Все формулы дали точный результат, поскольку подынтегральная функция линейна. Вычисление по формуле Симпсона выглядит сложнее, однако её преимущество видно из следующего примера.

В ответе нежелательно указывать много цифр. Если интеграл вычислен один раз, а не по приведённой выше схеме, оценивающей точность, следует точность ответа делать сравнимой с шагом интегрирования. В примере h 0,25, поэтому по формуле трапеций S 0,7. По формуле Симпсона, как по более точной формуле, можно указать ответ S 0,69.

Пример 3. Вычислим 0,8 x2 3 dx методом парабол с точностью 10 5 .

0,4

Решение. Число участков при применении метода парабол должно быть чёт-

Значения подынтегральной функции в этих точках таковы:

Поскольку значения на концах не зависят от числа точек и

1,789 533 1,817 278 1,85 1,887 459 7,344 27 ,

а также

1,802 776 1,833 03 1,868154 5,503 96 ,

на этот раз по формуле парабол получаем

ствия велись с 6 знаками. Но при применении метода парабол проверяем усло-

интеграла как

S S2 S2 S1 /15 0,734 509 948 ,

получим фактически точный результат.

62

Теперь рассмотрим интегрирование с неравномерным шагом.

Приведённое выше условие h b a / n const не обязательно для приближённого интегрирования. Точки x0 , x1 , , xn могут находиться на произвольном расстоянии одна от другой. В этом случае справедливы:

1а. Формула прямоугольников

S f0,5 x1 x0 f1,5 x2 x1 fn 0,5 xn xn 1 ;

2а. Формула трапеций

S 0,5 f0 x1 x0 fn xn xn 1 0,5 f1 x2 x0 f2 x3 x1 fn 1 xn xn 2 .

Формула Симпсона (формула парабол) выглядит более громоздко и здесь не приводится. Интегрирование с непостоянным шагом удобно, если известны значения функции в некоторых точках или в некоторых точках их проще найти (например, как у тригонометрических функций).

Решение. Пронумеруем узлы и вычислим значения функции в них:

По формуле 2а:

S0,5 0 0,523 6 0 1 1,570 8 1.074 2

0,5 0,0625 2 0,785 4 0 0,25 1,074 2 0,523 6 0,562 5 1,570 8 0,785 4 ,

откуда S 0,573.

Ошибка составляет 0,016.

/ 2

Ответ: с точностью 0,01 sin 4 xdx 0,573 .

0

63

§ 4. Приближённые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1. Метод Эйлера

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

с независимой переменной х, изменяющейся на некотором промежутке числовой оси или на всей числовой оси, и известной функцией f x, y двух переменных x и y; при этом функция y y x является неизвестной функцией.

Решением дифференциального уравнения (4.1) называется любая функция y y x , при подстановке которой в равенстве (4.1.) с учётом входящей в него её производной , получится тождество относительно переменной х для всех значений аргумента х из соответствующего множества, на котором рассматривается уравнение (4.1).

Уравнение (4.1) может не иметь решений. Если же уравнение (4.1) разрешимо, то решений будет бесчисленное множество; при этом часто они имеют вид

(4.2)

где С − произвольная постоянная.

При отсутствии особых точек (точек (х, у), в окрестности которых решение не существует или существует, но не единственно) и особых решений (решений, сплошь состоящих из особых точек) формула (4.2) задаёт общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (4.1).

Всякое решение дифференциального уравнения (4.1) при условии

где х0 – произвольная точка из множества, на котором рассматривается это уравнение, а у0 – произвольно заданное число, называется частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения.

График частного решения называют интегральной кривой. Тогда общее решение называют семейством интегральных кривых.

Равенство (4.3) называется начальным условием для дифференциального уравнения (4.1). Геометрически оно означает, что на плоскости Оху задаётся

вая, т.е. график функции y y x . Если уже известно общее решение (4.2), то конкретная постоянная С определяется из условия (4.3). Таким образом возникает задача

называемая задачей Коши или задачей с начальным условием для дифферен-

циального уравнения (4.1), применяемая в прикладных исследованиях.

В дальнейшем будем предполагать существование и единственность решения задачи Коши.

Например, функция y x2 3 – решение задачи Коши

y 2 y 3,y 0 3

при всех x 0 . Во-первых, y x2 3 2x и одновременно при x 0 выполне-

но 2 y 3 2 x2 3 3 2 x x , поэтому функция – решение дифференциаль-

ного уравнения. Во-вторых, y 0 02 3 3 – выполнено начальное условие.

Для некоторых уравнений первого порядка (например, линейных) есть точные методы решения. Однако общих методов решения произвольных уравнений нет. Многие уравнения вообще не решаются точно, например, уравнение y x2 y2 . Бывает также, что решение не записывается в виде элементарной

x

функции. Так, решение уравнения y e x2 – интеграл Гаусса y e t2 dt .

x0

Более того, точные методы нередко приводят к неоправданно сложным вычислениям. Таким образом, необходимы приближённые методы решения дифференциальных уравнений.

Приближённые (численные) методы применимы, если известно значение искомой функции хотя бы в одной точке. Наиболее прост метод Эйлера. Он основан на том, что когда в точке a известны значение функции и скорость роста функции, то можно найти значение и в точке, достаточно близкой к a. Выяснив скорость роста в новой точке, переходят к следующей, и т. д.

Схема метода Эйлера. Пусть надо решить задачу Коши на отрезке a; b . Для простоты считаем, что (см. замечание ниже). Точное значение функции y

65

в точке xk будем обозначать y xk , а некоторое приближение этого значения – через yk . По условию y x0 y0 .

Разделив a; b на n частей, получим точки a x0 x1 x2 xn 1 xn b .

В точках с номерами 1,2,...,n приближённое значение функции находим по формуле

Замечание. Если начало отрезка a x0 , достаточно при движении от точки x0 влево к точке a считать, что шаг h 0 . Если же a x0 , в ответе не надо ука-

зывать результаты в точках xk a .

Нахождение приближённых значений ук в точках хк к точным значениям у(хк) в этих же точках неизвестного решения у(х) задачи Коши (4.4) по формулам (4.5) или (4.6) и есть метод Эйлера численного решения этой задачи. Сущность метода состоит в том, что производная y дифференциального уравнения (4.1)

заменяется разностным отношением

yk 1 yk

xk 1 xk

в случае произвольного (неравномерного) разбиения отрезка [a, b] на части и разностным отношением

yk 1 yk

h

66

в случае разбиения этого отрезка с одинаковым (равномерным) шагом h. Во второй ситуации вместо нахождения точного решения у(х) задачи (4.4.) ищется решение алгебраического уравнения

с неизвестными числами у1,…,уn при известном начальном значении у0, структура которого напоминает дифференциальное уравнение (4.1) и которое приводит к явной формуле (4.6) нахождения этих значений. Аналогичную трактовку имеет и явная формула (4.5), которая следует из уравнения

yk 1 yk f xk , yk . xk 1 xk

В § 5 будут обсуждены вопросы приближения (аппроксимации) производных их разностными отношениями.

Обратимся к таблице (4.7), задающей некоторую функцию, которую можно интерполировать каким-нибудь способом на весь отрезок [a, b] (см. § 1).

(к=0,1,…,n) определяются таблицей (4.7). Ломаная, соединяющая точки Мк,

называется ломаной Эйлера.

Для определённости рассмотрим только формулу (4.6) с равномерным нача-

лом приближения. Обозначим ломаную Эйлера в этом случае через yh* (x)n . Так как соответствующее разностное отношение приближает производную y , то естественно ожидать, что при h 0 ломаные Эйлера yh* (x)n приближаются к графику искомой интегральной кривой (графику искомого решения у(х) задачи (4.4). Следовательно, с уменьшением шага h метод Эйлера должен давать всё более точные приближения к искомому решению.

Отметим ещё, что метод ломаных Эйлера применяется и для доказательства теоремы существования и единственности решения задачи Коши (4.4) при весьма общих требованиях к функции f(x,y) как функции двух переменных. Однако такие тонкие вопросы выходят за рамки программы этой дисциплины.

Пример. Решим методом Эйлера уравнение y x при условии y 2 1 на y 2

отрезке 2;4 .

67