- •Министерство образования и науки Российской федерации
- •Кафедра математики и математических методов в экономике
- •ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
- •Хабаровск 2014
- •1.1. Постановка задачи о приближении функций
- •1.2. Метод множителей Лагранжа
- •Идея метода – искать полином не в виде (1.2), а как
- •Схема построения полиномов Лагранжа
- •Шаг 2. Пусть x – переменная. Составим произведение
- •Шаг 3. Раскрывая внешние скобки, можно получить многочлен степени n
- •Пример. По таблице
- •Шаг 1. Находим коэффициенты
- •Шаг 3. Раскрыв скобки, получим
- •1.3. Метод разделённых разностей и полиномы Ньютона
- •Часть 1. Разностные аналоги производных
- •Часть 2. Рекурсивное вычисление функции
- •Пример. Известна таблица значений функции
- •Ответ: значения полинома Ньютона равны 18 в точке 2 и 2,2401 в точке 0,7.
- •Аналогично
- •Продифференцировав каждое слагаемое три раза, получим
- •1.5. Метод наименьших квадратов
- •Поиск линейной зависимости
- •Подставив суммы в систему (1.11), получим
- •Подставив найденные суммы в систему (1.12), получим
- •Пример 4. По приведённым данным
- •Отсюда очевидным образом имеем, что
- •Схема метода касательных
- •Вычисление корней при помощи метода простых итераций
- •Составим систему
- •Соответствующая линейная система имеет вид
- •Таблица 2.3 – Решение примера 2
- •Общая схема метода
- •Остаётся сравнить значения
- •Общая схема метода золотого сечения
- •Пусть функция f(x) задана таблицей
- •Проинтегрировав, получаем, что
- •Последовательно находим
- •Интегрируя каждое слагаемое, получим, что
- •Тогда интеграл сводится к
- •Проинтегрировав каждое слагаемое, получим
- •По теореме об интегрировании сходящихся степенных рядов
- •Если интеграл определённый, то
- •Найдём значения
- •По формуле трапеций получим
- •По формуле Симпсона будет
- •По формуле парабол
- •Поскольку значения на концах не зависят от числа точек и
- •Ответ:
- •Шаг 4. Ответ:
- •Тогда
- •Ответ:
- •Ответ:
- •Формула метода 3-го порядка точности:
- •Ответ:
- •Формула метода 4-го порядка точности
- •Все дальнейшие вычисления аналогичны и приведены в таблице.
- •Таблица (начало)
- •Таблица (окончание)
- •Ответ:
- •Пример 1. Решим систему
- •Ответ:
- •Последнее преобразуется к виду
- •Задачу (5.10) – (5.11) будем записывать в виде операторного уравнения
- •Из ограниченности третьей производной следует, что
- •Таким образом, точность близости будет О(h).
- •В силу граничных условий имеет место и неравенство
- •Если yh есть решение уравнения (5.12), то из (5.27) имеем оценку
- •Замечание о делении отрезка на части
- •Решение уравнений делением отрезка
- •Метод секущих (хорд)
- •При реализации в EXCEL достаточно заполнить строчку
- •Метод касательных
- •Реализация метода мало отличается от метода секущих, заполняем строку
- •Таблица 6.1 – Решение уравнения
- •Подбор полиномов, проходящих через точки
- •Таблица 6.2 – Поиск полинома при помощи обратной матрицы
- •Полиномы Лагранжа
- •Таблица 6.3 – Построение полинома Лагранжа
- •Таблица 6.4 – Построение полинома Ньютона
- •Метод Эйлера решения задачи Коши
- •Таблица 6.5 – Решение уравнения методом Эйлера
- •Приближённое интегрирование
- •Таблица 6.6 – Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •Часть 1. Задания для работы без пакетов прикладных программ
- •Задание 1. Решение уравнений
- •Задание 2. Метод простых итераций
- •Задание 3. Метод простых итераций в приближённых вычислениях
- •Задание 4. Полиномы Лагранжа и Ньютона
- •Задание 5. Метод наименьших квадратов
- •Задание 6. Приближённое интегрирование
- •Задание 7. Задача Коши
- •Часть 2. Задания для работы в пакете EXCEL
- •Задание 1. Приближение функций полиномами
- •Задание 2. Задача Коши
- •Задание 3. Системы дифференциальных уравнений
- •Задание 4. Задача Коши 2-го порядка
- •Задание 5. Приближённое интегрирование
- •Задание 7. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •Задание 9. Применение рядов в приближённом интегрировании
- •Оглавление
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Хабаровская государственная академия экономики и права»
Кафедра математики и математических методов в экономике
В. А. Вербицкий Е. А. Мясников М. Ф. Тиунчик
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Учебное пособие Часть 2
Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром
(ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов и магистрантов экономических направлений подготовки вузов региона
Хабаровск 2014
УДК 519. 6 ББК В 1
Вербицкий В. А. Численные методы. Часть 2 : учеб. пособие / В. А. Вербицкий, Е. А. Мясников, М. Ф. Тиунчик; под ред. М. Ф. Тиунчика. – Хабаровск :
РИЦ ХГАЭП, 2014. − 116 с. ISBN 978-5-7823-0623-6.
Учебное пособие предназначено для студентов и магистрантов экономических направлений подготовки, изучающих отдельными дисциплинами линейную алгебру и математический анализ. Вторая часть посвящена численным методам математического анализа.
Изложены вопросы приближения функций, нахождения корней уравнений, интегрирования функций и дифференциальных уравнений. Отдельный параграф посвящён вопросам аппроксимации, устойчивости и сходимости в теории разностных схем. Даны примеры решения задач с применением пакета EXCEL и набор заданий для самостоятельной работы.
Рецензенты:
Р. В. Намм, доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. научный сотрудник ВЦ ДВО РАН
С. В. Соловьёв, доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ТОГУ
ISBN 978-5-7823-0623-6.
©Вербицкий В. А., Мясников Е. А., Тиунчик М. Ф., 2014
©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2014
2
§ 1. Приближение функций
1.1. Постановка задачи о приближении функций
Пусть даны значения функции f(x) в некоторых точках отрезка [a; b]:
х |
x0 |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
|
|
|
|
|
у |
y0 |
y1 |
y2 |
… |
yn |
|
|
|
|
|
|
(1.1)
Сама формула для вычисления функции неизвестна или очень громоздка. Необходимо же иметь значения этой функции для промежуточных значений аргумента x, отсутствующих в данной таблице. Задача приближения исходной функции f(x) состоит в следующем: надо указать достаточно простую функцию φ(x), приближённо представляющую f(x) с той или иной степенью точности. Таким образом, для всех x из [a, b] должно выполняться приближённое равенство
f (x) (x) .
Тогда приближающая f(x) функция φ(x) называется интерполирующей. Процесс построения функции φ(x) называется задачей интерполирования. Точки x0 , x1 , , xn , в которых заданы значения исходной (интерполируемой) функции f(x), называются узлами интерполирования.
Термин «интерполирование» применяется в связи с тем, что с помощью функции φ(x) будут находиться приближённые значения функции f(x) для внутренних точек промежутка [ x0 , xn ] [a, b].
В теории приближений применяется ещё и термин «экстраполирование». Экстраполированием называют способ вычисления значений функции f(x) при заданной таблице (1.1) для значений аргументов, выходящих за границы промежутка [ x0 , xn ], т.е. для х<x0 и x>xn. Тогда f(х) будет некоторым продолжением
(расширением) f(x) вне промежутка [ x0 , xn ].
Возможны два подхода к поиску интерполирующей аналитической функции: 1) её значения в точках x0 , x1 , , xn должны совпадать с известными значениями,
и при этом на вид функции нет ограничений; 2) значения могут незначительно отличаться, но функция должна быть как мож-
но проще и заранее указанного вида (степенная, показательная и т.д.).
3
Первый приводит к построению полиномов, другой – к подбору функции методом наименьших квадратов.
В 1-м случае функцию φ(x) подбирают в виде полинома
(1.2)
поскольку степенные функции особенно просты и удобны для работы. Кроме того, при необходимости их можно приблизить другими функциями (например, разложить в тригонометрический ряд).
Во 2-м случае подбирают функцию с возможно меньшим числом параметров (например, линейную или показательную y Aekx ), проходящую возможно ближе к указанным точкам.
Известно, что через две точки на плоскости проходит только одна прямая, но сколько угодно парабол. Через три точки проходит уже единственная парабола 2-й степени, через 4 точки – единственная парабола 3-й степени, и т.д.
Через точки можно провести только одну параболу степени
n, или, что одно и то же, найти только один набор коэффициентов a0 ,a1 , an по-
линома (1.2), чтобы для всех k 0,1, ,n при подстановке xk получались yk : Pn xk yk .
Отсюда следует самый очевидный способ подобрать коэффициенты: составить систему из n+1 уравнения
a0 a1x0 a2 x0 |
2 an x0n y0 , |
|
|||||||
a |
0 |
a x a |
x 2 a |
x n |
y , |
(1.3) |
|||
|
1 1 |
2 1 |
|
|
n 1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1xn a2 xn |
2 |
an xn |
n |
yn |
|
||
a0 |
|
|
|
и найти неизвестные a0 , a1 , , an .
Определитель системы (1.3) имеет вид
|
1 |
x |
x2 |
xn |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
x |
x2 |
xn |
. |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
x |
n |
x2 |
xn |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В алгебре он известен как определитель Вандермонда. Поскольку узлы интерполирования различны, 0 . Поэтому система (1.3) линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение a0 , a1 , , an , что означает суще-
ствование и единственность многочлена (1.2), приближающего функцию f x .
4