3) Найти несколько элементов последовательности xn по одной из формул п. 1.

4) Если сходимость «просматривается», увеличить m и продолжить п. 3.

5)Если сходимости нет, найти несколько элементов по другой формуле п. 1.

6)Если сходимости снова нет, поменять x0 и повторять пункты 3-5, пока ре-

шение не начнёт получаться.

Замечание о скорости сходимости. При замене уравнения f x 0 на равно-

сильное x g x не так очевидно, достигнута ли нужная точность, поскольку при малом m приближения xn 1 и xn мало отличаются, а значение функции f(x)

по значению функции g(x) неясно. Доказано, что для возрастающих функций f(x) всегда

а для убывающих f(x) всегда c xn xn 1 xn , что позволяет по разности между двумя приближениями оценить настоящий корень уравнения.

Вычисление корней при помощи метода простых итераций

39

Известная формула x2 x 1 позволяет с какой угодно точностью извлекать корни любой целой степени из любого положительного числа.

и далее таким же образом последовательность

2,434 1, 2,456 0, 2,446 8, 2,450 6, 2,449 0, 2,449 7, 2,449 4, 2,449 5.

Вычисления ведём с 4-мя знаками и прекращаем, когда числа повторяются.

Ответ: 6 2,449 5 .

Подобным образом можно найти 3 A .

Заменив уравнение x3 A на равносильное ему x 1 x2 x 1 A 1 , полу-

x2 x 1 2

статочно больших значениях x.

40

Продолжая, получаем последовательность 2,626, 1,855, 2,429, 1,906, 2,377, и с некоторого момента чередуются числа 2,154 и 2,155.

Ответ: 3 10 2,155 .

Пример 3. Посмотрим, что произойдёт, если при поиске 3 64 взять x0 4 –

точный корень.

ведливо и для уравнений xk A .

2.6. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Пусть дана система n нелинейных функциональных уравнений относительно n переменных x1 , x2 , , xn :

f1 x1 , x2 , , xn 0,f2 x1 , x2 , , xn 0,

fn x1 , x2 , , xn 0,

41

где fi x1 , x2 , , xn 0 при i 1,2, , n – некоторые известные функции. Набор переменных x1 , x2 , , xn служит решением системы, если отвечает каждому её уравнению. Точно решить такие системы можно лишь в простейших случаях. Единственно возможный общий метод – метод подстановки, когда переменные выражаются через остальные и система сводится к одному уравнению исключением переменных, здесь не подходит, поскольку в лучшем случае получится очень громоздкое уравнение, а в большинстве случаев такое исключение само невозможно.

Метод Ньютона – один из основных приближённых методов решения таких систем. Он основан на следующих идеях:

1) для дифференцируемой функции одной переменной справедливо приближённое равенство f (x) f x0 f x0 x x0 , где x0 – произвольная точка, а x x0

;

2) поскольку наша цель – подобрать x так, чтобы f x 0 , а значения f x0 и f x0 известны, получается линейное уравнение относительно x x0 или, что равносильно, относительно x ;

3) аналогичное равенство справедливо и для функции многих переменных,

X X 0 считать скалярным;

4) в случае многих переменных получается линейное уравнение относительно X X 0 , содержащее n неизвестных x1 , x2 , , xn ;

5)для однозначного поиска n неизвестных в общем случае достаточны n независимых уравнений, и каждое такое уравнение получается дифференцированием очередной функции f2 , f3 , , fn ;

6)таким образом, получается система n линейных уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , , xn , решить которую можно известными способами либо

точно, либо приближённо.

Запишем систему в общем виде. Пусть X 0 x10 , x20 , , xn0 – некоторое началь-

ное приближение, X x1 , x2 , , xn – некоторая точка, близкая к X 0 . Тогда можно считать, что

42