Пример 1. Пусть дана система

x2 y 2xz yz 2 1 03xyz 6 y 12 0

yx 3xz y2 3 0

Обозначим функции в левых частях системы соответственно как F, G, H . Найдём частные производные:

Найдём значения функций в этой точке:

F 0;1;2 021 2 0 2 1 22 1 3;

G 0;1;2 3 0 1 2 6 1 12 6;

H 0;1;2 1 0 3 0 2 22 3 7,

и значения частных производных:

Составим систему

Получаем x 9 / 7 1,28, y 2 / 7 0,28 , затем z 1,28 0,28 0,75 0,81 .

Новое приближение x 0 1,28 1,28, y 1 0,28 0,72 и z 2 0,81 2,81.

Первое приближение найдено, 1-й шаг закончен.

Чтобы решать задачу дальше, в новой точке надо найти значения функций и

x 1,28 x , y 0,72 y , z 2,81 z , и т.д.

44

Вычисления прекращают, когда все i , где – необходимая точность вычислений, указанная заранее.

При решении задачи в пакете EXCEL для решения линейной системы проще всего воспользоваться функциями МОБР и МУМНОЖ. Выполнив 1-й шаг, можно разместить новое приближение в том же порядке, как начальное, и копировать формулы специальной вставкой, либо просто вручную заносить новое приближение на место прежнего. Однако число шагов для нелинейных систем может быть достаточно большим – до 10-15 и более приближений. Поэтому для систем 2-го порядка лучше формулы для вычисления 1 , 2 занести в явном виде, например, как формулы Крамера. А именно, для системы

Fx x Fy y F , Gx x G y y G

Выполним 2 шага подробно, а затем составим таблицу для вычислений. Поскольку точность 0,01 , действия выполняем с 3-мя знаками после запятой (3-я цифра запасная).

линейная система имеет вид

45

X 1 . В точке X 1 1,2; 0,533 значения функций

F X 1 1,2 0,533 2 1,2 3 0,533 4 0,640, G X 1 1,22 0,533 5 1,2 6 0,768 ,

а значения производных

Здесь Dx , Dy и D найдены по указанным выше общим формулам. При при-

менении пакета Excel достаточно использовать ссылки на нужные значения

На 4-м шаге x 0,001 0,01 и y 0,003 0,01 , вычисления законче-

ны. Действительно, добавив эти величины к прежним значениям x, y , получаем x 1, y 1 , для которых F 0 и G 0 , а именно это нам и требуется. Попытка пересчитать x, y приводит к тем же самым значениям.

Ответ: с точностью 0,001 решение системы – x 1, y 1 .

Замечание 1. Из схемы следует, что для сходимости метода Ньютона нужно, чтобы ни на каком шаге решения определитель матрицы частных производных не обратился в 0.

Если определитель не обращается тождественно в 0 в каждой точке (тогда задачу вообще решить невозможно), то определить по первоначальному приближению, выполнено ли условие сходимости, весьма сложно, и этот вопрос выходит за рамки пособия. При решении в пакете Excel достаточно поменять начальное приближение.

Замечание 2. Также следует помнить, что, в отличие от линейных систем, нелинейная может иметь несколько решений, и небольшое изменение начального приближения может резко поменять ответ. Обычно это происходит, если начальное приближение находится вблизи стационарных точек системы.

Замечание 3. При решении упрощённым методом Ньютона можно не пересчитывать частные производные и использовать те, что получены на 1-м шаге (тогда матрица соответствующей системы относительно i не изменяется). Схо-

димость при этом может существенно замедлиться.

2.7. Поиск глобальных экстремумов функции и метод золотого сечения

Известно, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём наименьшего и наибольшего значения либо на концах отрезка, либо в критических точ-

47

ках, где производная равна 0 или не существует. Отсюда следует простая схема поиска наименьшего и наибольшего значения функции f(x) на отрезке:

1) найти производную f x ;

2) найти с её помощью критические точки; 3) найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, вхо-

дящих в отрезок; 4) выбрать самое большое и самое малое значения.

В этой схеме наиболее сложен 2-й пункт. По общей схеме можно найти корни только у простейших производных. В других случаях поиск критических точек возможен лишь приближённо, и точное решение всей задачи теряет смысл.

Эта же проблема возникает и при простом поиске экстремума по производной, поэтому необходимы способы поиска минимума и максимума, позволяющие обойтись без производной.

Поиск экстремума приближёнными методами похож на решение уравнения методом деления отрезка.

Пусть необходимо найти точку глобального минимума функции f(x) и известно, что она находится на отрезке [a, d]. Разделим отрезок на 3 части точками b, c так, чтобы a b c d и найдём значения f a , f b .

Пусть f b f c . Если функция не слишком «необычна», можно ожидать, что при движении слева к точке c функция возрастает. Тогда маловероятно, что точка минимума находится правее точки c, т.е. на участке [c, d], поэтому участок [c, d] можно исключить из рассмотрения. Скорее всего, точка минимума находится на промежутке [a, c], и именно на нём будем её искать дальше.

Наоборот, если f b f c , то, независимо от значений на концах отрезка, точка минимума должна быть на [b, d], но не на [a, b], и из рассмотрения можно исключить участок [a, b]. Скорее всего, на нём функция или всё время убывает, или возрастает до максимума и потом убывает.

В любом случае отсекая ненужный участок, получаем уменьшенный отрезок – либо [a, c], либо [b, d]. Переобозначив его как [a, d], снова делим на 3 части точками b, c и повторяем рассуждения.

Действуя так много раз, получим малый отрезок, длина которого будет меньше допустимой погрешности. Тогда любая точка такого отрезка может считаться точкой минимума (обычно берут середину отрезка).

Если же на отрезке [a, d] нет локального минимума, то произойдёт движение к концу отрезка, в котором значение функции меньше: к точке a, если

48