Многочлен (1.2) с коэффициентами, являющимися решением системы (1.3),

называется интерполяционным многочленом (полиномом). Приближение при помощи многочлена Pn(x) называют параболическим интерполированием.

Проблема в том, что в системе (1.3) обычно получаются большие коэффициенты xk m из-за высоких степеней m n ; саму систему при большом числе урав-

нений сложно решать; при решении накапливаются ошибки, и окончательное решение неустойчиво. К тому же систему уравнений приходится заново составлять и решать при добавлении сведений об ещё одной точке или о не-

скольких точках.

Более экономичны такие способы построения полиномов, как метод множителей Лагранжа и метод разделённых разностей Ньютона.

1.2. Метод множителей Лагранжа

Идея метода – искать полином не в виде (1.2), а как

ками, кроме точки xk :

0 x x x1 x x2 x xn ,1 x x x0 x x2 x xn , и т.д.

Полином (1.4) выглядит громоздко, но при подстановке в него x0 получается

Ln x0 A0 0 x0 , а остальные слагаемые обращаются в 0. При подстановке x1 получим Ln x1 A1 1 x1 , и т.д., что позволяет быстро найти числа A0 , A1 , , An .

В подробной записи многочлен Ln(x) имеет вид:

При этом очевидны равенства

Ln x0 y0 , Ln x1 y1 , , Ln xk yk , , Ln xn yn ,

5

т.е. в узлах интерполяции xk значения многочлена (1.5) совпадают со значениями приближаемой функции f(x) , так как согласно таблице (1.1) выполняются равенства yk f xk .

Формула (1.5) значительно упростится в случае равноотстоящих узлов интер-

которое называют формулой линейной интерполяции, так как многочлен L1(x) есть линейная функция x kx b . При таком подходе дуга исходной интерполируемой кривой y f x на промежутке [x0, x1] заменяется отрезком прямой

соединяющим две точки (х0, у0) и (х1, у1) исходной таблицы (1.1). Так как х1≠х0, эти точки не являются вертикальными. Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки (х0,у0) и (х1, у1), не являющиеся вертикальными, имеет вид

y y0 y1 y0 ( x x0 ) . x1 x0

Предлагаем читателю установить, что уравнение совпадает с последним. Учитывая сказанное, приближённое равенство (1.6) можно переписать в виде

Формула линейной интерполяции функции f(x) используется для приближённого вычисления её значений внутри промежутка [x0, x1].

В математическом анализе (точнее, дифференциальном исчислении функций одной переменной) для дифференцируемых функций хорошо известно другое приближённое равенство

применяемое для приближённого вычисления значений функции в окрестности ( x 0 ; x0 ) точки х0 достаточно малого радиуса .

Равенство (1.9) следует из определения производной в точке, т.е. из равенства

или из приближённого равенства y(x0 ) dy(x0 ) для дифференцируемой функции, которое означает, что приращение функции в точке х0 ( y(x0 ) f (x) f (x0 ) )

примерно равно дифференциалу этой функции в точке х0 ( dy(x0 ) f (x0 ) x,x x x0 есть приращение аргумента). При этом точность последнего прибли-

жённого равенства тем больше, чем меньше x , т.е. чем ближе х к х0.

Так как справа в (1.9) стоит линейная функция, формулу (1.9) называют линеаризацией функции f(x) в окрестности точки х0. Эту формулу можно использовать как для x x0 , так и для x x0 , но достаточно близких аргументов х к х0.

Читателю рекомендуется дать геометрическую интерпретацию формулам

(1.8) и (1.9).

Схема построения полиномов Лагранжа

Шаг 1. Найдём коэффициенты k k xk :

всеми остальными значениями аргументов из таблицы (1.1).

Шаг 2. Пусть x – переменная. Составим произведение

x x x j x x0 x x1 x x2 x xn .

Полином Лагранжа для значений функции в точке x выглядит так:

Шаг 3. Раскрывая внешние скобки, можно получить многочлен степени n

как классический полином Лагранжа, а продолжая раскрытие скобок, свести к стандартному виду a0 a1x a2 x2 an xn , но обычно удобнее работать с поли-

номом в виде, полученном на шаге 2, хотя он и терпит устранимый разрыв во всех точках xk .

Пример. По таблице

построить полином Лагранжа и найти приближённые значения в точках 2,7 и 4,05. Решение. Удобно пронумеровать точки и значения:

x0 0, x1 1, x2 2, x3 3, x4 4 и y0 2, y1 3, y2 6, y3 11, y4 18.

Шаг 1. Находим коэффициенты

0 0 1 0 2 0 3 0 4 24 ,

1 1 0 1 2 1 3 1 4 6 ,2 2 0 2 1 2 3 2 4 4 ,

3 3 0 3 1 3 1 3 4 64 4 0 4 1 4 2 4 3 24 .

Шаг 2. Составим произведение x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 . Полином Лагранжа: