В частности, если функция аналитическая, то есть дифференцируема сколь

Хорошо известны ряды МакЛорена для пяти важнейших функций:

Последние две формулы справедливы для x 1;1 , остальные – при любых x. Ценное свойство рядов МакЛорена – в том, что аргумент x в них можно заме-

нить на выражение ax p где a, p – любые числа. Кроме того, функцию f x мож-

но умножить на x m при любом m, и тогда все элементы ряда также умножатся на x m . Это значительно расширяет возможности разложения функций в ряд.

Подобные примеры можно привести и для других функций.

Ряды МакЛорена допускают почленное дифференцирование и интегрирование, и найти производную от функции – то же, что найти производную каждого слагаемого в её разложении в ряд. Учитывая, что все элементы разложения – степени переменной x с некоторым числовым коэффициентом, поиск производной или первообразной весьма упрощается и возможно получение новых рядов.

13

Продифференцировав каждое слагаемое три раза, получим

Формула справедлива в любой точке х, а для малых х числовое значение получается очень быстро в силу быстрого убывания x 2k 1 к 0.

Сходящиеся ряды можно перемножать, получая также сходящийся ряд, что можно проверить, перемножив

При перемножении необходимо взять несколько слагаемых в каждом множителе, раскрыть скобки и собрать подобные слагаемые.

Недостаток применения рядов МакЛорена в приближённых вычислениях состоит в том, что при удалении от нуля для вычисления функции в конкретной точке надо брать всё больше слагаемых.

получим уже погрешность 0,1. Этот же недостаток сохраняется и при вычислении определённых интегралов и при разложении в ряд решения задачи Коши.

1.5. Метод наименьших квадратов

Подбор полинома, принимающего во всех необходимых узлах указанные значения, обычно невыгоден по двум важным причинам:

1)степень полинома высока – на 1 меньше числа точек (числа пар значений);

2)изменение входных данных заметно изменяет коэффициенты полинома.

14

Высокая степень полинома усложняет вычисления, а поскольку данные измерений подвержены погрешностям, нет смысла требовать точного совпадения теоретических значений полинома с практическими результатами измерений. Лучше найти простую функцию, проходящую достаточно близко от необходимых точек.

Тип функции часто удаётся определить, отметив точки на плоскости, например, увидеть линейную зависимость y ax b , если расположение точек напоминает прямую линию.

Идея подбора функции основана на том, что любая зависимость характеризуется некоторыми параметрами-коэффициентами.

Например, линейная функция y ax b включает два параметра – a, b, а

функция y aeSx b содержит три параметра a, S, b. Если предполагается линейная зависимость, надо найти a, b так, чтобы общее отклонение теоретических значений, подсчитанных по формуле y xk axk b , было бы меньше, чем для любой другой линейной функции, то есть чем при любых других a, b. Из такого же принципа находят коэффициенты a, b, c для параболической функции, и т.д.

Под общим отклонением понимают суммарное отклонение по всем узлам квадратов разностей между предполагаемым теоретическим значением f a, b, , c, xk и заданными в таблице (1.1) значениями yk (нумерацию узлов xk

в) в общем случае f a,b, , c, xk yk 2 для произвольной функции

k

y f a,b, ,c, x .

Возведение в квадрат выражений f a, b, , c, xk yk необходимо, чтобы раз-

личия разного знака между теоретическими и наблюдаемыми значениями не могли в сумме нейтрализовать друг друга. Это удобнее, чем применение суммы

f (a,b, , c, xk ) yk .

k

Именно по построению функции, определяющей общее отклонение, и в силу того, что это отклонение надо сделать минимально возможным, идёт речь о ме-

тоде наименьших квадратов (МНК).

15

Можно заметить, что сумма f a,b, , c, xk yk 2 для фиксированного

k

представляет собой функцию нескольких переменных

F a,b, ,c . Цель метода – найти минимум такой функции. Но экстремум функции нескольких переменных может быть только в точке, где все её частные производные обращаются в нуль или не существуют:

Заметим, что МНК позволяет подобрать функцию y=f(x), если она сводится к виду f x a1 f1 x a2 f2 x am fm x , где f1 , f2 , , fm – линейно независимые базисные функции, не содержащие неизвестных параметров. Так, для квадра-

Пусть по n точкам x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn определяется линейная зависи-

то после деления на 2 и раскрытия скобок получаем систему