Вычислим значение полинома Лагранжа в точке 2,7:

2,7 2,7 2,7 1 2,7 2 2,7 3 2,7 4 1,253 07 ,

причём каждый из множителей появится в знаменателе на следующем шаге;

Оставлять в ответе много знаков нет смысла, поскольку данные задачи – целые числа и нет информации об их точности.

Вычислим значение полинома Лагранжа в точке 4,05. Находим

4,05 4,05 4,05 1 4,05 2 4,05 3 4,05 4 1,329 4 ,

затем

1.3. Метод разделённых разностей и полиномы Ньютона

Метод Лагранжа прост, но его существенный недостаток в том, что при добавлении новой пары надо пересчитывать все коэффициенты. Метод

разделённых разностей позволяет в этом случае посчитать лишь дополнительный коэффициент без пересчёта остальных, и к тому же требует примерно в два раза меньше вычислений.

Пусть по-прежнему задана таблица (1.1) значений функции, и надо найти аналитическую зависимость y f x в виде полинома

Идея метода – найти разложение искомой функции в виде некоторого ряда по аналогии с рядом Тейлора, где учитывается приращение как скорость изменения функции, скорость изменения приращений и т.д.

Схема метода разделенных разностей состоит из двух частей.

Часть 1. Разностные аналоги производных

Для каждой пары соседних точек xi , xi 1 находим разностный аналог первой производной – дроби

9

Для каждой пары соседних значений 1i , 1i 1 находим разностный аналог 2-й

производной:

Верхние индексы означают порядок разностной производной, а не степень. Можно заметить, что y1 y0 10 x1 x0 . Также можно показать, что

y2 y0 10 x2 x0 2 0 x2 x0 x2 x1 ,

y3 y0 10 x3 x0 2 0 x3 x0 x3 x1 30 x3 x0 x3 x1 x3 x2 ,

и так до

ственно y0 , y1 , , yn .

Из курса алгебры известно, что если два полинома степени n совпали в n+1 точке, то они совпадут в любой другой точке и потому тождественны. Нашей целью было найти полином, принимающий указанные значения в n+1 точке.

10

Тем самым 1-я часть задачи решена, однако формулу можно привести к виду, более удобному для вычислений. Одновременно это укажет экономичный алгоритм вычисления.

Часть 2. Рекурсивное вычисление функции

Пусть надо найти значение полинома Ньютона (1.10) в точке x. Обозначим zn n 0 , затем последовательно находим

z0 y0 z1 x x0 .

Полученное число представляет собой значение полинома Ньютона в точке х. Смысл схемы понятен, если в формуле для y(x) вынести за скобки x x0 , затемx x1 и так до x xn 1 .

Пример. Известна таблица значений функции

Составить полином Ньютона. Найти приближённые значения в точках 2 и 0,7. Решение. Пронумеруем значения аргументов и функции:

Часть 2. Выполняется отдельно для каждого значения x. Для точки x 2 :

11

z4 40 1,

z3 30 z4 x x3 2 1 2 3 1, z2 20 z3 x x2 3 1 2 1 4,

z1 10 z2 x x1 8 4 2 0 0,

z0 y0 z1 x x0 18 0 2 2 18.

Для точки x 0,7 находим z4 40 1,

z3 2 1 0,7 3 0,3,

z2 3 0,3 0,7 1 3,09, z1 8 3,09 0,7 0 5,837,

z0 18 5,837 0,7 2 2,2401.

Ответ: значения полинома Ньютона равны 18 в точке 2 и 2,2401 в точке 0,7.

Замечание. Легко проверить, что функция f x x4 2 соответствует данным задачи. Такой же полином получится после раскрытия всех скобок и приведения подобных слагаемых в полученном нами полиноме Ньютона.

Метод разделённых разностей выгоднее, чем метод Лагранжа, если необходимо найти функцию во многих точках, поскольку 1-я часть выполняется только 1 раз. Более того, при добавлении в исходную таблицу ещё одной пары x, y не надо пересчитывать всё заново, как в полиномах Лагранжа; достаточно добавить

n+1 разность, а именно 1 , 2 , 3 , , n 1 . Пересчитать придётся лишь

n n 1 n 2 0

zn 1 , , z0 при вычислении значения в конкретной точке, поскольку в начале рас-

чётов появится параметр zn 1 , соответствующий разности n0 1 .

1.4. Приближение функций рядами МакЛорена

Известно, что любую дифференцируемую n раз функцию f x можно представить в виде суммы Тейлора

остаток убывает к нулю с ростом числа слагаемых.

12