- •Министерство образования и науки Российской федерации
- •Кафедра математики и математических методов в экономике
- •ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
- •Хабаровск 2014
- •1.1. Постановка задачи о приближении функций
- •1.2. Метод множителей Лагранжа
- •Идея метода – искать полином не в виде (1.2), а как
- •Схема построения полиномов Лагранжа
- •Шаг 2. Пусть x – переменная. Составим произведение
- •Шаг 3. Раскрывая внешние скобки, можно получить многочлен степени n
- •Пример. По таблице
- •Шаг 1. Находим коэффициенты
- •Шаг 3. Раскрыв скобки, получим
- •1.3. Метод разделённых разностей и полиномы Ньютона
- •Часть 1. Разностные аналоги производных
- •Часть 2. Рекурсивное вычисление функции
- •Пример. Известна таблица значений функции
- •Ответ: значения полинома Ньютона равны 18 в точке 2 и 2,2401 в точке 0,7.
- •Аналогично
- •Продифференцировав каждое слагаемое три раза, получим
- •1.5. Метод наименьших квадратов
- •Поиск линейной зависимости
- •Подставив суммы в систему (1.11), получим
- •Подставив найденные суммы в систему (1.12), получим
- •Пример 4. По приведённым данным
- •Отсюда очевидным образом имеем, что
- •Схема метода касательных
- •Вычисление корней при помощи метода простых итераций
- •Составим систему
- •Соответствующая линейная система имеет вид
- •Таблица 2.3 – Решение примера 2
- •Общая схема метода
- •Остаётся сравнить значения
- •Общая схема метода золотого сечения
- •Пусть функция f(x) задана таблицей
- •Проинтегрировав, получаем, что
- •Последовательно находим
- •Интегрируя каждое слагаемое, получим, что
- •Тогда интеграл сводится к
- •Проинтегрировав каждое слагаемое, получим
- •По теореме об интегрировании сходящихся степенных рядов
- •Если интеграл определённый, то
- •Найдём значения
- •По формуле трапеций получим
- •По формуле Симпсона будет
- •По формуле парабол
- •Поскольку значения на концах не зависят от числа точек и
- •Ответ:
- •Шаг 4. Ответ:
- •Тогда
- •Ответ:
- •Ответ:
- •Формула метода 3-го порядка точности:
- •Ответ:
- •Формула метода 4-го порядка точности
- •Все дальнейшие вычисления аналогичны и приведены в таблице.
- •Таблица (начало)
- •Таблица (окончание)
- •Ответ:
- •Пример 1. Решим систему
- •Ответ:
- •Последнее преобразуется к виду
- •Задачу (5.10) – (5.11) будем записывать в виде операторного уравнения
- •Из ограниченности третьей производной следует, что
- •Таким образом, точность близости будет О(h).
- •В силу граничных условий имеет место и неравенство
- •Если yh есть решение уравнения (5.12), то из (5.27) имеем оценку
- •Замечание о делении отрезка на части
- •Решение уравнений делением отрезка
- •Метод секущих (хорд)
- •При реализации в EXCEL достаточно заполнить строчку
- •Метод касательных
- •Реализация метода мало отличается от метода секущих, заполняем строку
- •Таблица 6.1 – Решение уравнения
- •Подбор полиномов, проходящих через точки
- •Таблица 6.2 – Поиск полинома при помощи обратной матрицы
- •Полиномы Лагранжа
- •Таблица 6.3 – Построение полинома Лагранжа
- •Таблица 6.4 – Построение полинома Ньютона
- •Метод Эйлера решения задачи Коши
- •Таблица 6.5 – Решение уравнения методом Эйлера
- •Приближённое интегрирование
- •Таблица 6.6 – Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •Часть 1. Задания для работы без пакетов прикладных программ
- •Задание 1. Решение уравнений
- •Задание 2. Метод простых итераций
- •Задание 3. Метод простых итераций в приближённых вычислениях
- •Задание 4. Полиномы Лагранжа и Ньютона
- •Задание 5. Метод наименьших квадратов
- •Задание 6. Приближённое интегрирование
- •Задание 7. Задача Коши
- •Часть 2. Задания для работы в пакете EXCEL
- •Задание 1. Приближение функций полиномами
- •Задание 2. Задача Коши
- •Задание 3. Системы дифференциальных уравнений
- •Задание 4. Задача Коши 2-го порядка
- •Задание 5. Приближённое интегрирование
- •Задание 7. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •Задание 9. Применение рядов в приближённом интегрировании
- •Оглавление
0,5 |
0,8 |
|
|
0,5 |
0,8 |
|
2 |
|
1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,75 |
0,64 |
|
|
0,75 |
0,64 |
|
4 |
|
2,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
1 |
0,5 |
|
1 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cумма |
3,881 |
3,131 |
|
|
|
Сумма |
|
9,425 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
0,783 |
|
|
|
|
Ответ |
|
0,785 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Чтобы быстро получить чередование чисел |
c, d, c, d, , |
удобно |
занести c, затем d, а далее про помощи ссылок формулу d d c и скопировать её. Тогда получится, что d d c c , c c d d и т.д.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Часть 1. Задания для работы без пакетов прикладных программ
Задание 1. Решение уравнений
Решите уравнения:
1) |
x3 2x 3 0 ; |
2) |
x3 5x 3 0 ; |
3) |
x3 4x 7 0 ; |
4) |
x3 3x 5 0 ; |
5) |
x3 5x 3 0 ; |
6) |
x3 4x 5 0 ; |
7) |
x3 2x 8 0 ; |
8) |
x3 4x 8 0 ; |
9) |
x3 x 9 0 ; |
10) x3 x 4 0 |
а) графически с точностью 0,1, приведя к виду x3 ax b ; б) методом деления отрезка с точностью 0,01;
в) методом простых итераций с точностью 0,001, приведя к виду x 3 ax b ; г) методом секущих (хорд) с точностью 0,001; д) методом касательных с точностью 0,001; е) комбинированным методом с точностью 10 4 .
Сравните число действий, необходимое для достижения одинаковой точности.
Задание 2. Метод простых итераций
Решите уравнение x g x методом простых итераций с точностью 0,001,
взяв в качестве начального приближения точку, где |
|
|
|
1 |
. Проверьте реше- |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
g x |
||||||||||||||||||||||||||
ние, сведя уравнение к виду x2 A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
1) |
x 1 |
|
|
; |
|
2) |
x 1 |
|
|
; |
3) |
x 1 |
|
|
|
; |
|
4) |
x 2 |
|
|
; |
|||||
x 1 |
|
x 1 |
|
x 1 |
|
|
x 2 |
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||
5) |
x 2 |
|
|
; |
6) |
x 2 |
|
|
; |
7) |
x 3 |
|
; |
8) |
x 3 |
|
|
; |
|||||||||
x 2 |
|
x 2 |
|
x 3 |
x 3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
||
9) |
x 2 |
|
; |
10) |
x 3 |
|
. |
x 2 |
x 3 |
Задание 3. Метод простых итераций в приближённых вычислениях
Найдите корни с точностью 0,001:
1) |
2, 3 |
4, |
4 5 ; |
2) |
3, 3 2, 4 |
6 ; |
3) |
5, |
3 |
3, |
4 |
7 ; |
4) |
6, 3 7, |
4 |
2 ; |
5) |
4, 3 |
5, |
4 8 ; |
6) |
10, 3 9, |
4 5 ; |
7) |
8, |
3 |
6, |
4 |
3 ; |
8) |
13, 3 5, |
4 |
7 ; |
9) |
8, 3 |
7, |
4 11 ; |
10) |
7, 3 10, |
4 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 4. Полиномы Лагранжа и Ньютона
1.По 4 точкам таблицы составьте полиномы Ланранжа и Ньютона.
2.Найдите значения полиномов в точках, отмеченных «?», и сравните.
3.Проверьте тождественность полиномов, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Верно ли, что в каждой точке полиномы равны?
4.Взяв 5 точек x0 , , x4 с шагом h 1, составьте интерполяционный сплайн 3-го
порядка по данным xk , yk на отрезке |
x0 ; x4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) |
x |
–1 |
0 |
2 |
4 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2) |
|
x |
–2 |
–1 |
1 |
|
3 |
0 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
–2 |
1 |
6 |
9 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
y |
–1 |
|
|
|
1 |
4 |
|
6 |
? |
? |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3) |
x |
–1 |
0 |
1 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
4) |
|
x |
–2 |
0 |
2 |
3 |
|
–1 |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
–2 |
1 |
3 |
9 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
y |
–4 |
1 |
5 |
8 |
|
? |
|
? |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5) |
x |
0 |
1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
6) |
|
x |
–1 |
0 |
1 |
|
4 |
2 |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
–2 |
0 |
4 |
10 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
1 |
3 |
10 |
? |
? |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
7) |
x |
–2 |
0 |
1 |
3 |
–1 |
2 |
|
|
|
|
|
8) |
|
x |
0 |
1 |
|
3 |
5 |
2 |
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
8 |
5 |
4 |
0 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
y |
6 |
5 |
|
2 |
–3 |
|
? |
? |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
9) |
x |
–2 |
0 |
2 |
3 |
|
–1 |
1 |
|
|
|
|
10) |
x |
0 |
|
2 |
|
4 |
|
|
5 |
1 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y |
7 |
3 |
0 |
–2 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
y |
–4 |
0 |
3 |
|
7 |
? |
? |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Метод наименьших квадратов
1.По данным задания 4 подберите методом наименьших квадратов линейную функцию.
2.Подберите тем же методом квадратичную функцию y ax2 bx c .
106
3.Найдите в каждом случае теоретические y xk и величину y xk yk 2 .
4.Постройте графики линейной и квадратичной функции; отметьте точки, данные в таблице. Сравните расположение точек относительно графиков.
Задание 6. Приближённое интегрирование
1.Разделив отрезок на 10 точек, найдите приближённые значения интеграла по формуле трапеций и по формуле Симпсона.
2.Сравните с точным значением, найденным по формуле Ньютона-Лейбница.
3.Найдите фактическую погрешность и сравните с максимально возможной погрешностью, предсказанной теоретическими формулами погрешности.
|
1 |
x2 x dx ; |
1 |
x2 2x dx ; |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
1) |
|
2) |
3) x 1 2 dx ; |
4) |
x 1 2 dx ; |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
x 1 2 dx ; |
2 |
|
dx |
|
|
|
|
0,5 |
dx |
|
|
1 |
|
dx |
|
||||||
5) |
|
6) |
|
|
dx ; |
7) |
|
; |
8) |
|
; |
||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
0,5 |
1 |
0 |
|
x 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,5 |
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9) |
|
|
|
; |
10) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0,5 |
1 x |
|
|
|
1 |
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7. Задача Коши
Решите задачу Коши методом Эйлера, разделив отрезок на 5 частей. Уточните решение методом Рунге-Кутта.
y 2x y
1) y 0 1 ;
x 0; 1
y y 2x 5) y 0 1 ;x 0; 1
y y / x
9) y 1 2 ;
x 1; 2
y x 2 y |
y 3x y |
y 3x y |
2) y 0 0 ; |
3) y 1 0 ; |
4) y 1 1 ; |
|
|
|
x 0; 1 |
x 1; 2 |
x 1; 2 |
y x2 y |
y y x2 |
y yx |
6) y 0 0,5 ; |
7) y 0 0,5 ; |
8) y 1 0,5 ; |
x 0; 1 |
x 0; 1 |
x 0; 1 |
|
|
|
y x2 / y |
|
|
10) y 0,5 1 . |
|
|
x 0,5; 1 |
|
|
|
|
|
Часть 2. Задания для работы в пакете EXCEL
Задание 1. Приближение функций полиномами
107
По данным таблицы найдите коэффициенты полинома, отвечающего в каждой точке условию Pn xk yk :
а) при помощи определителя Вандермонда и функций МОБР и МУМНОЖ; б) при помощи функции ЛИНЕЙН, считая независимыми переменными степени
1, x, x2 , , xn ;
в) сравните коэффициенты в каждом случае, проверьте выполнение условия; г) при помощи функции ЛИНЕЙН подберите полиномы 3-й и 4-й степени, найдите в каждом случае общее отклонение;
д) во всех случаях найдите значения полинома в точках, отмеченных знаком «?», и сравните результаты.
|
1) |
x |
–4 |
–3 |
–2 |
1 |
2 |
3 |
6 |
8 |
|
|
|
2) |
|
x |
–6 |
–4 |
–3 |
–1 |
0 |
|
2 |
|
5 |
|
6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
12 |
? |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
? |
|
|
|
|
|
y |
? |
|
–1 |
–3 |
? |
|
|
1 |
|
4 |
|
3 |
|
? |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3) |
x |
–4 |
–3 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
5 |
6 |
|
|
|
4) |
|
x |
–5 |
–4 |
–1 |
0 |
2 |
3 |
6 |
|
7 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
? |
–2 |
–1 |
1 |
0 |
? |
3 |
? |
|
|
|
|
|
y |
? |
|
–7 |
–2 |
1 |
0 |
? |
|
–1 |
? |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5) |
x |
–5 |
–3 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
6) |
|
x |
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
|
1 |
|
3 |
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
? |
8 |
7 |
? |
4 |
4 |
0 |
? |
|
|
|
|
|
y |
? |
|
1 |
|
–3 |
? |
|
2 |
|
5 |
|
8 |
|
? |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7) |
x |
–3 |
–2 |
–1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
|
|
|
8) |
|
x |
–5 |
–4 |
–2 |
–1 |
1 |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
? |
3 |
1 |
0 |
? |
4 |
7 |
? |
|
|
|
|
|
y |
? |
|
7 |
|
5 |
|
? |
|
4 |
|
4 |
|
0 |
|
? |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9) |
x |
–4 |
–3 |
–2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
10) |
|
x |
–6 |
|
–5 |
–3 |
–1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
? |
0 |
7 |
9 |
? |
4 |
0 |
? |
|
|
|
|
|
y |
? |
–8 |
–2 |
0 |
? |
4 |
0 |
? |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Задача Коши
Решите задачу Коши на отрезке, разделив его на 10 частей, методом «предик- тор-корректор» 2-го, 3-го и 4-го порядка точности. Аргументы тригонометрических функций указаны в радианной мере.
y sin x y |
|
1) y 0 0 |
; |
|
|
x 0; 1 |
|
y ex y2
2)y 1 0 ;x 1; 1
108