Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

гетероструктуре GaAs-AlGaAs), и управляющие электроды образуют потенциальный профиль U(y), который ограничивает движение электронов в направлении оси Oy, вместо двумерной плоской волны в (2.1) следует писать

ψ(r) = η(y) C1 exp{ikpx x / },

где η(у) – волновая функция связанного состояния электрона в поле U(у), С – нормировочная постоянная.

Рис. 10. СТМ-изображение квазиодномерного проводящего канала шириной 75 нм, изготовленного на основе гетероструктуры GaAs-AlGaAs (справа) в геометрии расщепленных управляющих электродов (split gate geometry, схематически представлена на рисунке слева). Боковые контакты, расположенные в 2 мкм друг от друга, служат для измерения падения напряжения по 4-зондовой схеме (см.

п. 3.4) (по данным [3])

Закон дисперсии электрона в таком канале имеет вид

электрона в двумерном запирающем потенциале V(e,z) = U(y) + + V(z). Например, если поле U(y) имеет вид прямоугольного ящика

шириной W и бесконечно высокими стенками, то

(sπ )2

εs = 2mW 2 ,

а для параболического потенциала U ( y) = mω02 y2 2 , который считается хорошим приближением для случая split gate – геометрии,

εs = (s −12) ω0 ;

21

в обоих случаях s = 1, 2, ... Простые вычисления дают для плотности состояний:

График зависимости плотности состояний электронов квазиодномерного проводника от энергии для случая прямоугольной потенциальной ямы изображен на рис. 11.

Рис. 11. Зависимость плотности состояний электронов от энергии в квазиодномерном проводящем канале для случая, когда три низшие подзоны размерного квантования заполнены полностью, четвертая – заполнена частично. Дискретные уровни соответствуют дну соответствующих подзон. На вставке: ход удерживающего латерального потенциала.

Плотность состояний в квази0D-проводнике. Приложим к неограниченному 2DEG магнитное поле B, направленное по нормали к его плоскости. Электронный спектр системы станет полностью дискретным, [4]:

где ωc = eBmc – циклотронная частота, квантовое число s = 1, 2,...

нумерует уровни Ландау, и в этом смысле эффективная размерность такой системы равна нулю: d = 0.

Для простоты мы считаем магнитное поле слабым и не учитываем зеемановское расщепление уровней. Уровни Ландау вырождены, причем кратность вырождения каждого из них равна числу квантов магнитного потока Φ0 = ce , пронизывающих 2DEG.

Учитывая этот факт и пренебрегая уширением уровней Ландау при

22

рассеянии электронов на примесях, получим для плотности состояний:

Эта зависимость показана на рис. 12. Полезно проследить, как с уменьшением величины напряженности магнитного поля она переходит в результат (2.6) для d = 2.

Рис. 12. Плотность состояний электронов в 2DEG, помещенном в поперечное магнитное поле. Заполненные нульмерные подзоны закрашены черным. Рассеяние на примесях приводит к уширению дискретных уровней

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

Условие сохранения фазовой когерентности при распространении волн (в частности – электронных) в масштабе всего образца, которое является главной особенностью мезоскопических систем, накладывает жесткие ограничения на их размеры и допустимые параметры внешних условий (температуру и магнитное поле). Последнее, однако, не значит, что кинетические явления, которые происходят в этом классе систем, сколько-нибудь обделены разнообразием физических режимов. Тому свидетельством длинный (и неполный) перечень характерных масштабов длин и времен, присущих мезоскопическим системам, который мы обсудили в гл.1.

Рассмотрим возможные режимы переноса заряда в мезоскопических системах и более подробно остановимся на одном из них – режиме баллистической проводимости.

23

3.1. Режимы проводимости мезоскопических систем

Существуют два способа описания электронного транспорта: локальный и глобальный. Первый основан на соотношении между двумя локальными величинами: плотностью тока и напряженно-

стью электрического поля, j = σE, где σ – проводимость. Второй

способ состоит в нахождении взаимосвязи между интегральными характеристиками процесса переноса заряда – полным током в образце и падением напряжения на нем. В простейшем случае оно имеет вид I = GV; величина G, выступающая здесь в качестве коэффициента пропорциональности, называется кондактансом образца и играет очень важную роль в исследовании переноса заряда.

Для макроскопических однородных проводников между проводимостью и кондактансом существует простое соотношение; например, в случае образца в форме d-мерного куба стороной L оно имеет вид

Однако для мезоскопических структур локальное описание теряет физический смысл: из-за фазовой когерентности в системе полный ток не есть простая сумма вкладов микроскопических локальных токов. Поэтому при описании явлений переноса в мезоскопических системах используется исключительно глобальное описание.

Характер этого описания существенным образом определяется соотношением размеров образца (его длины L и ширины W), длины свободного пробега электронов относительно упругих столкновений l и длины их локализации в системе ξL.

В баллистическом режиме (рис. 13, а), когда W, L < l < ξL,

столкновениями электронов с примесями можно пренебречь, и рассеяние электронов происходит только на границах системы.

Заметим, что закон Ома в локальной форме в этом случае не существует в принципе, смысл имеет только описание в терминах кондактанса.

Характер движения электронов в системе изменяется сущест-

венным образом в квазибаллистическом случае – когда W < L < < l < ξL (см. рис. 13, b), и рассеяние носителей на дефектах внут-

24

ренней структуры материала происходит столь же часто, как рассеяние на границах проводника.

Рис. 13. Траектории электронов, характерные для баллистического (W, L < l), квазибаллистического (W < l < L) и диффузионного (l < W, L) режимов переноса. Отражение от границ считается зеркальным. В квазибаллистическом режиме отражение от границ и рассеяние электронов на примесях (изображены сплошными кружочками) существенны в равной степени

Eсли l <W, L < ξL , или в диффузионном режиме, проводник

содержит значительное число атомов примеси и/или других структурных дефектов, и (независящая от температуры) длина упругого рассеяния l ~ 100 нм. Если она все еще больше λF, движение электронов в такой системе допускает простое описание в терминах случайного блуждания классических заряженных частиц с коэффициентом диффузии D = υFl / 3 в трехмерном случае и D = υFl / 2

для двумерной системы (рис. 13, с).

Наконец, при L < ξL имеет место режим сильной локализации носителей заряда. Это означает, что при Т = 0 кондактанс системы, ограниченной в пространстве, экспоненциально убывает с ростом ее размера.

Классическим примером баллистической системы являются квантовые точечные контакты (рис. 14).

Заметим, что при помощи (1.9) соотношение (3.1) между кондактансом и проводимостью диффузионного проводника можно записать в следующем весьма полезном виде [5]:

25

3.2.Баллистический режим проводимости

вквазиодномерных проводниках

Исторически первый эксперимент по исследованию проводимости двумерного электронного газа с баллистическим сужением (см. вставку на рис. 15) был осуществлен в работе [6], где узкий проводящий канал между двумя полуплоскостями 2DEG реализован с помощью двух управляющих (металлических) электродов (gate electrodes – «ворота»), нанесенных на поверхность GaAs над

2DEG.

Между управляющими электродами и слоем 2DEG подается отрицательное смещение Vg, что приводит к формированию обедненной электронами области в 2DEG в окрестности электродов. Простое варьирование напряжения Vg позволяет непрерывно изменять ширину проводящей области сужения от 0 до 360 нм; при l ≥ 10 мкм и достаточно низкой температуре (Т < 1 К) движение электронов в области сужения является баллистическим.

26

3.3. Квантовые каналы проводимости

Квантование проводимости допускает простое объяснение в рамках теории Ландауэра [7]. Рассмотрим два больших резервуара электронов, разделенных непроницаемым потенциальным барьером, в котором имеется отверстие в форме узкого канала без примесей (рис. 16).

Рис. 16. Узкий проводящий канал, соединяющий два больших резервуара электронов, между которыми имеется разность потенциалов V

Предположим, что площадь отверстия W2 мала, а электрохимический потенциал в системе изменяется на отверстии скачком:

δEF = EF( L) − EF(R) = eV EF(L) , EF(R) ,

так что состояние каждого из проводников можно в первом приближении считать равновесным. Тогда при Т = 0 слева (L) (справа, (R)) заполнены все электронные состояния с энергиями, не превы-

27

жирными точками). Состояния с бóльшими энергиями не заняты (пустые кружочки).

Для тока всистеме можнонаписать:

где Nc – число открытых каналов проводимости (на рис. 17 – это разница между числом заполненных поперечноквантованных состояний, бегущих вправо и влево). Здесь, как и всюду ниже, мы считаем gs = 2, gv = 1. Соответственно, для кондактанса системы получаем выражение

При выводе этой формулы неявно предполагалось, что вклады в ток от разных собственных состояний электрона в проводе –

квантовых каналов проводимости – некогерентны между собой

(в такой хаотизации фаз электронов, в частности, состоит роль макроскопических резервуаров).

Мы пришли к очень важному заключению: идеальный квантовый провод (ideal quantum wire) имеет конечное сопротивление

h(2e2 Nc ), величина которого не зависит от длины провода. По-

следнее, в свою очередь, означает, что даже в отсутствии неупруго-

28

го рассеяния в квантовом проводе протекание тока в системе сопровождается выделением тепла. Однако это тепло выделяется не в идеальном квантовом проводнике, а в объеме макроскопических резервуаров, к которым он присоединен.

3.4. Сопротивление квантового резистора. Формулы Ландауэра

Рассмотрим систему, состоящую из потенциального барьера, который соединен с резервуарами посредством идеальных квантовых проводов (рис. 18). Тогда каждый квантовый канал проводимости характеризуется определенной вероят-

ностью Тn прохождения через этот

барьер. Повторяя вывод предыдущего параграфа, вместо (3.4) получим Рис. 18. К расчету сопротивления

для кондактанса системы:

квантового резистора

Выражение (3.5) называется двухконтактной (two-terminal) формулой Ландауэра. Оно соответствует такой постановке эксперимента, когда разность потенциалов измеряется между резервуарами, т.е. между теми же электродами, в которых измеряется и ток в системе.

Найдем теперь сопротивление собственно неупорядоченной области (см. рис. 18). Для этого достаточно из полного сопротивления каждого канала h / (e2Tn ) вычесть сопротивление идеального

проводника (который соединен с неупорядоченной областью последовательно), равное h / e2 . Поскольку разные квантовые каналы соединены между собой параллельно, а их вклады некогерентны, для кондактанса Gdis неупорядоченной области получим

Это – так называемая четырехконтактная (four-terminal)

формула Ландауэра. Смысл последнего термина объясняет схема

29

эксперимента, который позволяет измерить сопротивление неупорядоченной области (рис. 19).

ском уровне; строгое обоснование формализма Ландауэра было дано много позже (см., например, [8]).

Рис. 20. Проводимость одномерного проводника как задача рассеяния на потенциальном барьере [7]

Приведем здесь простой вывод формулы (3.6), основанный на представлениях Ландауэра. Пусть в потоке электронов, падающих на неупорядоченную область (которой соответствует потенциальный барьер с коэффициентом прозрачности Т), движется n частиц в единице объема. Допуская, что скорости всех электронов одинаковы и равны υ , получим для плотности тока в системе:

где R = 1 – T – вероятность отражения электрона. С другой стороны, поскольку в неупорядоченной области реализуется диффузионный режим проводимости, плотность тока связана с градиентом плотности электронов и коэффициентом диффузии обычным соотношением

Здесь n =(nL −nR )L, где nL = (1+ R)n, nR = (1 + R)n – плотности электронов слева и справа от неупорядоченной области, L – ее размер. Поэтому n = −2RnL. Отсюда и из (3.7), (3.8) найдем

30