Погрешность вначале невелика, но резко возрастает к концу отрезка. Это связано с приближением аргумента к точке 31,5 1,148 – точке разрыва 2-го рода, где функция бесконечна. Производная, оцениваемая приближённым методом, в этом случае весьма отличается ("отстаёт") от настоящей. Тем не менее, значения, получаемые методом Эйлера и указанные в таблице:

отличаются от точных намного больше.

Следующий пример решим вторым способом.

Пример 2. Для уравнения y xy , с начальным условием y 1 3, найти

решение на отрезке 1;1 с шагом h 0,4.

Решение оформим в виде таблицы. Все действия указаны в её заголовке.

Решение округляем до тысячных.

Ответ:

72

Точное решение задачи – функция y x2 8 , её значения в узловых точках даны в таблице:

Высокая точность объясняется малым изменением функции на отрезке 1,1 .

4.4. Методы «Счёт-Пересчёт» высокого порядка точности

Если при решении задачи Коши искомую функцию разложить в ряд Тейлора с учётом производных 3-го порядка и тем более 4-го порядка, решение будет ещё точнее, чем при решении ранее указанными способами.

Формула метода 3-го порядка точности:

yi 1 yi 16 k1 4k2 k3 ,

где k1 hf xi , yi , k2 hf xi 0,5h; yi 0,5k1 , k3 hf xi h; yi k1 2k2 .

Пример. Решим уравнение y x y с условием y 0 0 на отрезке [0;0,5], взяв шаг h 0,1 .

Решение. Вычисления выполним в таблице:

В таблице для краткости обозначено y* yi k1 2k2 и h* h6 k1 4k2 k3 .

Поскольку погрешность пропорциональна кубу шага, то есть 10 3 , при вычислениях оставляли 4 – 5 цифр, последняя из которых – запасная.

Поясним вычисления.

73

Правая часть уравнения f x, y x y , поэтому k1 xi yi .

Видно, что запасная цифра также оказалась точной, однако это связано с малым ростом функции и происходит редко.

Формула метода 4-го порядка точности

При решении методом 4-го порядка уменьшение шага в 2 раза уменьшает ошиб-

начальном значении y 1 9 .

Решение. Первый шаг покажем подробно с большим числом знаков. Учтём, что f x, y x / y , а x0 1, y0 9 . Находим последовательно

k1 h x0 / y0 0,11/ 9 0,1 0,333 3 0,033 33 ; x0 0,5h 1 0,5 0,1 1,05 ;

74

y0 0,5k1 9 0,5 0,033 33 9,016 67 ;

k2 h1,05 / 9,016 67 0,1 0,34125 0,034125 ; y0 0,5k2 9 0,5 0,034 125 9,017 062 ;

по-прежнему x0 0,5h 1 0,5 0,1 1,05 , поэтому

k3 h1,05 / 9,017 062 0,1 0,341 24 0,034 124 ;

x0 h 1 0,1 1,1 и y0 k3 9 0,034124 9,034124 ; k4 h1,1/ 9,034124 0,1 0,348 94 0,034 894 .

Наконец, находим значение функции в следующем узле, то есть в точке x1 1,1:

y1 y0 16 k1 2k2 2k3 k4 9 16 0,204 726 9,034121 .

Все дальнейшие вычисления аналогичны и приведены в таблице.

Таблица (начало)

Таблица (окончание)

Точное решение задачи – функция y x3/ 2 26 2 / 3 , вычисление её значений в точках от 1,1 до 1,5 даёт те же результаты, что получены приближённым методом. Более того, значения совпадают до восьмого знака после запятой.

Ответ:

Может возникнуть вопрос, нельзя ли вместо громоздких вычислений применить метод Эйлера с очень малым шагом, особенно при использовании компьютера. Ответ зависит от того, с какой точностью надо получить решение.

Пусть, например, решение некоторой задачи методом Эйлера с точностью 0,1 потребовало 100 операций. Тогда решение её с тем же шагом методами 2-го порядка потребует около 250 операций и даст точность 0,01. При том же шаге метод 3-го порядка примерно за 500 операций даст точность 0,001, а метод 4-го порядка – точность 0,000 1 за 1 000 операций.

Если же с точностью 0,000 1 решать задачу методом Эйлера, шаг надо уменьшить в 100 раз, и число действий составит 10 тыс. – в 10 раз больше, чем методом 4-го порядка.

Пусть теперь понадобилось решить задачу с точностью 10 8 . Для решения методом 4-го порядка достаточно уменьшить шаг в 10 раз, и число операций составит 10 тыс. Для решения методом 3-го порядка шаг надо уменьшить

примерно в 22 раза ( 3 10 3 /10 8 22 ), что приведёт к 11 тыс. действий. Достижение той же точности методами 2-го порядка требует уменьшения

шага в 1 000 раз и соответственно 250 тыс. действий, а достижение точности методом Эйлера – в 10 млн раз, что даёт 1 млрд операций.

Для каждого метода число действий в конкретной задаче зависит в основном от сложности функции в правой части уравнения.

4.5. Метод прогонки решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка

Известно, что функции спроса D(P) и предложения S(P) зависят не только от цены P, но и от скорости её изменения P' и от увеличения темпа роста P'' так, что

D a0 a1P a2 P a3 P и S b0 b1P b2 P b3 P ,

где a0 , , b3 0 – некоторые коэффициенты. Задача о равенстве спроса и пред-

ложения приводит к уравнению P c1P c2 P c0 . Его решение – функция P(t),

дающая зависимость цены от времени t.

Если и как следствие c0 , c1 , c2 непостоянны, получается уравнение типа P r t P q t P f t . В общем виде оно решается для узкого класса функций r(t), q(t), f(t), и необходимы приближённые методы решения.

Уравнение (в более привычной записи)

76

относительно функции y(x) имеет смысл на отрезке [a, b], если на нём определены p(x), q(x), f(x). Тогда его можно решить численно, если даны значения функции y(a) и y(b) (с экономической точки зрения: известны значения цены P в разные моменты времени, достаточно удалённые один от другого).

Приведём схему решения уравнения (4.10) при краевых (граничных) условиях

c неизвестными числами у1, …, уN-1 и известными числами у0, уn, являющихся правыми частями равенств (4.11). Это значит, что в уравнении (4.10) вторая производная y'' в точке хк заменена разностным отношением

yk 1 2 yk yk 1 h2 ,

а первая y' в точке хк – симметричным разностным отношением

yk 1 yk 1 . 2h

В§ 5 будет показано, что на достаточно гладких функциях у(х) эти разностные отношения будут приближать соответствующие производные с точностью О(h2). Для этого надо потребовать, чтобы функция у(х) была четырежды непрерывно дифференцируемой на интервале (а, b). Однако требование от функции большей гладкости не улучшит этой точности.

Вравенстве (4.12) индекс k принимает значения k = 1,2,…, n–1. Таким образом, (4.12) есть система линейных алгебраических уравнений.

Всего получаем n–1 уравнение относительно n–1 неизвестных y1 , y2 , , yn 1 .

Напомним, что значения y0 y a и yn y b известны (даны в условии).

Перегруппировав слагаемые, получаем систему уравнений

77

В 1-м и последнем уравнении скобки с известными по условию y0 и yn

перенесены вправо. Обратите внимание на разные знаки в скобках.

Получена система в виде, допускающем решение методом прогонки (см. § 4 части 1). При определённых свойствах функций p(x), q(x) выполнены достаточные условия сходимости.

тогда для сходимости достаточно (но не необходимо) выполнение неравенства

Замечание. Если в задаче об установлении равновесной цены важно поведение цены в более отдалённые моменты, чем t a , следует методом наименьших квадратов подобрать подходящую функцию P(t) и найти прогноз цены для t a .

4.6.Задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

иуравнений высокого порядка

Задача Коши системы уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями у(х) и z(x) и известными правыми частями имеют вид:

y f x, y, z ,z g x, y, z ,

y x0 y0 , z x0 z0.

Она допускает численное решение на отрезке, содержащем x0 , причём лю-

бым из рассмотренных ранее методов. Например, решение системы методом Эйлера сводится к нахождению последовательности

78