Прикладная математика механика и процессы управления

где Sпр – так называемый приведенный статический момент всего

сечения относительно нейтральной линии. Следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести «приведенного» сечения, координата с которого относительно нижней поверхности

сечения балки определена по формуле

i 1

где i – расстояние от внешней поверхности сечения до центра тя-

жести слоя с индексом I, м.

Изгибающий момент в сечении балки определен по формуле

где yi2 d Аi Ji – момент инерции отдельной i-й части сечения

Аi

относительно нейтральной линии, м4.

Приведенный момент инерции всего сечения трехслойной балки относительно нейтральной линии определен в виде

31

С учетом формулы (10) нормальное напряжение в каждом слое рассчитали по формулам

Для оценки прочности каждого слоя получили условия

где [ ]i – допускаемое напряжение для материала i-го слоя сечения (алюминия, титана, меди).

Для оценки прочности при изгибе трехслойной балки приняты следующие размеры толщин слоев в сечении: h1 = 0,23·H, h2 = 0,32·H, h3 = 0,45·H; высота сечения H = 22·10–3 м; ширина се-

чения b = 10–2 м. В результате расчета по приведенной методике расположение нейтральной линии в сечении определено координа-

той c 11,516 10 3 м. Расчет результатов проведен с использова-

нием математического пакета Mathcad [2]. По формулам (12) из условий прочности рассчитано значение максимального изгибающего момента: M x max = 8,075 Н м. На рис. 3 представлены эпюры

нормальных напряжений, возникающих в трехслойной балке при изгибе под действием единичного ( M x = 1,0 Н м) и максимального

( M x max ) изгибающих моментов.

Из полученных результатов видно, что эпюра нормальных напряжений представлена ломаной линией и имеет скачок на границе соседних слоев, что объясняется различием модулей упругости материала.

Методика определения положения нейтрального слоя при изгибе многослойной балки применена к расчету на прочность при изгибе четырехслойной балки. Расчетная схема и эпюры напряжений приведены на рис. 4. В расчетах приняты следующие соотношения размеров слоев в сечении: h1 = 0,13·H, h2 = 0,19·H, h3 = 0,27·H, h4 = 0,41·H, где H = 37·10–3 м; ширина сечения b = 10–2 м; расположение нейтральной линии сечения определено координатой

c 18,88 10 2 м. При расчете несущей способности данной балки

32

получено значение максимального изгибающего момента

M x max 60, 28 Н м.

Рис. 3. Эпюры нормальных напряжений в трехслойной балке при изгибе

Рис. 4. Эпюры нормальных напряжений в сечении четырехслойной балки

Таким образом, в работе проведен анализ напряженного состояния при изгибе многослойной балки; рассмотрены две задачи: изгиб трехслойной и четырехслойной балок. Разработана методика

33

расчета положения нейтральной линии в поперечном сечении многослойной балки при изгибе. Дана оценка несущей способности многослойных балок при изгибе.

Библиографический список

1.Сопротивление материалов: учебник / А.Г. Схиртладзе, Б.В. Романовский, В.В. Волков, А.Н. Потемкин. – М.: Академия, 2012. – 416 с.

2.Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 13. – СПб.: Петербург, 2006. – 528 с.

Об авторах

Мельникова Татьяна Евгеньевна (Пермь) – кандидат тех-

нических наук, доцент кафедры динамики и прочности машин ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: taevmel@gmail.com).

Елесина Евгения Ивановна (Пермь) – студентка ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: dpm@pstu.ru).

34

УДК 620.17

Е.М. Спаскова, Т.В. Третьякова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ОБЛАСТИ КОНЦЕНТРАТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КОРРЕЛЯЦИИ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Под конструкционной прочностью понимают способность всей конструкции длительное время надежно работать в различных условиях эксплуатации без катастрофических разрушений (несущая способность конструкции). В условиях эксплуатации на конструкцию действуют такие факторы, увеличивающие опасность разрушения, как: концентраторы напряжений, понижение температуры, динамические нагрузки, увеличение размеров деталей (масштабный фактор), влияние нагружающей системы. В области механики деформируемого твердого тела одной из актуальных задач является исследование влияния различных типов концентраторов напряжений на поведение элементов конструкций.

Ключевые слова: конструкционная прочность, экспериментальная механика, оптические методы, метод корреляции цифровых изображений, напряженно-деформированное состояние.

E.M. Spaskova, T.V. Tretyakova

Perm National Research Polytechnic University

EXPERIMENTAL STUDY OF INHOMOGENEOUS DISPLACEMENT AND STRAIN FIELDS IN AREA OF CONCENTRATORS USING THE DIGITAL IMAGE CORRELATION METHOD

Structural strength is ability of the whole structure to work reliably in a variety of operating conditions for a long time without catastrophic destruction (bearing capacity of the structure). There are factors that affects on construction during the exploitation and increase the danger of destruction, such as stress concentrators, lowering of the temperature, dynamic loads, increasing the size

35

of the details (scale factor), the impact of the loading system. In the field of solid mechanics one of the actual problems is to study the effect of different types of stress concentrators on the behavior of structural elements.

Keywords: structural strength, experimental mechanics, optical methods, digital image correlation method, stress-strain state.

Изучению проблемы концентрации напряжений посвящено множество работ зарубежных и отечественных ученых. В. Кирш [1] впервые получил решение плоской задачи теории упругости о распределении напряжений около кругового отверстия. Решение получено Инглисом в 1913 г. и Г.В. Колосовым [2] в широкой пластине с малым эллиптическим отверстием при растяжении. Нейбер исследовал выточки разнообразных форм [3], метод конформных отображений развивался в трудах Н.И. Мусхелишвили [4]. Многолетние исследования концентрации напряжений около отверстий с широким применением метода конформных отображений были рассмотрены Г.Н. Савиным [5]. Напряженное состояние в пластине, ослабленной большим числом круговых отверстий, впервые изучалось Г.Н. Бухариновым [6]. Различные аспекты этой проблемы рассматривались в работах В.Т. Койтера [7], Л.А. Фильштинского [8], Р.Д. Миндлина [9], Ю.А. Устинова [10, 11], А.С. Космодамианского [8]. Концентрация напряжений около отверстий в толстой плите при упругих деформациях изучена И.И. Воровичем и О.С. Малкиной. Исследование напряженного состояния около отверстий в оболочках впервые было проведено А.И. Лурье [13], а также описано в работах А.Н. Гузь [14], Ван ФоФы [15]. С.Д. Бобрицкая и А.Л. Квитка рассмотрели вопрос о концентрации напряжений в пластине около малого отверстия в трехмерной постановке. В работах В.П. Матвеенко рассматривается вариант метода построения сингулярных решений.

Важная особенность явления концентрации состоит в том, что одновременно с резким повышением напряжений вблизи концентратора даже при исходном одноосном состоянии возникает сложное (плоское или объемное) неоднородное напряженное состояние, непосредственно влияющее на развитие пластических деформаций или трещин разрушения.

36

Таким образом, несущая способность основных элементов многих конструкций обычно определяется напряженным состоянием и условиями прочности в местах концентрации, так как именно там прежде всего наступает предельное состояние и разрушение [17].

Детальное изучение напряженного и деформированного состояния в местах концентрации в условиях упругости, пластичности и ползучести является обязательной частью общего прочностного расчета соответствующих конструкций и важной предпосылкой для создания оптимальных, целесообразных и надежных конструкций. Важное место в исследовании концентрации напряжений занимают экспериментальные методы. Они имеют самостоятельное значение в тех случаях, когда теоретические способы решения задачи отсутствуют или малоэффективны, и вспомогательное – при необходимости проверки аналитических решений. Для анализа на- пряженно-деформированного состояния деформируемых элементов машин и конструкций широко применяются оптические методы, такие как поляризационно-оптические методы, геометрический и интерференционный муар, голографическая и лазерная спеклинтерферометрия, теневой оптический метод каустик, а также метод корреляции цифровых изображений [19].

Корреляция цифровых изображений – это бесконтактный оптический метод регистрации полей перемещений и деформаций на поверхности объектов и элементов конструкций путем сравнения цифровых фотографий, снятых в процессе нагружения.

Вкачестве материала исследования выбрано органическое стекло. Эксперименты выполнены в Центре экспериментальной механики Пермского национального исследовательского политехнического университета при совместном использовании универсальной электромеханической испытательной системы Instron 5882 (со скоростью удлинения 1,0 мм/мин) и бесконтактной трехмерной цифровой оптической системы Vic-3D.

Целью работы является анализ неоднородных полей деформаций и перемещений в телах с концентраторами с использованием метода корреляции цифровых изображений.

Вданной работе изложены результаты проведения испытаний на одноосное растяжение пластин из органического стекла с про-

37

точками различной ориентации [17] с использованием видеосистемы. В результате проведения испытаний построены поля перемещений (u, v) и поля поперечной, продольной, сдвиговой деформаций (εxx, εyy, εxy), а также интенсивности деформаций (εi). С помощью видеосистемы зарегистрирован процесс деформирования и разрушения образцов, проведена оценка зон в области формирования трещин.

В ряде случаев разрушение пластин происходило в два этапа, сначала с одной стороны концентратора, что сопровождалось резким спадом уровня нагрузки порядка 50 %, при дальнейшем нагружении происходило незначительное увеличение значения нагрузки и полное разрушение пластины. Представляет интерес анализ конфигурации неоднородных полей деформаций в образцах для вышеуказанного случая. В качестве примера на рис. 1, 2 представлены результаты для пластины с α = 60°. На диаграмме нагружения (см. рис. 1) отмечены точки 1–3, для которых приведены поля деформаций при соответствующих напряженно-деформиро- ванных состояниях (см. рис. 2).

Рис. 1. Диаграмма нагружения для образца, где угол между осью выреза и стороной пластины составил 60°

В точке 1 (см. рис. 1) уровень нагрузки достигает значения 2,837 кН, после чего происходит разрушение части пластины (рис. 2, б), при этом наблюдается резкое падение действующей нагрузки с 2,837 до 1,243 кН. Точка 3 (см. рис. 1) соответствует пре-

38

дельному состоянию пластины с трещиной (рис. 2, в) при нагрузке 1,713 кН. Фотография разрушенного образца приведена на рис. 2, г.

εi, %

Рис. 2. Поля интенсивности деформаций εi на поверхности образца, где угол между осью выреза и стороной пластины составил 60°,

при нагрузке Р1 = 2,837 кН (а), Р2 = 1,243 кН (б) и Р3 = 1,713 кН (в),

фото разрушенного образца (г)

В результате проведенных испытаний была получена совокупность значений компонент тензора деформаций. В табл. 1 приведены значения εxx, εyy, εxy, соответствующие напряженно-дефор- мированному состоянию в точке максимальной концентрации деформаций для пластин с проточкой различной ориентации.

39

В табл. 2 представлены значения компонент тензора напряжений для каждой пластины.

Таблица 1

Значения компонент деформаций для пластин с проточкой различной ориентации

Таблица 2

Значения компонент тензора напряжений для пластин с проточкой различной ориентации

Таким образом, при использовании цифровой оптической системы Vic-3D возможен анализ образцов с различной геометрией концентраторов, в которых реализуются сложные напряженнодеформированные состояния материала. Кроме того, видеосистема обладает дополнительным преимуществом, так как позволяет за-

40