Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Хорошо видно, что при уменьшении плотности электронов в 2DEG в интервале температур ~0,1÷2 К существует некое критическое значение плотности носителей ns = nc ≈ 0,9 1011 см–2, при котором металлический тип проводимости dρdT > 0 (нижние кривые

на рис. 67, б) сменяется диэлектрическим dρdT < 0 (верхние кри-

вые на рис. 67, б).

Аналогичная закономерность наблюдалась и в работе [49]. Интересно, что критическое значение ρс удельного сопротивления 2DEG (при ns = nc) для всех исследованных систем имеет порядок кванта сопротивления: ρc he2 .

Заметим, что зависимости на рис. 67, б получены при T > 0 и не имеют прямого отношения к предсказаниям скейлинговой гипотезы локализации, которая, если и справедлива, то лишь при абсолютном нуле температуры. Поэтому:

а) прямая ее проверка принципиально невозможна; б) возможны, по крайней мере, два противоположных сценария:

1)для двумерных систем низкой плотности, где кулоновское взаимодействие носителей заряда велико, скейлинговая теория локализации неверна; в таких системах при Т = 0 с изменением электронной плотности имеет место (квантовый) фазовый переход ме- талл–изолятор; диэлектрическая фаза устойчива и в области конечных температур, где ее сопротивление имеет активационный характер (см. пучок кривых на рис. 67, б при ns < nc);

2)2DEG с любой плотностью носителей при Т = 0 является

изолятором, а «металлическое» поведение кривых при ns > nc является результатом «игры» кулоновского взаимодействия электронов

всистеме и беспорядка. В этом случае при температурах, более низких, чем достигнутые в экспериментах [48, 49], должна происходить смена режима проводимости с «металлического» на диэлек-

трический (т.е. при Т → 0 падение удельного сопротивления на кривых с ns > nc должно смениться (неограниченным) ростом.

Вопрос о том, реализуется ли в природе один из этих сценариев, или в действительности происходит нечно иное, в настоящее время открыт.

111

7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ПРОВОДИМОСТИ

Для того чтобы получить первоначальное представление о проблеме, рассмотрим ансамбль хороших мезоскопических проводников (g 1) с одинаковыми линейными размерами L (l << L << Lφ),

изготовленных из одного и того же материала (так, что средняя объемная плотность примесей во всех образцах одна и та же).

Пусть G – кондактанс, характеризующий этот ансамбль (эта величина зависит от микроскопической конфигурации примесей и флуктуирует от образца к образцу, но мы опускаем индекс, нуме-

рующий образцы). Пусть G − средний кондактанс ансамбля, а вариация кондактанса (т.е. квадрат его средней квадратичной флуктуации) определена обычным образом:

Var (G ) ≡ δG2 = (G −G)2 = G2 −G2 .

Мы могли бы предположить, что кондактанс каждого из проводников ансамбля определяется микроскопическим расположением примесей на масштабе расстояний порядка длины упругих столкновений l. Тогда каждый проводник можно представить как

совокупность из N = (Ll )d статистически независимых подсистем,

и ток в системе, переходя в процессе своего прохождения от одной независимой подсистемы к другой, эффективно усредняется по множеству различных реализаций примесного потенциала. При

танса – по закону больших чисел должна иметь порядок 1 N ,

[50], и, соответственно, вполне определенным образом зависеть от размерности образца и его линейного размера:

удовлетворяет закону Ома, G = σLd −2 , получим, что вариация кон-

112

дактанса в силу (7.1) должна зависеть от линейного размера проводника степенным образом:

Из (7.1)–(7.2) также следует, что амплитуда флуктуаций кондактанса должна зависеть от степени беспорядка, которая определяет длину упругих столкновений, и при d < 4 исчезать в макроскопическом пределе L → ∞.

Эксперимент (рис. 68), однако, не подтверждает ни одного их этих предсказаний. Оказывается, кондактанс мезоскопического проводника не является самоусредняющейся величиной, а

его флуктуации около среднего значения в области достаточно низких температур вообще не зависят от степени беспорядка (т.е. от длины упругих столкновений электронов), но определяются только геометрией образца. Поэтому говорят, что флуктуации

кондактанса мезоскопических проводников являются универсальными [51].

Рис. 68. Апериодические изменения магнитокондактанса двух различных мезоскопических систем: золотого кольца (а) и 2DEG в кремниевой МОП-структуре (б), [52]. Их кондактанс отличается на несколько порядков величины, однако амплитуда флуктуаций в обоих случаях имеет порядок е2/h

На рис. 68 приведены результаты измерения зависимости кондактанса от индукции магнитного поля для двух проводников совершенно разной природы, средний кондактанс которых отличается на несколько порядков величины [52].

113

Обратим внимание на то удивительное обстоятельство, что в обоих случаях амплитуда флуктуаций одинакова, она не зависит от степени беспорядка и имеет порядок кванта кондактанса в расчете на один спин:

Более того: непериодические изменения кондактанса, наблюдаемые при изменении магнитного поля, являются полностью воспроизводимыми и представляют собой уникальную характеристику каждого конкретного образца – его своеобразный «отпечаток пальца». Именно этот факт подсказывает нам, что такое поведение кондактанса есть ни что иное, как результат действия магнитого поля на картину интерференции электронов проводника, движущихся в статическом случайном поле примесей. Ясно также, что возможны и другие способы обратимого изменения условий для интерференции электронных волновых функций, позволяющие наблюдать универсальные флуктуации кондактанса – например, варьирование энергии Ферми проводника, [53].

Далее, следуя [54], мы обсудим простую качественную интерпретацию универсальных флуктуаций кондактанса мезоскопических проводников при Т = 0. Для этого обратимся вновь к классической формуле Друде для кондактанса 2DEG, которую с учетом (1.5), (3.1) (и для простоты полагая gv = 1) запишем в виде

Здесь Nc – число состояний поперечного квантования или, другими словами, количество одномерных подзон, занятых электронами на поверхности Ферми двумерного проводника шириной W.

Запись (7.4) помогает перейти от локального описания проводимости 2DEG, уместной в случае, когда мы имеем дело с хоро-

шим металлом с малой длиной дифейзинга ( Lφ ≤ l ), к описанию

Ландауэра с его представлением о квантовых каналах проводимости, которое относится к мезоскопическому случаю, Lφ l, и по-

зволяет выразить кондактанс в терминах амплитуд прохождения

114

для электронных состояний с энергией, равной энергии Ферми (см.

гл. 3).

В данном случае L >> l, и полная вероятность прохождения (во все исходящие каналы) для всех входящих каналов проводимости, дающих вклад в ток, в среднем одинакова; согласно (7.4) и (3.5) она равна πl2L . Нас, однако, интересуют флуктуации кондактанса

около этого среднего значения, которые можно проанализировать, основываясь на многоканальной формуле Ландауэра (3.5). Для удобства мы воспроизведем ее здесь еще раз:

где tαβ – амплитуда вероятности прохождения электрона из входящего канала α в исходящий канал β.

На рис. 69 показана неупорядоченная область (заштрихована в центре рисунка), в которой электроны испытывают только упругие столкновения. Она соединена идеальными проводами с резервуарами электронов L и R. Входящие квантовые каналы (или поперечные волноводные моды системы) нумеруются индексом α, исходящие (состоящие из прошедшей и отраженной волн) – индексом β.

Рис. 69. Неупорядоченная область (заштрихована в центре), входящие (α) и исходящие (β) квантовые каналы проводимости

Напомним, что в теории Ландауэра предполагается, что резервуары L и R находятся в состоянии термодинамического равновесия; предполагается также, что, попав в любой их этих резервуаров, электроны испытывают не только упругие столкновения, но и неупругие, и что эти последние полностью хаотизируют фазу электронных волновых функций, так что все Nс электронных мод, дающих вклад в ток, не когерентны между собой.

Как мы уже отмечали, усредненная по ансамблю вероятность прохождения электронов | tαβ |2 в (7.5) не зависит от α и β, так что

согласно (7.4) и (7.5)

115

шения (7.5) связана с тем, что корреляции между вероятностями прохождения tαβ 2 для разных пар индексов α и β не малы, и ими

нельзя пренебречь. Причина этого факта, повидимому, состоит в том, что прохождение электрона через неупорядоченную область сопровождается большим количеством столкновений с примесями, так что та или иная последовательность актов упругого рассеяния, вообще говоря, может быть общей для множества различных каналов проводимости.

Разумно предположить, однако, что:

разных пар индексов α и β входящих и исходящих каналов слабо коррелируют между собой.

Это предположение вполне резонно, так как:

а) отражение электрона назад в тот резервуар, из которого он стартовал, в подавляющем большинстве случаев происходит после лишь небольшого числа актов рассеяния,

б) поскольку общее число каналов проводимости очень велико: Nc >> 1, вероятность того, что некая цепь столкновений, приводящая к отражению электрона, будет общей для разных пар индексов α и β, пренебрежимо мала.

Заметим, что гипотеза ( ) допускает строгое доказательство

методами квантовой теории поля (см., например, [54]). Теперь нам ясен ход дальнейших расчетов вариации кондактанса:

1)следует, пользуясь законом сохранения вероятности (или, что то же самое, законом сохранения числа частиц), выразить кондактанс системы в терминах амплитуд вероятностей отражения;

2)а затем использовать гипотезу ( ) для вычисления статисти-

ческих средних по ансамблю.

Итак, согласно п. 1 этой программы можно написать:

116

так что для вариации кондактанса будем иметь:

здесь последнее равенство верно в предположении, что вероятности отражения для разных пар индексов α и β не коррелируют между собой.

Квантово-механическое выражение для амплитуды вероятности отражения электрона от неупорядоченной области согласно Фейнману [55] имеет вид суммы по вкладам путей:

i=1

где индекс i = 1, ..., M перечисляет все возможные фейнмановские пути, приводящие электрон из входящего канала α в исходящий канал β, Aαβ (i) – амплитуда вероятности реализации соответст-

вующего пути. На этом языке различные последовательности актов упругого рассеяния электронов могут рассматриваться как статистически независимые фейнмановские траектории. В квазиклассическом приближении эти траектории представляют собой траектории случайных блужданий частицы-электрона от одного столкновения с примесью до другого, в результате которых электрон возвращается в исходный резервуар.

В соответствии с гипотезой ( ) для разных пар индексов α и β траектории, дающие вклад в (7.9), различны. Поэтому при вычис-

i, j,k ,l=1

117

где в промежуточной формуле мы опустили индексы каналов. Отброшенные слагаемые в (7.10) малы по параметру 1/М (предполагается, что все же M >> 1). Поэтому

Принимая во внимание, что средняя вероятность отражения| rαβ |2 не зависит от α и β, из (7.6) и (7.7) получим:

Наконец, из (7.8), (7.11) и (7.12) найдем для среднеквадратичной флуктуации кондактанса 2DEG:

В этой формуле мы восстановили фактор кратности вырождения gv для многодолинных полупроводников. Более строгий рас-

чет, [52], дает результат, отличающийся от (7.13) лишь численным множителем:

Согласно [52] безразмерный коэффициент С, как правило, имеет порядок единицы, но зависит от геометрии проводника. Например, для узкого проводящего канала (W << L) C ≈ 0,73. Впрочем, последнее утверждение неверно для противоположного случая широкого и короткого канала (W >> L), когда C (W/L)1/2.

Параметр β зависит от глобальных симметрий проводника: в отсутствии магнитного поля, когда система обладает симметрией по отношению к обращению времени, β = 1 (для того чтобы наблюдать универсальные флуктуации кондактанса в этом случае, можно, например, варьировать энергию Ферми системы, изменяя плотность носителей заряда в 2DEG, см. п. 1.3); при включении магнитного поля эта симметрия нарушается, и тогда β = 2.

Мы видим, что действительно при Т = 0 среднеквадратичная флуктуация кондактанса диффузионного мезоскопического про-

118

водника не зависит ни от его размеров, ни от длины упругих столкновений и имеет порядок е2/h.

В макроскопически эквивалентных образцах микроскопическое распределение примесей всегда различно. Поэтому хотя в качественном отношении поведение кондактанса при изменении энергии Ферми или во внешнем магнитном поле в каждом из них одинаково, детальное поведение кондактанса каждого образца уникально. А поскольку распределение примесей не зависит от времени, зависимости G(B), G(EF) и им подобные полностью воспроизводятся для каждого образца в каждом повторном эксперименте.

С ростом температуры амплитуда флуктуаций кондактанса уменьшается. Главных причин две:

1)уменьшение длины когерентности электрона Lφ ≡ (Dτφ )12 ;

2)влияние теплового усреднения, которое характеризуется тепловой длиной LT ≡ ( DkBT )12 (см. подробнее в п. 2 главы 1).

8.КВАНТОВЫЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

8.1. Общие характеристики квантовых элекромеханических систем

Это механические резонаторы малого размера (от нескольких микрон для так называемых микроэлектромеханических систем

(microelectromechanical systems, MEMS) до нескольких нанометров (nanoelectromechanical systems, NEMS), сопряженные с электрон-

ными устройствами сопоставимых размеров [56].

Сегодня никого не удивить всевозможными балками, кантилеверами, шестеренками и иными передаточными устройствами, а также мембранами и другими механическими элементами микроэлектронных функциональных систем – они открывают и закрывают технологические емкости, незаменимы для прецезионной ориентации зеркал и антенн, тонкого регулирования величин электрических токов или световых потоков. Результатом дальнейшего развития этой тенденции, приведшего к проникновению твердотельных технологий в область субмикронных размеров, явилось созда-

119

ние устройств следующего поколения, NEMS (рис. 70). Здесь мы ограничимся в основном рассмотрением именно этого класса систем.

Рис. 70. Электронная микрофотография NEMS, построенных на монокристалле кремния посредством электронно-лучевой литографии и последующей микрообработки поверхности: крутильный осциллятор (А), составной крутильный осциллятор (В), последовательность кремниевых нанопроволок (С) и осциллирующее кремниевое сетчатое зеркало (D) [57]

Как показывает эксперимент, при достаточно низких температурах механические степени свободы в квантовых электромеханических системах сильно взаимодействуют с электродинамическими, так что энергия электрического тока в них может почти без потерь переходить в энергию механических колебаний и обратно. Примером может служить кантилевер (закрепленная с одного конца микроили наноскопическая балка) или мост (та же балка, закрепленная в обоих концах), которые электростатически связаны с одноэлектронным транзистором (SET) [58].

Хотя механический резонатор имеет втрое больше собственных мод, чем атом, во взаимодействии с электронным устройством, как правило, участвуют лишь несколько изгибных мод наименьшей энергии {νm}. И если добротности этих мод не малы ( Q = ωτd >>1,

где ω – частота собственного колебания, τd – время его затухания),

120