>0, f (x) <0 или f (x) >0), причём её значения f(a) и f(b) на концах этого отрезка

– противоположных знаков.

Тогда на отрезке [a,b] будет строгая монотонность, сохраняться выпуклость (вогнутость), а кривая пересечёт ось ОХ только один раз, т.е. x c будет единственным корнем уравнения (2.1) на [a,b]. Рекомендуем читателю сделать четыре рисунка возможных ситуаций.

Дугу кривой y f x на отрезке [a,b] заменим хордой, соединяющей точки М1(a, f(a)) и М2(b, f(b)). За первое приближение х1 к корню с примем абсциссу точки пересечения этой хорды с осью ОХ. Очевидно, что при этом будет выполняться неравенство c x1 b a . Теперь укажем формулу для х1. Для этого со-

Последнее равенство и приводит к расчётной формуле (2.4), применяемой на отрезке [xn 1, xn ].

Уравнение (2.5) приводится к виду

и, следовательно, представляет собой линейную функцию y kx d . Это означает, что на отрезке [a,b] этой функцией заменена функция f(x) рассматриваемого уравнения (2.1). Поэтому метод хорд (метод секущих) называют ещё методом

линейной интерполяции.

2.3. Метод касательных

Метод касательных применяют для функций, дифференцируемых на интервале около предполагаемого решения. Метод особенно удобен, если функция быстро меняется вблизи корня. Распространённое название «метод Ньютона»

32

неточно, поскольку относится к комбинированному методу хорд и касательных, о котором будет сказано дальше.

Схема метода касательных

Надо найти корень с уравнения (2.1) с точностью .

1)Находим общую формулу для вычисления производной f x ;

2)выбираем x0 – начальное приближение;

3)каждое следующее приближение находим по формуле

Формула (2.6) является расчётной формулой метода касательных;

4)вычисления прекращаем, когда xn 1 xn ;

5)в ответе указываем xn 1 .

Точку x0 следует выбирать так, чтобы в ней значение функции и 2-й произ-

водной были одного знака: f x0 f x0 0 . В этом случае касательная пересекает ось абсцисс (ось OX) около корня функции, т.е. примерно там же, где ось пересекается с графиком функции. Таким образом, метод заключается в замене на каждом шаге функции f(x) на касательную и в поиске корня этой касательной.

Действительно, уравнение касательной к кривой y f x в точке xn ; f xn

имеет вид

y f (xn ) f (xn )(x xn ).

Положив в этом равенстве y 0 , найдём координату х пересечения этой кривой с ОХ. Это х и берём за xn 1 , т.е. за следующее приближение к корню уравне-

ния (2.1). Это и приводит к формуле (2.6).

Если же условие f x0 f x0 0 нарушено, т.е. знаки f x0 и f x0 различны, то касательная и график пересекают ось ОХ в точках, расположенных далеко одна от другой, и метод расходится.

Метод касательных устойчив к ошибкам: поиск корня можно начинать с любой точки, а случайная (не систематическая) ошибка лишь приводит к дополнительному шагу приближения и не опасна.

Пример. Решим уравнение x3 6 x с точностью 0,001.

Решение. Здесь f x x3 x 6 , поскольку сначала надо свести уравнение к виду f x 0 , в нашем случае x3 x 6 0 .

33

Последний столбец необязателен, новое приближение можно считать под предыдущим. На седьмом шаге x7 x8 1,634 4 . Очевидно, это значение полу-

чим и на всех последующих шагах. Вычисления закончены. Для уточнения корня необходимо вести вычисления с большим числом цифр после запятой.

Правильность решения проверим подстановкой в исходное уравнение:

1,634 43 4,365 9 , 6 1,634 4 4,365 6 ,

разность 4,365 9 4,365 6 0,000 3 0,001 и не превосходит точности вычислений. Ответ: x 1,634 – решение уравнения x3 6 x с точностью 0,001.

2.4. Комбинированный метод

Комбинированный метод получается при объединении метода секущих и метода касательных. Пусть дано уравнение (2.1). Возьмём две точки, обозначим их x0 и t0 . Пусть для определённости x0 t0 и функция возрастает выпуклостью вниз. Проведём касательную к графику f x в точке с абсциссой t0 . Получим точку t1 – новое приближение, найденное методом касательных.

34

Затем соединим точки графика с абсциссами x0 и t1 . Получим x1 – новое приближение, найденное методом секущих, причём не на отрезке x0 ; t0 , а на от-

резке x0 ; t1 . Этот отрезок короче, поэтому x1 быстрее перемещается к решению уравнения, чем при обычном методе хорд. В этом и есть смысл и цель метода. Соответствующие формулы пересчёта:

новый отрезок 1,515 9;1,5213 .

35

дим, что решение с точностью 0,001 закончено, поскольку после замены 1,521 3

При решении методом Ньютона возрастает число используемых параметров и шагов, поэтому решение удобно оформлять в виде таблицы, как в следующем

В таблице 2.2 в каждой строке 1-е и 2-е числа – это левый и правый концы отрезка, 7-е число tnew – правый конец, пересчитанный по формуле касательных.

строку как t, f t , x соответственно. Запасную 5-ю цифру не пишем, действия прекращаем при совпадении 4 цифр после запятой.

Начальное приближение должно быть таким, чтобы f t f t 0 . В примере

Концы отрезка совпали с точностью до 4 знаков, вычисления прекращаем. Ответ: x 1,260 7 с точностью 0,0001.

2.5. Метод простых итераций

Как известно, умножение уравнения f(x) = 0 на число m 0 и прибавление к обеим частям уравнения одной и той же функции h(x) не меняют его корней, то есть уравнения f x 0 и mf x h x h x равносильны для любых m и h(x) (при условии, что h(x) определена в точках, где f(x) = 0).

Уравнение f(x) = 0 можно свести к виду x = g(x) так, чтобы функция g(x) отвечала определённым условиям, позволяющим легко найти корень.

Если на отрезке [a, b] производная функции g(x) отделена от 1, то при любом начальном приближении x0 a;b :

а) последовательность xk 1 g xk сходится к корню уравнения x = g(x);

б) корень c существует, находится на отрезке [a, b] и единственный;

в) элементы последовательности x1 , x2 , , xk , не выходят за границы [a, b],

всё точнее приближаясь к c.

Условие отделённости производной от 1 означает, что найдётся число 0<q<1

необязательно (не является необходимым). Фактически его заменяют условием

Продолжая, получим последовательность

3,914 3, 3,956 9, 3,978 4, 3,989 2, 3,994 6, 3,997 3, 3,998 6,

сходящуюся к числу 4 – к решению уравнения.

37

а для выполнения условия 2 mf x надо взять m 2 / f x , что равносильно

m 2 / M и составить уравнение xk 1 xk mf xk для убывающих функций f или уравнение xk mf xk для возрастающих функций f.

Для успешного решения методом простых итераций нужен как можно меньший отрезок изоляции, на котором к тому же функция монотонна. Но поиск отрезка – долгий процесс, оправданный при вычислениях "вручную". При автоматизации вычислений, например, при работе в пакете EXCEL, проще делать так:

1) Взять число m 0 и составить последовательности xn mf xn и xn 1 xn mf xn .

2) Взять приближение x0 , чтобы f x0 было не слишком велико.

38