Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012
.pdfб) характерный масштаб энергий электронов, на котором амплитуда интерференционного слагаемого в прозрачности изменяется на порядок своей величины, есть как раз энергия Таулесса ЕTh.
При расчете полного кондактанса кольца следует учесть вклады всех электронов, участвующих в переносе заряда, т. е.
Gring ∫ T (E) dE,
E
где E max{kBT,eV} – ширина энергетического спектра электронов, дающих вклад в ток через кольцо. Ясно, что если E ETh , зависимость прозрачности от энергии под интегралом несущественна. В противоположном случае, т.е. при E > ETh , вклад в кон-
дактанс дают как электронные волновые функции, интерферирующие конструктивно, так и дающие интерференционный минимум прозрачности, что эффективно приводит к уменьшению амплитуды
осцилляций Ааронова–Бома (как показывает расчет, в ETh E раз).
4.1.4. АБ-осцилляции в мезоскопических системах, данные основных экспериментов
Первое наблюдение эффекта Ааро- нова–Бома в твердом теле принадлежит Д.Ю. Шарвину и Ю.В. Шарвину [17]. Для этого ими были использованы тонкие образцы в виде цилиндрических магниевых пленок толщиной 100–1000 Å, напыленных на длинную (Lz ~ 1 см) кварцевую подложку диаметром d ≈ 1 мкм. Продольное (в направлении оси Oz на рис. 28) магнитосопротивление образцов измерялось при гелиевых температурах посредством потенциометра постоянного тока.
Заметим, что геометрия этого эксперимента является фактически многокольцевой: во-первых, ввиду большой
Рис. 28. Схема экспериментов Д. Ю. и Ю. В. Шарвиных на длинных тонкопленочных проводящих цилиндрах [17]
51
толщины пленки a λF в ней открыто много квантовых каналов проводимости; во-вторых, длина цилиндра Lz Lφ , и с точки зре-
ния мезоскопики он представляет собой параллельное соединение большого числа ( Nz Lz Lφ 1) квантовых проводников, волно-
вые функции электронов в которых взаимно некогерентны. Неудивительно поэтому, что в [17] наблюдались только Ф0/2-осцилляции, что соответствует предсказаниям теории [16].
На рис. 29 приведены некорые результаты работы [17].
Рис. 29. Продольное магнитосопротивление R(H) при T = 1,1 K для двух цилиндрических магниевых пленок на кварцевой подложке длиной 1 см. Стрелками указаны значения индукции магнитного поля, соответствующие целочисленным значениям вложенного магнитного потока в цилиндрах, измеренного в единицах Ф0/2 (по данным [17])
Эксперименты на квазиодномерных кольцах [18], которые стали возможны благодаря развитию нанотехнологии в последние годы, позволили не только наблюдать Ф0-осцилляции магнитосопротивления наряду с Ф0/2-осцилляциями, но и обнаружить совершен-
но новое явление – существование универсальных (не зависящих от времени и поэтому воспроизводимых в повторных экспериментах на данном образце) флуктуаций проводимости неупорядоченных проводников в магнитном поле. Отметим, что флуктуационное поведение проводимости кольца обусловлено проникновением магнитного поля вглубь проводника (см. подробнее в гл. 7).
52
Время неупругого рассеяния электронов в золоте, из которого были изготовлены кольца, исследованные в [18], при T = 1 К составляло τε = 10–11 с; при υF = 108 cм/с
для длины неупругих столкновений |
|
получим lε = υ τε ≈ 105 Å (рис. 30). |
|
F |
|
При длине упругого рассеяния l = |
|
= υ τ ≈ 102 Å режим квантовой |
|
F |
|
диффузии реализуется в кольцах с |
|
радиусом L/2π ≤ 1,6·104 Å. |
|
На рис. 31 приведены результа- |
|
ты исследования эффекта Аароно- |
Рис. 30. Схема эксперимента [18] |
ва–Бома в квазиодномерных коль- |
по наблюдению эффекта |
цах из золота с внутренним диамет- |
Ааронова–Бома в металлах. |
ром ~ 8·103 Å и шириной ~ 400 Å. |
Внешнее магнитное поле |
|
однородно в пространстве |
Рис. 31. Эффект Ааронова–Бома в тонком кольце из золота при T = 0,01 К [18]: а – поведение магнитосопротивления кольца в зависимости от величины индукции магнитного поля (хорошо видно, как универсальные флуктуации магнитосопротивления (см. гл. 7) модулируются регулярными АБ и ААС осцилляциями); б – сглаженный по флуктуациям фурье-образ зависимости, приведенной на графике а
Зависимость магнитосопротивления R от индукции магнитного поля (рис. 31, а) имеет характер осцилляций с амплитудой ~2,5·10–3Ω, а сглаженный фурье-образ этой зависимости (рис. 31, б) имеет три характерных максимума: на нулевой частоте (1/ H = 0), соответст-
53
вующей компоненте магнитосопротивления, не зависящей от вложенного магнитного потока, и на частотах, отвечающих колебаниям R(Ф) с периодами Ф0 и Ф0/2. На вставке рис. 31, б дана фотография объекта этих измерений, полученная с помощью просвечивающего электронного микроскопа.
4.2. Незатухающие токи в кольцах нормальных металлов
Изолированные мезоскопические кольца нормальных проводников, помещенные во внешнее магнитное поле, демонстрируют весьма необычное свойство: в отсутствии дифейзинга их термоди-
намически равновесное состояние является токовым. Этот ток,
величина и направление которого определяется законом дисперсии электронов, их функцией распределения и магнитным потоком Ф, пронизывающим кольцо, не подвержен диссипативному затуха-
нию, т. е. в принципе он течет вечно.
Существование таких макроскопических состояний было предсказано еще на заре квантовой механики Хундом [19] по аналогии с незатухающими электронными токами в атомах и молекулах. Как выяснилось много позже, его гипотеза верна для многосвязных мезоскопических систем [20].
4.2.1. Незатухающие токи в идеальных кольцах нормальных металлов, простая модель
Чтобы понять, каков физический механизм возникновения незатухающих токов, рассмотрим поведение электронной подсистемы в узком квазиодномерном кольце (рис. 32, а) с хаотически распределенными статическими дефектами, концентрация которых достаточно мала, так что их потенциал V (r ) можно рассматривать
как возмущение.
Пусть длина окружности кольца L < Lφ и велика настолько, чтобы влиянием его кривизны на движение электронов в нем можно было пренебречь. В этом случае и в пренебрежение электронэлектронным взаимодействием задача сводится к решению одноэлектронного уравнения Шредингера
54
i ∂∂t ψ =
на отрезке прямой виями: ψ x=0 =ψ x=L
|
1 |
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ |
|
A |
|
+V (r ) +U (r ) |
ψ |
(4.8) |
|
|
i |
c |
|
||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ L |
с периодическими граничными усло- |
||||||||||
. |
В (4.8) |
U (r ) |
– удерживающий потенциал, |
зависящий только от положения электрона в поперечном сечении кольца; ∫ A dr =Φ.
L
Рис. 32. Узкое изолированное проводящее кольцо с примесями, пронизываемое магнитным потоком Ф (а) и периодическое распределение дефектов (б), которые «видит» электрон, движущийся в кольце
Записывая волновую функцию электрона в виде
|
|
|
ie |
r |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||
ψ(r ,t ) = ψ0 |
(r )exp |
|
Et − |
|
∫ A dr |
, |
(4.9) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
c r0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где r0 – произвольный радиус-вектор, легко убедиться, что уравнение для ψ0 (r ) не содержит векторного потенциала. Пренебрежем в
этом уравнении случайным полем примесей (ниже мы качественно учтем его влияние). Тогда переменные в нем разделяются. Полагая
далее ψ0 (r ) = ξ(r )χ(x), получим двумерное уравнение Шредин-
55
гера для поперечной части волновой функции, которая описывает размерное квантование электронных состояний в кольце и определяется только видом удерживающего потенциала, и одномерное уравнение Шредингера для свободного электрона на отрезке прямой 0 ≤ x ≤ L с граничным условием, явно содержащим вложенный магнитный поток:
χ(0) =χ(L) exp{−i2πΦ Φ0}. |
(4.10) |
Для вычисления тока в кольце нужны решения этого последнего – плоские волны
χn (x) = |
1 |
exp{ikn x}, |
(4.11) |
|
L |
||||
|
|
|
где ввиду (4.10) набор допустимых волновых чисел задан условием
|
|
2π |
Φ |
|
|
|
(4.12) |
||
kn |
= |
|
n + |
|
|
, n = 0, |
±1,±2,... |
||
L |
Φ0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому закон дисперсии продольного движения электронов в кольце имеет вид
E |
(Φ) = |
2 |
2π 2 |
n + |
Φ |
2 . |
(4.13) |
||
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
Φ0 |
|
|
||
|
|
2m |
L |
|
|
|
Размерно-квантованные энергии поперечного движения электронов {ςm } , где m – квантовые числа, дополняющие (4.13) до пол-
ного спектра, есть константы, несущественные для вычисления тока. Совокупность кривых (4.13) изображена на рис. 33, а. Из рисунка видно, что электронный спектр продольного движения элек-
тронов в кольце является периодической функцией магнитного потока с периодом, равным кванту магнитного потока.
Учет примесного потенциала приводит к снятию вырождения в точках пересечения ветвей функции Еп(Ф), отвечающих разным п, но не нарушает периодичности электронного спектра как функции Ф (см. рис. 33, б). И это отнюдь не случайность: дело в том, что электроны в кольце фактически находятся под действием периодического потенциала, что позволяет применить к описанию их состояния теорему Блоха. Чтобы это стало очевидным, достаточно разрезать кольцо в сечении x = 0, выпрямить его и повторить периодически на оси Ox (см. рис. 33, б).
56
Рис. 33. Спектр энергий продольного движения электронов в идеальном кольце как функция вложенного магнитного потока (а) и с учетом примесного потенциала (б) (хорошо видна периодичность спектра). Квантовые числа, нумерующие непрерывные ветви закона дисперсии (в) и в схеме приведенных зон (г) [20]. Цифры в скобках напоминают о происхождении ветвей спектра в «номенклатуре» зон спектра а
Поэтому свойство периодичности электронного спектра кольца в зависимости от магнитного потока является фундаментальным и не зависит от физической модели, которую мы принимаем. В частности, это означает, что все физические свойства кольца, которые определяются только его электронным спектром (например, электрический ток), также периодически зависят от Ф с тем же перио-
дом Ф0.
Образование щелей в электронном спектре идеального кольца, описываемом формулой (4.13), после «включения» примесного потенциала можно качественно трактовать как следствие периодичности V(x) на всей координатной оси. Для этого достаточно представить V(x) в виде ряда Фурье:
V (x) =V (x + L) = ∑Vn exp{i2πnxL}
n
и вспомнить, как в законе дисперсии электронов кристалла вследствие брегговского отражения на периодическом потенциале решетки возникают щели на границах зон Бриллюэна. Точно так же,
57
как в кристалле, где ширина щели определяется фурье-компонен- той кристаллического поля для соответствующего вектора обрат-
ной решетки, в нашем случае 12 ≈2 V1 , 23 ≈2 V 2 и т. д. При этом с
ростом V(х), т.е. с уменьшением длины упругих столкновений в проводнике, зоны становятся уже, а эффективная масса электронов увеличивается. И хотя эти аргументы верны только для слабого кристаллического поля и без учета кулоновского взаимодействия электронов, тенденция к локализации носителей при переходе от слабого примесного рассеяния к сильному налицо.
Периодичность электронного спектра позволяет, следуя [20], перейти при ее изображении к схеме приведенных зон (см. рис. 33, в), где пунктиром изображен закон дисперсии электронов в идеальном кольце).
Расчет полного тока Ip (Ф) в изолированном кольце при T = 0 в нашем простом приближении сводится к вычислению суммы вкладов в ток всех его Ne электронов, занимающих низшие состояния своего спектра вплоть до энергии Ферми такой системы. Электрон в состоянии n переносит ток
|
|
2π e |
|
Φ |
|
|
|
in = dQn dt = −e (L / υn ) = −eυn |
L = − |
n + |
|
, |
|||
2 |
Φ0 |
||||||
|
|
mL |
|
|
|
где υn (Φ) = |
1 |
∂En = |
2π |
|
Φ |
|
– его скорость в этом состоянии. |
|
n + |
|
|||||||
|
|
Φ0 |
||||||
|
|
∂kn |
mL |
|
|
К такому же результату (с точностью до постоянного множителя) приводит дифференцирование энергии n-го состояния электрона по магнитному потоку (см. (4.13):
∂En (Φ)∂Φ =( 2 m)kn (2πLΦ0 ) = (2π LΦ0 )υn = 1c (eL)υn .
Поэтому
I p (Φ) = −c |
∂ |
E (Φ), |
(4.14) |
|
∂Φ |
||||
|
|
|
где Е(Ф) – полная энергия электронов в магнитном поле (при T > 0 в этой формуле ее заменяет свободная энергия системы). В нашем
случае
E (Φ) = ∑En,σ (Φ)θ(EF − En,σ (Φ));
n,σ
58
здесь функция Хевисайда играет роль функции распределения электронов по энергии.
Некоторые свойства тока в кольце можно установить из общих соображений.
Заметим, например, что спектр (см. рис. 33, б) не изменяется при изменении направления магнитного поля на противоположное. Поэтому полный ток в кольце Iр (Ф) является нечетной функцией Ф (см. (4.14)). Кроме того, поскольку при значениях Ф = рФ0, где р – целое, функция Е(Ф) достигает своих минимумов, а при Ф = (р + + ½)Ф0 – своих максимумов, ток в кольце при таких значениях Ф обращается в нуль.
Наконец, при фиксированном Ф (см. рис. 33, в) производные одноэлектронных энергий по магнитному потоку растут по абсолютной величине и изменяют знак при каждом изменении квантового числа п на единицу (~ (1)n). Поэтому вклады соседних зон в (4.14) в существенной степени компенсируют друг друга, и результирующий ток в основном определяется вкладом электронов, занимающих наивысшие энергетические уровни, т.е. состояниями вблизи уровня Ферми. Соответственно, по порядку величины ток в идеальном кольце фактически переносится зарядом, равным одному электронному заряду, который движется по кольцу баллистиче-
ски, совершая полный оборот за время τ(Lb) L / υF , т. е.
I p I0 ≡ |
e |
= |
eυF |
. |
(4.15) |
L υ |
|
||||
|
|
L |
|
||
|
F |
|
|
|
|
Оценка (4.15) справедлива только для кольца без примесей. В диффузионном режиме время движения электрона по кольцу определяется иначе: τ(diff)L L2 D, где D υFl − коэффициент диффузии.
Соответственно, амплитуда тока, казалось бы, должна уменьшиться в меру множителя lL <<1, (см. [21]). Этот вывод, однако, неверен.
Найдем для наглядности ток в идеальном кольце при Ne = 10. В этом случае заняты состояния с n = 0,±1± 2 , двумя электронами
( σ= ± 1/ 2 ) каждое (на рис. 33, в обозначены квадратами). Для тока получим
I p (Φ) = −2 |
2π |
|
|
|
Φ |
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
+ |
−1+ |
|
|
+ |
|
2 |
Φ0 |
Φ0 |
|||||||||
|
mL |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
|
|
Φ |
|
|
|
Φ |
|
|
|
Φ |
|
= −2I0 |
2Φ |
|
|||
+ 1 |
+ |
|
|
+ |
−2 |
+ |
|
|
+ |
2 |
+ |
|
|
|
, |
||
Φ0 |
Φ0 |
Φ0 |
Φ0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где использовано соотношение между линейной плотностью электронов и энергией Ферми одномерного металла, справедливое при четных Ne:
EF = mυF2 2 =(π Ne )2
Видно, что амплитуда тока удовлетворяет оценке (4.15). логичный расчет при произвольных четных Ne = 2N дает:
|
|
|
|
2Φ |
|
|
|
|
|
|
|
−2I0 |
|
|
|
|
, |
−1 2 ≤ Φ Φ0 <1 2 |
|||||
|
Φ0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2Φ |
|
||
|
|
|
|
+ |
,−1 2 ≤ Φ Φ0 < 0, |
||||||
I p (Φ) = |
−I |
0 |
1 |
Φ0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2Φ |
|
||
|
|
I0 |
− |
,0 ≤ Φ Φ0 <1 2, |
|||||||
|
1 |
Φ |
|
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
для N = 2n +1,
для N = 2n ,
Ана-
(4.16)
где N имеет смысл числа полностью заполненных уровней, N = 1, 2, 3, … (рис. 34, а и б).
Рис. 34. Незатухающий ток в изолированном мезоскопическом кольце без примесей в зависимости от вложенного магнитного потока в пределах одного периода
60