с неизвестной сеточной функцией yh(x) при заданных на Ωh коэффициентах a1,h(x), a0,h(x) и правой части fh(x). При этом ищется сеточная функция из h, удовлетворяющая на Ωh уравнению (5.10) и однородным граничным условиям

По аналогии с дифференциальными уравнениями задачу (5.10) , (5.11) можно назвать первой краевой задачей для разностного уравнения (5.10).

Исходя из трактовки сеточной функции yh как вектора с компонентами yi, задача (5.10) , (5.11) представляет собой следующую систему линейных алгебраических уравнений:

которую можно решить различными алгебраическими методами.

Задачу (5.10) – (5.11) будем записывать в виде операторного уравнения

где L h – заданный оператор , а fh – заданная правая часть. Для записи (5.10) , (5 .11) в виде (5.12) нужно положить

2 y h a1,h yh a0,h yh ,

Lh yh y0,

yN ;

fh (xi ), (xi h ) fh 0,

0.

Оператор Lh является линейным.

Будем предполагать, что решения соответствующих краевых задач (можно сказать, операторных уравнений (5.5) и (5.12)) существуют и единственны на

85

соответствующих множествах функций. Возникает вопрос, могут ли быть близки решение yh уравнения (5.12) и решение y уравнения (5.5). Этого следовало бы ожидать, так как y и y являются, соответственно, пределами следующих разностных отношений:

y(x h) y(x) , h

Эти разностные отношения и используются в уравнении (5.10). Однако это будет абсурдом, если коэффициенты и правая часть fh (5.10) никаким образом не связаны с соответствующими коэффициентами и правой частью f уравнения (5.1). Соответствующие коэффициенты и правые части должны быть близкими. Например, если функции a1(x), a0(x), f(x) непрерывны на Ω, то за a1,h(x), a0,h(x), fh(x) надо взять значения исходных функций в узлах xi из Ωh . Таким образом, приходим к понятиям аппроксимации оператора L оператором Lh, а правой части f – правой частью fh . Точные определения этих понятий рассмотрим далее.

Теперь будет обсуждаться вопрос о сравнении решения yh(x) уравнения (5.12) с решением y(x) уравнения (5.5). Для этого опишем действия операторов этих уравнений.

Будем считать, что линейный оператор L действует из линейного пространства Y в линейное пространство F. Например, из пространства непрерывных функций на в пространство непрерывных функций на Ω.

Пусть разностный оператор Lh действует из линейного пространства Yh в линейное пространство Fh. Тогда можно считать , что он действует из множества сеточных функций, определённых на h , во множество сеточных функций, заданных на Ωh. Область определения Lh − это множество сеточных функций, определённых на h , обращающихся в нуль на границе Sh и имеющих конечные разностные производные, входящие в левую часть (5.10), на соответствующем множестве узлов сетки.

Теперь можно приступить к вопросу о сравнении точного решения y(x) исходной задачи (5.1), (5.2) с точным решением yh(x) задачи (5.10), (5.11). Так как эти функции принадлежат разным пространствам ( y є Y, yh є Yh), то возникают две возможности для оценки их близости.

86

Первая возможность состоит в следующем. Решение yh(x) задачи (5.10), (5.11) как сеточная функция на h доопределяется (восполняется, продолжается) ка- ким-нибудь образом до функции y h(x), заданной на всей области . Это делает-

ся с помощью теории интерполяции. Если полученная таким образом функция y h(x) и решение y(x) уравнения (5.5) принадлежат одному и тому же пространству Y, их разность Z = y h – y можно оценить в норме этого пространства.

Для непрерывной функции y естественно использовать норму

называемую равномерной. Для функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [a, b], применяется норма

a

Последняя норма может применяться и в случае непрерывных функций.

Вторая возможность состоит в том, что с помощью некоторого линейного оператора Ph решению y(x) є Y уравнения (5.5) ставится в соответствие сеточная функция Phy є Уh, т. е. функция, заданная только в точках той же сетки h, что и решение разностной задачи (5.10), (5.11). Если y(x) является непрерывной на h функцией, то за Phy можно взять (y(x))h – след функции y(x) на множестве h, т.е. вектор, координатами которого являются значения y(x) в узлах xi є h. Тогда разность zh=yh – (y)h принадлежит пространству Yh, а близость yh к (y)h можно оценить в какой-нибудь норме этого пространства.

В качестве норм в Yh можно взять следующие:

Норму, введённую по формуле (5.15), будем называть равномерной и обозначать C( h), а норму, определённую равенством (5.16), будем называть квадратичной и обозначать L2( h).

87

Аналогично вводятся нормы C(Ωh) и L2(Ωh) . Тогда соответственно максимум сеточной функции |yh(x)| находится по внутренним узлам и суммирование ведётся по этим же узлам (xi є Ωh).

Естественным условием на выбор нормы в Yh является наличие для любого y є Y равенства

lim ||Phy|| Yh = ||y||Y,

h 0

называемого условием согласования норм.

Если Y есть пространство непрерывных функций и Phy = (y)h есть след функции y(x) на h, то норма (5.15) согласована с нормой (5.13), а норма (5.10) – с нормой (5.14).

Для оценки близостей правых частей уравнений (5.5) и (5.12) также надо применять согласованные нормы. т. е. должно выполняться условие

lim ||Phf|| Fh = ||f||F.

h 0

В пространстве Fh будут применяться нормы C(Ωh) и L2(Ωh).

Далее будем использовать вторую возможность оценки близости функций yh(x) и y(x), причём будем считать, что Phy=(y)h, где (y)h есть след функции y(x) на сеточную область h. Под близостью сеточной функции yh(x) и функции y(x) будем понимать малость величины zh=yh – (y)h в какой-нибудь норме пространства Yh. Если yh – точное решение уравнения (5.12), а y – точное решение уравнения (5.5), то zh будет характеризовать близость решений этих уравнений. Перейдём к более точному описанию сходимости решений.

Говорят, что решение разностей краевой задачи (5.10), (5.11) при измельчении сетки сходится к решению дифференциальной краевой задачи (5.1), (5.2),

При выполнении условия (5.17) говорят ещё, что соответствующая разност-

ная схема сходится.

Разностная схема называется сходящейся со скоростью О(hk) или имеющей

где C и k – положительные постоянные, не зависящие от шага h.

88

Очевидно, что неравенство (5.18) влечёт за собой выполнение условий (5.17). Выше уже отмечалось, что если правые части и коэффициенты разностного и дифференциального уравнений не являются близкими, то невозможно говорить и о близости их решений. В связи с этим вводятся понятия аппроксимаций

операторов L и Lh, а также правых частей f и fh.

Говорят, что правая часть fh разностного операторного уравнения (5.12) аппроксимирует с порядком аппроксимации К относительно h (с точностью О(hk) правую часть f дифференциального операторного уравнения ( 5.5), если

где положительные постоянные С1 и k не зависят от h. Пусть Ph f ( f )h есть след непрерывной функции f(x) на Ωh. Возьмём в качестве правой части fh разностного уравнения сеточную функцию (f)h. Тогда

||fh - Phf||Fh = ||fh – (f)h||Fh = ||(f)h – (f)h||Fh = 0.

Следовательно, при Phf ( f )h неравенство (5.19) означает, что правую часть fh

разностного уравнения можно вычислять по f с точностью О(hk).

Возьмём в качестве коэффициентов a1,h , a0,h разностного уравнения (5.10) следы этих функций на Ωh: a1,h=(a1)h, a0,h=(a0)h. В этой ситуации будем говорить,

что разностный оператор Lh аппроксимирует с порядком К относительно h

(с точностью О(hk)) дифференциальный оператор L на функции y(x) Y, имеющей непрерывные производные до некоторого порядка, если выполняется неравенство

где положительные постоянные C2 и К не зависят от шага сетки h.

Выполнение условия (5.20) для рассмотренных здесь операторов будет в дальнейшем проверено.

При выполнении условий аппроксимации уравнение (5.12) называется при-

ближённым разностным уравнением для уравнения (5.5).

Возникает вопрос, обеспечивают ли условия аппроксимации (5.19) и (5.20) сходимость разностной схемы. В литературе имеются примеры разностных схем,

89

аппроксимирующих некоторое дифференциальное уравнение и имеющих решение, не сходящихся при h 0 к решению этого дифференциального уравнения. Разностные схемы такого вида называются неустойчивыми. Они не пригодны для численного решения дифференциальных уравнений.

Переходим к описанию понятия устойчивости разностной схемы.

Будем называть разностное операторное уравнение (5.12) (разностную схему) с линейным оператором Lh корректно разрешимой, если выполняются следующие два условия:

1.При любой правой части fh Fh уравнение (5.12) однозначно разрешимо (решение yh є Yh существует и единственно).

2.При любой правой части fh Fh для соответствующего решения yh є Yh справедлива оценка

где c3 − некоторая постоянная, не зависящая от h.

При выполнении неравенства (5.21) разностную схему называют

устойчивой.

Устойчивость означает, что малое возмущение правой части fh уравнения (5.12) вызовет малое возмущение его решения yh. Действительно, рассмотрим уравнение

Из второго условия корректной разрешимости следует, что для его решения yh* – yh должно выполняться неравенство

|| yh* – yh|| Yh const|| h || Fh ∙

Последнее неравенство означает следующее: если || h || Fh δ, то решение yh*

возмущённого на εh уравнения будет отличаться от решения yh исходного уравнения в норме пространства yh не более чем на const δ.

90

Выше отмечалось, что на уравнение (5.12) можно смотреть как на систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными yi – координатами вектора yh. Тогда Lh есть матрица этой системы. Если её определитель отличен от нуля (det Lh 0), то уравнение (5.12) имеет единственное решение. Справедливо и такое утверждение : уравнение (5.12) имеет единственное решение при любой правой части fh тогда и только тогда, когда однородное уравнение Lh yh = 0 имеет единственным решением тождественный нуль (yh 0 ).

Теперь покажем, что из условий аппроксимации (5.19), (5.20) и условия устойчивости (5.21) следует сходимость разностной схемы. При этом скорость сходимости О(hk) устойчивых разностных схем совпадает с порядком аппроксимаций операторов и правых частей уравнений.

Действительно, функция ошибок zh = yh – (y)h удовлетворяет разностному уравнению Lhzh = Rh, где Rh = Lh yh - Lh(y)h есть функция аппроксимаций. Тогда из (5.21) следует неравенство

|| z h|| Yh с3 || Rh|| Fh.

Так как

Rh = [Lh yh - (Ly)h] + [(Ly)h - Lh(y)h],

то на основании аппроксимационных оценок (5.19), (5.20) имеем, что

|| z h|| Uh = ||yh – (y)h|| Uh c3(||Lh yh – (Ly)h|| Fh +||(Ly)h – Lh(y)h|| Fh) = c3(||fh – (f)h|| Fh+ +Yh+||(Ly)h – Lh(y)h|| Fh) c3(c1hk + c2hk) = c4hk.

Таким образом, для функции ошибок zh = yh – (y)h установлено неравенство (5.18). Приступим теперь к проверке условия аппроксимации (5.20) оператора

L оператором Lh.

Пусть y(x) есть дважды непрерывно дифференцированная функция. По формуле Тейлора имеем

y(x + h) = y(x) + h y (x) + 12 h2 y ξ1),

где ξ1 – некоторая точка интервала (x, x + h). Отсюда получим, что

91

и так как │ y (ξ1)│ с5, то

Это есть оценка близости разностного отношения к производной. Требование большей гладкости от функции y(x) этой оценки не улучшит (остаётся точность

О(h)).

Замечание. Выясним, какая оценка может быть получена, если производную y (x) аппроксимировать симметричным разностным отношением

y(x h) y(x h) . 2h

Пусть y(x) есть трижды непрерывно дифференцируемая функция. Тогда по формуле Тейлора получим

где ξ2, ξ3 – некоторые точки из интервала (x – h, x + h). Тогда

Требование большей гладкости от функции y(x) последней оценки не улучшит (остаётся точность близости О(h2)).

92