Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

3.5.4. Параллельное соединение квантовых резисторов

Применим метод Ландауэра для вычисления сопротивления системы из двух квантовых резисторов, соединенных между собой параллельно при помощи идеальных проводников, как показано на рис. 25.

Рис. 25. К расчету сопротивления при параллельном соединении двух квантовых резисторов. Стрелками обозначены амплитуды прошедших и отраженных волн, измеренные вблизи соединений. Фазы, набранные волнами при прохождении каналов, включены в параметры рассеяния

Как мы увидим, при наличии фазовой когерентности в системе (т.е. при L << Lφ ) закон Ома нарушается и в такой геометрии.

Будем считать, что все набеги фазы, обусловленные распространением волн, и сдвиги фаз при рассеянии волн в каналах включены в параметры рассеяния. Тогда симметрия задачи по отношению к обращению времени дает: ti = ti′, i =1,2; а сохранение пото-

Пусть контур цепи пронизывает магнитный поток Ааронова–

Бома Φ (т.е. напряженность магнитного поля H = × A (где A – векторный потенциал) равна нулю всюду в объеме кольца, но цир-

куляция векторного потенциала ∫ A dl = Φ вдоль любого конту-

ра, который охватывает отверстие (см. гл. 4). Тогда амплитуды рассеяния изменяются следущим образом:

потока.

Такое поведение S-матрицы является следствием теоремы Бай- ерса–Янга и Блоха [12], согласно которой локальное калибровочное преобразование волновой функции электрона

41

где rj – координата j-го электрона, а фаза χ определяется условием

A = χ , позволяет исключить векторный потенциал из много-

электронного уравнения Шредингера. Однако в результате такого преобразования изменяются граничные условия для преобразованных волновых функций электронов: эти условия больше не являются периодическими и учитывают изменение фазы волновой функции на δχ = 2πΦΦ0 каждый раз, когда при движении элек-

трона по кольцу его радиус-вектор совершает один полный оборот вокруг оси кольца.

Из теоремы Байерса–Янга и Блоха следует, в частности, что 1) значения фазы Ф и Ф + пФ0, п = ±1, ±2, ..., физически не-

различимы, т.е. все физические свойства системы периодически зависят от магнитного потока с периодом Ф0;

2) этот набег фазы возникает из-за наличия векторного потен-

циала в области проводников, где магнитное поле отсутствует.

Преобразование амплитуд рассеяния в (3.16) фактически учитывает новые граничные условия для волновой функции.

Наконец, для того чтобы найти сопротивление кольца, следует задать S-матрицы для двух узлов, в которых соединяются три идеальных проводника, затем записать все волны, распространяющиеся в кольце, когда на вход (левый контакт на рис. 22) подается плоская волна, и учесть условия сохранения потока электронов на всех рассеивателях. Подробности расчета можно найти в оригинальной работе [13], мы приведем ответ для полной прозрачности системы (для простоты – в одноканальном случае), которая и есть безразмерный кондактанс кольца g||:

где коэффициенты α ÷ε определяются амплитудами раcсеяния:

α = A 2 + B 2 , β = 2Re(AB ),

42

B=t22t1 −t1(1−r2 )(1−r2′),

D = E =t1t2 ,

C =t12 +t22 −(2 −r1 −r2 )(2 −r1′−r2′).

Анализируя результат (3.18)–(3.19), мы обнаруживаем большое разнообразие в поведении этой сравнительно простой мезоскопической системы. Пусть, например, магнитное поле отсутствует, а

одна из ветвей структуры совершенно непроницаема, t1 = 0. Тогда,

как нетрудно видеть, кондактанс системы все еще зависит от характеристик непроводящей ветви и изменяется в широких пределах с изменением фаз амплитуд отражения r1 и r1′. В самом деле, в этом

случае

A = −t2 (1−r1)(1−r1′), B = D = E = 0,

C=t22 −(2 −r1 −r2 )(2 −r1′−r2′),

α= t2 2 (1−r1)(1−r1′)2 , β= 0,

γ= t22 −(2 −r1 −r2 )(2 −r1′−r2′) 2 ,δ = ε = 0.

Полагая здесь r1 = 1, получим Т = 0; с другой стороны, можно добиться увеличения кондактанса квантового проводника, подключая параллельно с ним другой регулируемый проводник очень большого номинала.

Все это многообразие свойств системы обусловлено интерференцией электронных потоков. При Lφ ≤ L интерференция исчезает,

и мы приходим к классической формуле (т.е. к закону Ома) для кондактанса в данной геометрии.

43

4.ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА И НЕЗАТУХАЮЩИЕ ТОКИ

ВНОРМАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКАХ

Классическая теория проводимости Друде основана на предположении, что при каждом столкновении электрона вся информация о том состоянии, в котором он пребывал перед столкновением, полностью теряется. Это утверждение, однако, верно лишь для неупругих столкновений, когда ни временные, ни пространственные координаты каждого отдельного акта столкновения непредсказуемы в принципе. При упругих же столкновениях, в отличие от неупругих, изменение фазы волновой функции электрона для каждой конкретной электронной траектории известно заранее, т.е. абсолютно предсказуемо. Последнее обстоятельство является физической причиной явления квантовой интерференции электронных волновых функций на расстояниях, масштаб которых – длина дифейзинга Lφ – определяется механизмами неупругого рассеяния. При Lφ > l это явление приводит к наблюдаемым изменениям, например, в проводимости системы.

Исследуем два таких эффекта – эффект Ааронова–Бома и существование незатухающих токов в нормальных (т.е. в несверхпроводящих) проводниках. Эти явления тесно связаны между собой: оба имеют место в мезоскопических кольцевых структурах, оба обусловлены квантовой интерференцией электронных волновых функций.

4.1. Эффект Ааронова–Бома в металлических кольцах

Рассмотрим более подробно влияние магнитного поля на перенос электронов через проводники кольцеобразной формы при низких температурах, когда фазовая когерентность электронной волновой функции в пределах кольца сохраняется хотя бы частично. Мы увидим, что в этом случае магнитный поток, пронизывающий кольцо, модулирует его прозрачность, причем в этой модуляции присутствуют гармоники не только с периодом Ф0, но и с периодом Ф0/2. Такое поведение прозрачности приводит к осцилляциям кондактанса кольца при изменении напряженности магнитного поля. Мы обнаружим, что при низких температурах и малых значени-

44

ях падения напряжения на кольце амплитуда осциллирующей части кондактанса равна кванту проводимости G0 = 2e2 h на каждый

открытый канал и убедимся в том, что при увеличении хотя бы одного из этих параметров на величину порядка энергии Таулесса эти осцилляции исчезают.

4.1.1. Краткое введение

Эффект Ааронова–Бома (АБ) носит имя ученых, предложивших мысленный эксперимент для иллюстрации влияния магнитного потока на интерференцию электронов в схеме Юнга [14]. Смысл этого эксперимента состоит в том, чтобы показать, что векторный потенциал электромагнитного поля – не математическая абстракция, а вполне реальная физическая величина. На рис. 26 представлена схема эксперимента АБ: две парциальные электронные волны интерферометра огибают область локализации магнитного поля таким образом, что всюду в области пространства, доступной для электронов, напряженность магнитного поля в точности равна ну-

лю, а с ней тождественно равна нулю и сила Лоренца, дейст-

вующая на электроны со стороны магнитного поля.

Рис. 26. Схема эксперимента (а), предложенного Аароновым и Бомом. Магнитное поле в соленоиде экранируется таким образом, чтобы напряженность магнитного поля в области, доступной для электронов, была тождественно равна нулю. Стационарная картина (б) интерференции электронов в плоскости входного зрачка детектора

Однако векторный потенциал, соответствующий такой конфигурации магнитного поля, независимо от выбора калибровки элек-

тромагнитных потенциалов не может обратиться в нуль всюду в

45

этой области, так как по теореме Стокса ∫ A dl = Φ ≠ 0 вдоль

любого замкнутого контура, который охватывает соленоид. А это значит, что магнитное поле, локализованное в области пространства, недоступной для электронов, влияет, тем не менее, на величину фазы их волновых функций. В самом деле, ведь наличие векторного потенциала изменяет канонический импульс электрона p со-

гласно формуле

где v – скорость электрона. Поэтому набег фазы волновой функции электрона при прохождении им некой траектории L, парамет-

содержит вклад от кинематической скорости электрона и слагаемое ΔϕA , обусловленное векторным потенциалом:

Поэтому каждому полному обороту электрона по любой замкнутой кривой, один раз охватывающей область локализации магнитного поля, соответствует набег фазы его волновой функции, равный

2π×(вложенный магнитный поток Ф, измеренный в единицах кванта потока Ф0).

Как легко понять, формула (4.3.2) дает разность фаз электронов, приходящих на детектор (см. рис. 26) по любым двум траекториям, принадлежащим разным плечам интерферометра (типа 1 и 2 на рис. 27). Но поскольку изменения фазы, равные друг другу по модулю 2π, физически неразличимы, все эффекты в системе, зависящие от вложенного магнитного потока (который принято назы-

46

вать потоком Ааронова–Бома, или АБ-потоком), зависят от него периодически, с периодом в один квант потока.

Рис. 27. Эффект Ааронова–Бома в кольцах нормальных металлов:

а – интерферирующие траектории электронов, ответственные за осцилляции кондактанса G(Φ) с периодом h/e; б – траектории, переходящие друг в друга при обращении времени, дающие вклад в осцилляции G(Φ) с периодом h/2e (эффект Альтшулера–Аронова–Спивака)

Для случая электронной интерференции в вакууме эффект АБ был доказан экспериментально в работе [15]. Его убедительные подтверждения дает и физика твердотельных мезоскопических систем.

4.1.2.Эффекты Ааронова–Бома

иАльтшулера–Аронова–Спивака в твердом теле

Рассмотрим электроны в металлической АБ-структуре при l < L < Lφ , где L – длина окружности АБ-структуры. Такие условия

электронного транспорта способствуют интерференции электронных волновых функций и поэтому называются режимом квантовой диффузии.

В отличие от классической постановки АБ-эксперимента, в мезоскопических двусвязных системах магнитное поле, как правило, не сосредоточено только в центральной части кольца, а проникает внутрь проводящей области. Несмотря на такое существенное различие, термин «АБ-эффект» применяется и в этом случае.

На рис. 27 изображены два типа траекторий электронов, которые дают вклад в интерференционное слагаемое: соединяющие

47

вход и выход кольца в измерительной цепи (рис. 27, а) и пути, по которым электроны возвращаются на вход системы (рис. 27, б). Распространяясь по траекториям первого типа, электроны преодолевают расстояние порядка L/2 от входа до выхода кольца вдоль одной из полуокружностей – «левой» 1 или «правой» 2. Включение магнитного поля изменяет разность фаз между путями 1 и 2 на 2 каждый раз, когда вложенный магнитный поток увеличивается на один квант потока:

Пусть А1 и А2 – амплитуды парциальных электронных волн, которые после рассеяния на входном контакте кольца начинают распространяться по траекториям 1 и 2 соответственно. Тогда, если дифейзинг отсутствует, коэффициент прозрачности кольца равен

Мы видим, что вклады траекторий первого типа (см. рис. 27, а) взаимно когерентны и поэтому изменяют вероятность рассеяния электронов на кольце вперед. Соответственно, прозрачность кольца, а с ней и его кондактанс осциллируют при изменении вложенного магнитногопотока спериодом 0 hec. Это и есть эффект АБ.

В идеально симметричном кольце A1 A2 12, поэтому ам-

плитуда осцилляций интерференционного слагаемого в кондактан-

се (с учетом спинового вырождения) составляет G0 2e2h на ка-

ждый открытый канал проводимости.

При учете процессов дифейзинга, которые, как мы уже понимаем, обусловлены неупругими столкновениями электронов в системе, амплитуда интерференционного слагаемого в (4.5) уменьшается в exp( LL )раз.

Траектории второго типа совершают полный оборот вокруг оси кольца – по (4) или против (3) часовой стрелки (см. рис. 27, б) и,

что существенно, переходят друг в друга при изменении знака времени. Последнее означает, что при отсутствии магнитного поля набеги фазы парциальных электронных волн для обеих траекторий

48

каждой такой пары тождественно равны между собой. Результат – когерентное рассеяние электронных волн назад (в отличие от траекторий первого типа, отвечающих за когерентное рассеяние электронов вперед), которое в отсутствии магнитного поля автоматически дает минимум прозрачности кольца и, соответственно, максимум его электрического сопротивления.

Отметим, что явление изменения прозрачности мезоскопических систем при распространении в них волн, обусловленное их когерентным рассеянием назад (называемое в литературе эффектом слабой локализации (или – слабой антилокализации, если прозрачность среды при этом не уменьшается, а, наоборот, увеличивается), см. гл. 6), имеет весьма общий характер и наблюдается не только при распространении электронов, но также и для электромагнитных, акустических и гравитационных возмущений.

Если АБ-поток не равен нулю, разность фаз парциальных волн, бегущих по путям 3 и 4, по возвращении на вход кольца прирастает на величину

Это означает, что когерентное рассеяние электронов назад в мезоскопическом кольце (явление Альтшулера–Аронова–Спивака, или ААС-эффект, предсказанный теоретически в работе [16]) приводит к осцилляциям его кондактанса с периодом Ф0/2 – ровно в два раза меньшим, чем при классическом АБ-эффекте.

Дифейзинг, по понятным причинам, уменьшает амплитуду этих осцилляций в exp(−2LLφ ) раз.

Важно подчеркнуть принципиальную разницу между двумя рассмотренными явлениями:

1) положение максимумов и минимумов при осцилляциях кондактанса колец (или их магнитосопротивления) с периодом Ф0 на оси Ф изменяется от образца к образцу, потому что от образца к образцу изменяется разность фаз электронных волновых функций на траекториях первого типа. Поэтому в экспериментах на ансамблях из большого числа квазиодномерных колец, соединенных друг с другом последовательно или параллельно (к последнему случаю относятся, например, «толстые» кольца с большим числом откры-

49

тых каналов проводимости), вклады разных траекторий первого типа усредняются, что делает наблюдение Ф0-осцилляций в таких экспериментах невозможным;

2) осцилляции же с периодом Ф0/2 обусловлены вкладами траекторий, связанных друг с другом обращением времени; разность фаз электронных волновых функций на таких парах траекторий не зависит от образца. Поэтому ААС-эффект, в отличие от классического АБ-эффекта, должен наблюдаться и в опытах с эффективно многокольцевой геометрией.

4.1.3. Роль температуры и внешнего напряжения

Анализ влияния внешних параметров – температуры и величины приложенного напряжения – на амплитуду АБ-осцилляций позволяет понять роль энергии Таулесса в мезоскопических системах.

Рост температуры системы и/или разности потенциалов, подаваемой на ее внешние электроды, увеличивает диапазон энергий электронов, участвующих в интерференции, и портит качество интерференционной картины – точно так же, как размывается картина интерференции света при увеличении ширины полосы частот интерферирующих волн.

Изменение набега фазы волновой функции электрона в системе при изменении его кинетической энергии E → E + E (см. слагае-

мое Δϕv в формуле (4.2)) есть δ(Δϕ) = k Lp . Здесь Lp – длина тра-

ектории электрона в кольце от входа до выхода, которая, например, в баллистическом режиме имеет порядок размера системы. Найдем отсюда величину характерного изменения энергии электрона, при котором набег фазы его волновой функции изменяется на π:

Следовательно, если волновые функции электронов с энергией Е при наложении усиливают друг друга, то интерференция волн с энергией E → E + ETh является деструктивной. Но это означает,

что:

а) прозрачность кольца зависит от энергии электронов, дающих вклад в ток: Т = Т(Е),

50