросы упругой деформации многослойной конструкции высокотемпературных сверхпроводников. Получено соотношение для определения положения нейтральной поверхности при изгибе трехслойного сверхпроводника. Определено выражение для упругой деформации конструкции высокотемпературных сверхпроводников, которое позволяет выбрать радиус гибки, обеспечивающий упругую деформацию по всей толщине сверхпроводника.

Ключевые слова: высокотемпературная сверхпроводимость, упругая деформация, нейтральный слой, многослойная конструкция.

G.L. Kolmogorov, S.V. Ivukova

Perm National Research Polytechnic University

THE FEATURES OF THE HIGH-TEMPERATURE

SUPERCONDUCTORS DEFORMATION

This article deals with the elastic deformation of the multilayer structure of high-temperature superconductors. The relationship for determining the position of the neutral surface in bending a three-layered superconductor is obtained. Expression of the elastic deformation of the HTS construction which allows to select bending radius, providing the elastic deformation throughout the thickness of the superconductor is defined.

Keywords: high-temperature superconductivity, elastic deformation, neutral layer, multi-layer construction.

В 1911 г. Камерлинг-Оннес открыл явление сверхпроводимости, изучение которого интенсивно продолжается до наших дней и является одним из важнейших направлений физики твердого тела. Сверхпроводимость – способность вещества пропускать электрический ток, не оказывая ему ни малейшего сопротивления. Откры-

17

тие Камерлинг-Оннеса повлекло за собой большое количество экспериментальных исследований. Были найдены новые сверхпроводящие вещества, исследовались их физические свойства. К сверхпроводникам относят материалы электротехнического назначения, обладающие нулевым электрическим сопротивлениям при сверхнизких температурах. Различают низкотемпературные сверхпроводники, проявляющие свойства сверхпроводимости при температуре жидкого гелия (4,15 К), и высокотемпературные сверхпроводники, проявляющие свойства сверхпроводимости при температуре жидкого азота (77 К). Учитывая стоимость жидкого гелия и жидкого азота, перспективными с точки зрения практического применения в настоящее время являются высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП).

Различают сверхпроводники первого и второго рода. Сверхпроводниками первого рода являются чистые металлы, всего их насчитывается более 20. Среди них нет металлов, которые при комнатной температуре являются хорошими проводниками (серебро, медь, золото), наоборот, сверхпроводниками являются металлы, обладающие сравнительно плохой проводимостью при комнатной температуре (ртуть, свинец, титан и др.). Сверхпроводниками второго рода являются химические соединения и сплавы, причем не обязательно это должны быть соединения или сплавы металлов, в чистом виде являющиеся сверхпроводниками первого рода. Например, соединения MoN, WC, CuS являются сверхпроводниками второго рода, хотя Mo, W, Сu и тем более N, С и S не являются сверхпроводниками. Число сверхпроводников второго рода составляет несколько сотен и продолжает увеличиваться. Возможности практического использования ВТСП-материалов остаются многообещающими для микроэлектроники, медицины, эффективных систем производства, накопления и передачи энергии. Использование пленок позволило создать пилотные образцы систем связи нового поколения (включая электромагнитные экраны, модуляторы, антенны, коммутаторы и фильтры СВЧ- и импульсных сигналов, многослойные пленочные структуры, включающие, помимо слоев ВТСП, слои диэлектриков, сегнетоэлектриков, нормальных металлов), болометры миллиметрового, субмиллиметрового и инфра-

18

красного диапазонов излучений, принципиальные схемы сверхбыстродействующих компьютеров, чувствительных медицинских томографов и сверхчувствительных диагностических устройств, способных реагировать даже на изменения психического состояния человека (измерительные устройства, использующие эффект Джозефсона).

ВТСП представляет собой многослойную пластинку, содержащую тонкий слой сверхпроводящего материала, он производится в виде ленты различной длины с последующим свертыванием полоски в трубку с заваркой стыкового шва и помещением внутрь стабилизирующего медного прутка. Под пластинкой понимается тело, одно из измерений которого, называемое толщиной, значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равностоящих от обеих поверхностей пластинки, носит название срединной поверхности. Не делая никаких предположений относительно толщины пластинки, ограничимся рассмотрением задач, когда перемещения, возникающие при деформировании пластинки, значительно меньше толщины, а материалы, из которых изготовлена пластинка, подчиняются закону Гука при упругих деформациях и законам малых упругопластических деформаций при деформировании за пределами упругости. Как известно, для пластин справедливы гипотезы Кирхгофа–Лява. Они позволяют свести сложные пространственные задачи к двумерным, т.е. расчет реальных пластин проводить на основе исследования деформирования поверхности приведения. Следовательно, если гипотезы справедливы, то основная задача, заключающаяся в определении деформированного состояния, будет одинаковой для всех пластин независимо от их структуры по толщине. Различие появляется только при изучении напряженного состояния, где влияние механических свойств материала весьма существенно.

При изгибе пластинки ВТСП существует нейтральная поверхность, знание которой позволяет определять напряжения. Обозначим zn расстояние между нижней поверхностью и нейтральной поверхности пластинки. Положение нейтральной поверхности определяется из условия, что при чистом изгибе многослойной структуры отсутствуют деформации и упругие усилия NX = Nφ = NXφ. Опре-

19

делим положение нейтральной поверхности при изгибе для случая, когда конструкция ВТСП представляет собой трехслойный сверхпроводник:

где h – суммарная толщина; h1, h2, h3 – толщины соответствующих слоев. Выполнив интегрирование, получаем выражение для определения положения нейтральной поверхности при изгибе трехслойного сверхпроводника:

В случае, если ВТСП содержит многослойную конструкцию, возможно упрощение решения задачи путем сведения многослойной конструкции к двухслойной. Таким образом, получаем выражение для определения положения нейтральной поверхности для двухслойного сверхпроводника:

При E1h12 E2h22 имеем

где Е1, Е2, Е3 – модули упругости соответствующих слоев многослойной структуры, в этом случае нейтральный слой совпадает с поверхностью раздела слоев.

В случае гибки ВТСП-конструкции возникает упругая деформация. Тогда выражение для упругой деформации будет выглядеть таким образом:

где z – расстояние от нейтрального слоя.

20