Установим теперь, как аппроксимирует вторую производную y (x) разностное отношение

y(x h) 2 y(x) y(x h) . h2

Если y(x) есть трижды непрерывно дифференцируемая функция, то из только что выписанных разложений по формуле Тейлора для y(x + h) и y(x – h) получим, что

Из ограниченности третьей производной следует, что

Таким образом, точность близости будет О(h).

Если функция y(x) будет четырежды непрерывно дифференцируемой, то аналогичным образом с помощью формулы Тейлора можно установить оценку

Однако при большей гладкости y(x) последняя оценка не может быть улучшена. Пусть коэффициенты a0(x), a1(x) уравнения (5.1) непрерывны на Ω = (a, b).

Тогда на множестве трижды непрерывно дифференцируемых функций в Ω с помощью оценок (5.22) и (5.24) получится неравенство

│Lhy – Ly │ c9h ,

которое выполнено для всех точек x, для которых x – h и x + h принадлежат отрезку [a, b], т. е. на отрезке [a+ h, b – h]. Следовательно, это неравенство справедливо для узлов xi сетки, принадлежащих Ωh.

93

Из последнего неравенства получится оценка (5.20) с порядком k = 1. Таким образом, точность близости операторов будет О(h). При этом в качестве нормы в пространстве Fh берётся равномерная норма

Пусть в дифференциальном уравнении (5.1) коэффициент a1(x) = 0 (тогда в разностном уравнении (5.10) отсутствует слагаемое ), а коэффициент а0(х) есть непрерывная на (a, b) функция. Тогда на множестве четырежды непрерывно дифференцируемых функций в из неравенства (5.25) получается оценка (5.20) с порядком k = 2 в той же равномерной норме С( h). Следовательно, точность близости таких операторов L и Lh будет О(h2).

Пусть в разностном уравнении (5.10) вместо разностного отношения применено симметричное разностное отношение (5.8). Тогда при условии непрерывности функций a1(x) и а0(х) на множестве четырежды непрерывно дифференцируемых функций y(x) для такого оператора Lh будет выполнено неравенство (5.20) с k=2 в равномерной норме С( h). Это следует из оценок

(5.23) и (5.25).

Неравенства (5.20) с соответствующим порядком k будут выполняться и в квадратичной норме L2( h ). Это следует из очевидного неравенства

Перейдём к проверке условия устойчивости. Ограничимся более простой ситуацией, когда оператор Lh не содержит слагаемого a1,h yh .

Для доказательства нам потребуется скалярное произведение в L2( h ), опре-

деляемое равенством

N 1

(uh, vh)= U iVi h,

i 1

известное неравенство Коши – Буняковского

с нормами в L2( h ). Кроме того, будет использована формула суммирования по частям

имеющая некоторую аналогию с формулой интегрирования по частям в одномерном определённом интеграле.

Рассмотрим в L2(Ωh) скалярное произведение (Lhyh, yh), с указанным оператором Lh на множестве сеточных функций, удовлетворяющих граничному условию (5.11). Пусть при этом a0,h δ > 0.

Из формулы суммирования по частям при выполнении граничных условий (5.11) получим, что

Неравенство означает, что Lh есть положительно определённый оператор как оператор, действующий из L 2 ( h ) в L 2 (Ω h ).

Из (5.26) и неравенства Коши – Буняковского получаем неравенство

|| Lhyh || L 2 (Ω h ) δ || yh ||L 2 ( Ω h ). (5.27)

Если yh есть решение уравнения (5.12), то из (5.27) имеем оценку

которая и означает устойчивость.

Таким образом, если в уравнении (5.1) a1(x) = 0 (следовательно, в уравнении (5.10) a1,h = 0), то в случае трижды непрерывно дифференцируемого решения у(х) краевой задачи (5.1), (5.2) получим сходимость yh к y в норме L 2 ( h ) со скоро-

95

стью О(h), а в случае четырежды непрерывно дифференцируемого решения – со скоростью О(h2).

§ 6. Решение некоторых задач в EXCEL

Многие задачи, допускающие приближённое решение, можно решать в пакете EXCEL как по собственным схемам, так и при помощи надстройки «Поиск Решения». Здесь приведены некоторые стандартные алгоритмы.

Решение задач при помощи надстройки «Поиск Решения» 1. Решение уравнений

Дано уравнение f x 0 . Занесём в ячейку А1 любое число. В ячейку А2 запишем формулу для вычисления функции f x , где вместо x указываем А1.

Вызовем «Поиск Решения». Укажем, что ячейка А2 (с формулой) – целевая, и её значение надо привести к 0. Изменяемой ячейкой сделаем А1.

При необходимости укажем ограничения, если они подразумеваются по смыслу задачи. Например, если x 0 , указываем, что A1 ≥ 0. Выбираем команду «Выполнить». В ячейке А1 получим корень уравнения, а в А2 – число 0 (с предусмотренной точностью).

Если решение не получается (об этом выдаётся сообщение), можно поменять в пункте «Параметры» способ решения (метод Ньютона или метод сопряжённых градиентов) или поменять число в ячейке А1, чтобы начальное значение функции в А2 было не слишком велико.

2.Решение систем нелинейных уравнений

Вкачестве изменяемых ячеек выступает столбец, отведённый под n переменных, куда заносим произвольные числа. В других ячейках набираем необходимые формулы, соответствующие уравнениям системы. Предварительно каждое уравнение приводим к виду fi 0.

Вызвав «Поиск Решения», любую ячейку с формулой делаем целевой, указываем, что она должна обратиться в 0. Остальные уравнения должны выполняться

96