Решение.

Разделим исходный

отрезок

на

пять

равных

частей,

тогда

h

4 2

0,4 . Получаем точки x

2; x 2,4;

x

2,8;

x

3,2;

x

3,6; x

4.

0

2

3

4

5

5

1

Правая

часть

уравнения

имеет

вид

f x, y

x

.

По

условию

y 2

y

0

y x

y 2 1.

Затем находим значение у(х) в точке х1

по формуле (4.6):

0

y 2,4 y 2 hf 2,1 ,

2

y 2,4 1,000 0,4

1,267 .

1 2

Значения у(х) в остальных точках х2, х3, х4, х5

находим по той же формуле

(4.6) с учётом найденных предыдущих ук:

y 2,8 1,267 0,4

2,4

1,561;

y 3,2 1,561 0,4

2,8

1,874;

1,267 2

1,561 2

y 3,6 1,874 0,4

3,2

2,204;

y 4 2,204 0,4

3,6

2,547.

1,874 2

2,204 2

Ответ:

x

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4,0

y

1

1,267

1,561

1,874

2,204

2,547

Задача допускает точное решение y

x2 5 2 . Таблица значений, найден-

ных по этой формуле с точностью до третьего знака, имеет вид

х

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

у

1

1,280

1,583

1,904

2,238

2,582

Для значения

y 4

абсолютная ошибка (погрешность)

вычисления составляет

0,035, а относительная ошибка – почти 2%.

Шаг 2. Решим задачу тем же методом с шагом h2 0,5h1 ; получим значения

yk

в точках x0 , x1 , , xm , где xk x0 h2k и m 2n .

Точки x

с чётными номерами совпадут с точками, полученными при шаге h1 ,

а именно, xk

x2k .

Шаг 3. Обозначим t0 , t1 , , tn – точки, в которых значения получены дважды,

а значения функции в них обозначим y0 , y1 , , yn

и y0 , y1 , yn ( y0

y0 ).

Пересчитаем новые приближённые значения в точках t0 , t1 , , tn по формуле

~

yk 2 yk (формула равносильна

~

yk

yk ).

yk

yk yk

Шаг 4. В ответе указываем таблицу значений

~

yk в точках tk .

Замечание. Уточнение подобным методом возможно и при других соотно-

шениях между h1 и h2 , однако при h2

0,5h1

пересчёт наиболее прост.

Пример.

Решим методом Рунге – Кутта уравнение y 2x 1 при условии

y 0 3 на отрезке 0;5 .

Решение. Шаг 1. Выбираем n 5, тогда h

5 0

1 .

1

5

По условию y 0 3, остальные значения находим по формуле (4.6):

y1 3 1 2 0 1 4;

y2 4 1 2 1 1 7;

y3 7 1 2 2 1 12;

y4 12 1 2 3 1 19;

y5 19 1 2 4 1 28.

Шаг 2. Выбираем n 10 , тогда h

5 0

0,5 . По-прежнему y

3 , но теперь

0

2

10

точек в 2 раза больше. Находим

y 0,5 3 0,5 2 0 1 3,5;

y 1,0 3,5 0,5 2 0,5 1 4,5;

y 1,5 4,5 0,5 2 1 1 6,0;

y 2,0 6,0 0,5 2 1,5 1 8,0;

y 2,5 8,0 0,5 2 2 1 10,5;

y 3,0 10,5 0,5 2 2,5 1 13,5;

y 3,5 13,5 0,5 2 3 1 17,0;

y 4,0 17,0 0,5 2 3,5 1 21,0;

y 4,5 21,0 0,5 2 4 1 25,5;

y 5,0 25,5 0,5 2 4,5 1 30,5.

~

4 2 4,5 5;

y1

~

7 2 8,0 9;

y2

~

12 2 13,5 15;

y3

~

19 2 21 23;

y4

~

28 2 30,5 33.

y5

Шаг 4. Ответ:

х

0

1

2

3

4

5

у

3

5

9

15

23

33

Уравнение имеет точное решение y x2

x 3,

получаемое простым инте-

Способ 1. Пусть найдено приближённое решение

yk в точке xk . На следую-

щем шаге находим вспомогательное значение y* y

k

0,5hf x

, y

k

, тогда значе-

k

ние в следующей узловой точке находится по формуле

y

k 1

y

k

hf x

k

0,5h; y* .

(4.8)

От обозначения

y * можно избавиться,

подставив y *

в формулу (4.8) для

вычисления yk 1

и получив yk 1 yk hf xk

0,5h; yk

0,5hf xk ; yk .

Способ 2. Зная приближённое решение

yk в точке xk , можно найти вспомо-

гательное значение y* y

k

hf x

, y

k

, а значение в следующей точке как

k

y

k 1

y

k

0,5h f x

, y

k

f

x

k 1

, y* .

(4.9)

k

Здесь также можно подставить y *

и получить

yk 1 yk

0,5h f xk , yk f xk 1 , yk

hf xk , yk .

Пример 1. На отрезке 0;1 с шагом

h 0,2

решим 1-м способом уравнение

y x2 y 2 при начальном условии y 0 2.

Решение. Имеем

x

0

0, y

0

2,

f x, y x2 y 2 ,

h 0,2 . Находим

y* y

0

0,5 h x2

y2 2 0,5 0,2 02 22

2 .

0

0

Тогда

y1 y0 h x0

0,5h 2 y* 2

2 0,2 0 0,1 2 22

2,008.

Таким образом, для точки x1 0,2

нашли приближённое значение y1 2,008.

Далее находим

y

* y

0,5hx

2 y 2 2,008 0,1 0,222,0082 2,0241, поэтому

1

1

1

y2 y1

h x1 0,5h 2 y* 2

2,008 0,2 0,2 0,1 2 2,02412 2,0817, и т.д.

Удобно вычисления выполнять в таблице

k

xk

yk

0,5hxk

2 y 2

y *

xk 0,5h

xk 0,5h 2

y* 2

yk 1

0

0

2

0

2

0,1

0,01

4

2,008

1

0,2

2,008

0,016 1

2,024 1

0,3

0,09

4,097 1

2,081 7

2

0,4

2,081 7

0,069 3

2,151 1

0,5

0,25

4,627 2

2,313 1

3

0,6

2,313 1

0,192 6

2,505 7

0,7

0,49

6,278 6

2,928 4

4

0,8

2,928 4

0,548 8

3,477 3

0,9

0,81

12,091 3

4,887 2

5

1,0

4,887 2

–

–

–

–

–

–

х

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1