где n – число пар значений, а неизвестны параметры a и b. Систему 2-го порядка можно решить любым удобным способом (например, по формулам Крамера).

Из тех же соображений при подборе квадратичной зависимости y ax2 bx c получается система

с неизвестными a, b, c.

Пример 1. В таблице приведены 4 пары значений:

Подобрать методом наименьших квадратов линейную функцию y ax b . Решение. Найдём необходимые суммы:

xk 3 0 1 5 3 ;

yk 2 1 2 6 5 ;

xk2 3 2 02 12 52 35 ;

xk yk 3 2 0 1 1 2 5 6 38 .

Подставив суммы в систему (1.11), получим

35a 3b 38,

3a 4b 5.

Решение этой системы – числа a 1,046 и b 0,466 . Таким образом, теоретическая линейная функция y 1,046x 0,466 .

Сумма квадратов отклонений теоретических значений от фактических:

y xk yk 2 2,672 3 2 0,466 1 2 1,512 2 2 5,70 6 2 2,929 ,

17

и её невозможно уменьшить ни при каких других а, b. Функция y 1,046x 0,466 даёт лучшее приближение по сравнению со всеми линейными функциями.

Например, попытавшись провести прямую по двум точкам, давшим наибольшие отклонения, то есть по точкам (–3,–2) и (0,–1), получим y 0,333x 1 . Тогда в этих точках отклонения составят 0, в точке (1,2) получим y 1 0,333 1 1 0,667 , но в точке (5,6) будет не 5,70, а y 5 0,333 5 1 0,667 и

из-за этого общее отклонение станет намного больше:

0 0 0,667 2 2 0,667 6 2 35,533.

Тем не менее можно учесть отклонение в точках (–3,–2) и (0,–1), считая например, что все точки находятся не на прямой, а на дуге параболы, что показывает следующий пример.

Пример 2. По данным примера 1 найти функцию y ax2 bx c .

Решение. Необходимые произведения и суммы удобно найти в таблице, за-

Подставив все xk в полученную функцию, найдём теоретические значения y xk и заполним последние три столбца. Общее отклонение 2,092 меньше, чем

18

2,929 при линейном приближении. Параболическая функция точнее учитывает данные задачи, чем линейная.

Ответ: y 0,059x2 0,914x 0,046 .

Если при поиске параболической функции уменьшение общего отклонения невелико и высокая точность в дальнейших действиях не нужна, предпочтительнее выбрать линейную функцию как более простую. Так, построив по четырём точкам примера 2 кубическую параболу, получим отклонение, равное 0, но это противоречит самой цели МНК – с меньшими затратами получить простую функцию. Более того, коэффициент при x 3 будет невысок.

Встроенная в пакет EXCEL функция ЛИНЕЙН позволяет сразу получить коэффициенты линейной зависимости по входным данным. Её действие как раз основано на изложенном алгоритме. Более того, с помощью функции ЛИНЕЙН можно найти зависимость общего вида

варительно вычислив значения всех базисных функций в точках xk .

Некоторые функции приходится преобразовывать к зависимости, допускающей применение МНК. Так, попытка найти коэффициенты а, p для функции

решить которую невозможно. Как действовать в таких случаях, покажем на нескольких примерах.

Пример 3. В таблице приведены пять пар значений:

Подобрать методом наименьших квадратов функцию y ax p . Решение. Прологарифмируем равенство:

ln y ln ax p ln a ln x p ln a p ln x , и обозначим B ln a, Y ln y, X ln x .

Задача свелась к поиску зависимости Y pX B по известному алгоритму.

19

Составим таблицу:

В таблице X ln x , Y ln y , а в последней строке указаны суммы каждого столбца. Подставив суммы так же, как в примере 1, и учитывая, что у нас пять пар данных, получим систему

6,199 5 p 4,787 5B 11,463 54,787 5 p 5B 9,641 5,

из которой p 1,400 0, B 0,587 8 .

Поскольку B ln a и соответственно a eB , находим a e0,5878 1,800 0 . Таким образом, если предполагается степенная зависимость, то наиболее точно она задаётся формулой y 1,8x1,4 . Проверка даёт почти нулевое отклонение.

Ответ: y 1,8x1,4 .

Пример 4. По приведённым данным

Решение. Чтобы привести функцию к виду, допускающему подбор методом наименьших квадратов, обратим исходное равенство:

Обозначив K 1/ A, B b / A, получаем зависимость Y KX B , где Y 1 / y

и X ln cos x .

20

Подберём коэффициенты K, B так же, как в примере 1, и затем найдём интересующие нас A 1/ K и b BA B / K . Вычисляем:

В последней строке, как обычно, указаны суммы чисел в столбцах. Составляем систему

теоретические значения функции, отклонения от фактических и их квадраты.

Замечание 1. Значения функции, приведённые в условии, получены округле-

знака после запятой. При округлении входных данных до целых чисел МНК дает

ln cos x 1,481

Замечание 2. Таким же образом можно найти более сложную зависимость

21

1.6 Интерполяция сплайнами

Здесь, как и ранее, рассматривается приближение функции f (x) , заданной аналитически на отрезке [a;b] или таблицей (1.1) другой функцией (x) . При этом искомая на отрезке [a;b] функция (x) в заданных точках xi должна при-

нимать значения равные f (xi ) .

В первых пунктах роль (x) выполняли интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, которые различаются только формой записи. Однако, приближение функции с помощью многочленов оказывается малопригодным, если приближаемая функция f (x) имеет небольшое количество производных, а такие функции чаще всего встречаются в приложениях. Это обстоятельство и привело к необходимости введения сплайнов.

Для определённости будем рассматривать приближение функции f (x) на отрезке [a;b] . Разобьём его на части [x0 ; x1 ] , … , [xn 1 ; xn ] , при этом x0 a , xn b и x0 x1 xn . Обозначим это разбиение отрезка через , а разность xi xi 1 через hi .

Сплайном Sm ( f , x) порядка m называется функция, являющаяся многочле-

иудовлетворяет условиям:

1)Sm ( f , x) непрерывна вместе со своими производными до порядка m 1 в

Из определения следует, что для построения сплайна порядка m надо задать значения m 1 коэффициента, так как на каждом отрезке [xi 1 ; xi ] сплайн являет-

ся многочленом степени m . Условия 1), 2) задают n(m 1) (m 1) ограничений.

22

При m 1 число ограничений равно числу неизвестных и коэффициенты сплайна находятся из условия 2). Если m 2 , то число ограничений меньше числа неизвестных коэффициентов и, следовательно, для однозначного определения коэффициентов надо задать дополнительные условия.

Обычно сплайны степени m 2 p 1 находят из решения следующей задачи:

Аналогично сплайны чётной степени m 2 p находят из решения задачи 1. Сплайны, являющиеся решениями задачи 1, называются интерполяционными

сплайнами. Имеют место теоремы.

Теорема 1. Если n p 1 , то задача 1 имеет единственное решение.

Так как сплайны на каждом отрезке [xi 1 ; xi ] являются многочленами, то ин-

теграл в задаче 1 является квадратичной формой от коэффициентов сплайна. Поэтому решение задачи 1 сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов сплайна. В частности, для сплайнов третьего по-

23

Решив систему (1.14), получим M1 0,471, M2 0,634 , M 3 0,471. Счи-

тая M0 M 4 0 , получим значения многочленов третьей степени на каждом из

0,079 (4 x)3 0,789 (4 x) .

§2. Численные методы решения функциональных уравнений

2.1.Метод деления отрезка

Внастоящем параграфе решается задача о нахождении действительных (вещественных) корней функционального уравнения

c функцией f(x) действительной переменной, определённой на некотором промежутке.

Пусть функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков (f(a)f(b)<0). Тогда внутри этого отрезка, т.е. на интервале (a, b), существует по крайней мере один вещественный корень

25

уравнения (2.1). Сформулированное утверждение называется теоремой Больцано – Коши об обращении непрерывной на отрезке функции в нуль.

Будем считать, что интересующий нас корень c является единственным на интервале (a, b). Так будет в случае строго монотонных (возрастающих, убывающих) функций на (a, b). Последнее обеспечивается положительностью или отрицательностью производной на этом интервале.

В случае нескольких корней уравнения (2.1) выделяют промежутки монотонности функции f(x).

Итак, пусть на отрезке [a, b] функция f(x) удовлетворяет условиям сформулированной теоремы Больцано – Коши и имеет на нём единственный корень с. Тогда число x0 a можно считать приближённым значением этого корня с не-

достатком, а число x0 b – его приближённым значением с избытком.

Погрешность начального приближения х0 к с, очевидно, будет удовлетворять неравенству c x0 b a .

Перейдём к описанию нахождения корня уравнения (2.1) методом деления отрезка (методом «вилки» или дихотомии или бисекции).

Разделим отрезок [a, b] пополам и за первое приближение х1 к с возьмём

середину отрезка [a, b], т. е. x1 a b . При этом может представиться два

2

случая:

1)f x1 0 (в этом случае c x1 и искомый корень найден);

2)f x1 0 .

Во 2-м случае на одной из половин [a, x1], [x1, b] знак f x1 совпадает или со знаком f a , или со знаком f b .

На одной из этих половин функция f x будет принимать значения разных знаков. Эту половину называют «вилкой». Обозначим её [a1, b1]. Искомый корень с находится на отрезке [a1, b1]. Абсолютная погрешность первого при-

С отрезком [a1, b1] поступим так же, как и с исходным отрезком [a, b] , т. е. разделим его пополам. За второе приближение x2 возьмём середину отрезка

26

Врезультате продолжения действий будут иметь место две возможности:

1)процесс завершится в результате того, что на некотором этапе значение f(x) будет равным нулю в середине некоторой из последующих половин отрезков (искомый корень с будет найден).

2)описанный процесс будет неограниченно продолжаться.

Во второй ситуации будем иметь стягивающуюся систему отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn],…, причём при любом n функция f(x) имеет на концах соответствующего отрезка значения разных знаков. Известно, что стягивающаяся система отрезков имеет одну общую точку, к которой сходятся обе последовательности an и bn. Можно доказать, что эта общая точка и есть с.

Таким образом, при применении данного метода за приближённое значение к искомому корню с берут число

Этим очень простым по сущности методом корень уравнения (2.1) можно вычислить с какой угодно точностью. Согласно (2.3) точность приближения хn+1 к корню с имеет порядок О(2–n–1). Это означает, что метод деления отрезка требует большой вычислительной работы.

Алгоритм метода достаточно прост.

1-й шаг. Выберем отрезок a,b так, чтобы выполнялись два условия:

а) функция f x непрерывна на a,b ;

б) на концах отрезка f x принимает значения разных знаков, то есть f a f b 0 .

27

2-й шаг. Найдём c – середину a,b как c 0,5 a b и значение f c . Если f c 0 , то корень найден. Если f c 0 , то знак f c совпадает или со знаком f a , или со знаком f b .

В первом случае решение уравнения находится на отрезке c,b . Обозначив точку c как a , получим отрезок a,b вдвое меньшей длины, где продолжаем искать корень, а предыдущая точка a нас уже не интересует.

Во втором случае (знак f c совпал со знаком f b ) решение находится наa, c . Обозначив c как b , также получаем новый отрезок a,b .

В любом случае одна из границ отрезка сохраняется, а другая сдвигается в середину отрезка. Кратко сказанное можно записать так:

При переходе к новому отрезку знаки f a и f b никогда не изменятся. Проверка. Деление отрезка и сдвиг точек проводим, пока не выполняется

какое-либо из двух условий:

Точность может быть задана заранее или выбрана произвольно. Если ни одно из условий не выполнено, повторяем шаг 2. Если выполнено хотя бы одно,

f 0 03 0 2 2 0 .

Подберём точку, где функция положительна. Подходит x 2 :

2-й шаг. Находим c 0,5 a b 0,5 0 2 1. В этой точке

28

f c f 1 13 1 2 2 0 .

2-й шаг. Находим c 0,5 1 2 1,5. В ней

f 1,5 1,53 3 2 0,150 3 0 .

Видим, что f 1 0 , f 1,5 0 , f 2 0 , поэтому a 1, b 1,5 .

Проверка. 1,5 1 0,01 . Продолжаем деление отрезка.

2-й шаг. Находим c 0,5 1 1,5 1,25; затем

f 1,25 1,253 1,25 2 1,164 9 0 .

Теперь f 1 0 , f 1,25 0 , f 1,5 0 , откуда a 1,25,b 1,5 .

Проверка. 1,5 1,25 0,01. Продолжаем действия.

Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы. Середины считаем с до-

Длина отрезка 1,469;1,484 меньше удвоенной точности:

середина этого отрезка – решение уравнения с точностью 0,01. Находим c 0,5 1,484 1,469 1,476 .

Округляя до двух знаков после запятой, получаем решение x 1,48 .

Заметим, что f 1,476 0,000 7 0,01, а f 1,48 0,025 , что заметно хуже, одна-

При решении сами значения функции не играют роли, если только не окажется случайно, что f c 0,01, где 0,01 – необходимая точность. Важны только знаки функции. Это удобно, поскольку знак функции в точках, достаточно уда-

29

лённых от корня, обычно очевиден, что позволяет быстро пройти первые шаги решения.

Знак функции на каждом конце отрезка не меняется в процессе сужения отрезка. А именно, если для 1-го приближения f a 0 и f b 0 , то это же будет справедливо для любого следующего приближения.

Кроме того, число шагов можно предсказать заранее.

Длина начального отрезка в примере составляла 2, и, чтобы, уменьшая её на каждом шаге в 2 раза, получить отрезок длиной менее 0,02, надо проделать не

2.2. Метод хорд

Метод хорд (метод секущих) сходится (приводит к решению) быстрее, чем метод деления отрезка, однако требует на каждом шаге большего числа действий. Приведём схему метода.

Пусть необходимо решить уравнение (2.1) с точностью . Выбираем произвольные точки x0 , x1 . Каждое следующее приближение, начиная с x2 , находим по формуле

существование корня и получение его этим методом. Однако хорда (секущая) пересечёт ось абсцисс, даже если обе точки графика находятся с одной стороны от оси, поэтому условие не является необходимым. Но в любом случае надо, чтобы f x0 f x1 , иначе секущая параллельна оси OX, а при вычислении точки происходит деление на нуль.

дополнительным десятичным знаком, то есть с 4 знаками.

30