и другие, не выражающиеся через элементарные функции.

Поиск интеграла часто громоздок и требует знания многих вспомогательных формул. Так, если sin xdx – табличный, то при поиске sin 2 xdx надо знать, что sin 2 x 0,5 1 cos 2x , а sin 3 xdx надо представить как 1 cos2 x d cos x .

Сложно интегрировать и дробные функции.

Численные методы интегрирования позволяют обойти указанные трудности, тем более что параметры, входящие в интеграл, в практических задачах известны неточно, и потому нет смысла в точном вычислении интеграла. Основные способы приближённого интегрирования:

а) при помощи полиномов Лагранжа или Ньютона; б) путём разложения функции в степенной ряд по формулам МакЛорена; в) по квадратурным формулам.

Интегрирование при помощи полиномов позволяет проинтегрировать даже таблично или графически заданные функции, а также функции, задаваемые слишком сложной формулой.

Разложение в ряд удобно, когда производные высоких порядков подынтегральной функции малы на интересующем нас отрезке. Квадратурные формулы универсальны и подходят для любой ограниченной функции, хотя и не позволяют записать результат в общем виде.

3.2. Интегрирование при помощи полиномов Лагранжа и Ньютона

Пусть функция f(x) задана таблицей

Если функция задана графически, такую таблицу можно составить по точкам графика, а если известна формула, то можно найти несколько значений функции и по ним также составить таблицу.

Составив полином так, как указано в § 1 ,и раскрыв скобки, получим

Pn x a0 a1 x a2 x2 an xn . Если функция f(x) приближена полиномом, интеграл от неё можно заменить интегралом от полинома. Поэтому

f x dx Pn x dx a0 a1 x a2 x2 an xn dx .

53

Проинтегрировав, получаем, что

1

точек (0; 0) и (1; 1) получается полином P1 x x , и тогда интеграл xdx 0,5 . Но

0

1

эти же точки подходят и для функции f x x99 , а для неё x99dx 0,01 .

0

Более того, функция f x x0,001 также проходит через (0; 0) и (1; 1), и в этом

1

случае x0,001dx 1,000 / 1,001 1. Поэтому для корректного вычисления надо знать

0

ещё некоторые значения функции на отрезке [0; 1].

/ 2

Пример. Найдём при помощи полинома Ньютона интеграл sin 4 xdx

0

и укажем общую формулу для интегрирования по любой части этого отрезка. Решение. По стандартным значениям аргумента составим таблицу

Учтём, что / 6 0,523 6, / 4 0,785 4, / 3 1,074 2, / 2 1,570 8 . Действуя по приведённой в § 1.3 схеме, находим разности

10 0,119 4, 20 0,760 0, 30 0,1451, 40 0,923 9 .

Последовательно находим z4 0,9239,

z3 0,1451 0,923 9 x 1,074 2 0,923 9x 1,137 6,

z2 0,760 0 1,137 6 0,923 9x x 0,7854 0,923 9x2 1,863 2x 0,133 5 , z1 0,119 4 1,863 2x 0,923 9x2 0,133 5 x 0,523 6 ,

т.е. z1 0,923 9x3 2,347x2 1,109 1x 0,189 3 ,

54

Тогда на любой части этого отрезка a;b 0; / 2 :

Этот же ответ получится при построении полинома Лагранжа, поскольку для одного и того же набора точек полиномы Лагранжа и Ньютона (после раскрытия скобок и упрощения) одинаковы. Точный ответ, получаемый двукратным понижением порядка в неопределённом интеграле – это 0,589.

Указанный способ достаточно громоздок по сравнению с интегрированием по квадратурным формулам. Его основное преимущество – получение первообразной в виде аналитической функции, что позволяет вычислить определённый интеграл по любому отрезку, входящему в область данных задачи, и даже незначительно выходящему из неё, причём приближённая формула не зависит от границ отрезка.

3.3. Интегрирование при помощи рядов МакЛорена

Как отмечено в § 1.4, любую функцию f(x), дифференцируемую n раз в точке

55

функцию, дифференцируемую сколь угодно раз в точке x0 0 , можно разложить

Там же приведены ряды МакЛорена для пяти важнейших функций и указано, как быстро получить ряды для многих похожих функций.

Ряды МакЛорена допускают почленное интегрирование, и найти первообразную от функции – это то же, что разложить функцию в ряд и найти первообразную каждого слагаемого. Учитывая, что элементы разложения – степени переменной x с некоторым числовым коэффициентом, решение весьма упрощается.

элементарные дроби, но по формуле суммы геометрической прогрессии при

Формула верна при значениях 1 x 1.

В этом и есть идея интегрирования при помощи степенных рядов. Метод подходит и для определённых интегралов, а при замене отрезка интегрирования требует лишь подстановки новых пределов в общую формулу.

Поскольку в расчётах всегда берётся конечное число слагаемых, это ведёт к некоторой погрешности. Следует помнить следующее важное правило.

Правило. Если при разложении функции в ряд знаки слагаемых чередуются, т.е. f x 1 k bk , где bk 0 , а bk монотонно убывает к нулю, то ошибка не превосходит первого отброшенного слагаемого.

Так, e 0,4 1 0,4 0,42 / 2 0,68 с ошибкой, не превосходящей 0,43 / 6 0,011 .

56