Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

друдевская проводимость трехмерной системы σD дается формулой (1.3), b – толщина пленки при d = 2 или диаметр проволоки при d = 1 (см. ниже). В качестве нижнего предела в (6.13) взято время τ, поскольку диффузия начинается только на временах, бóльших времени между столкновениями; верхний предел, естественно, есть время сбоя фазы – на бóльших временах нет квантовой интерференции. Выполняя интегрирование в (6.13), получим:

В (6.14) длина сбоя фазы Lφ = Dτφ ≈ l τφ τ >> 1 и зависит от температуры степенным образом: Lφ T − p/2 , p > 0. Мы видим, что

при любой размерности образца δσ < 0 и с уменьшением температуры растет по абсолютной величине, т.е. сопротивление системы при Т → 0 увеличивается. И хотя квантовые поправки (6.14) малы по параметру λF l <<1, с уменьшением (эффективной, см.

ниже) размерности системы их роль возрастает: если при d = 3 предел проводимости при Т → 0 конечен, то при d = 2 в этом пределе δσ расходится логарифмически, а при d = 1 – расходится степенным образом.

В силу (6.14) для абсолютной величины проводимости можно написать:

На рис. 64 показана зависимость сопротивления от температуры для тонкой пленки неупорядоченного сплава AuPd, [45], которая подтверждает результат (6.15) для d = 2.

102

где Φ = BS – магнитный поток, пронизывающий петлю, S – проекция площади петли на плоскость, перпендикулярную направле-

нию индукции магнитного поля B. Мы видим, что в магнитном поле между вкладами парных траекторий появляется разность фаз

Если движение электронов ограничено тонкой пленкой на поверхности цилиндра (см. рис. 28), мы возвращаемся к ААСосцилляциям магнитосопротивления с периодом Ф0/2 (см. п. 4.1). В массивном проводнике ситуация иная: площадь петли, описы-

и поскольку у всех диффузионных траекторий электронов площади петель S разные, магнитное поле уменьшает интерференционную добавку к вероятности самопересечения электронных траекторий, т.е. способствует проводимости.

Отметим, что изменение фазы волновых функций, (6.16), – не единственный результат действия магнитного поля: направление силы Лоренца для каждой пары когерентных траекторий взаимно противоположно, и поэтому при каждом столкновении с примесью углы рассеяния электронов отличаются на величину порядка

δθB = lRB = ωB τ,

104

где RB – циклотронный радиус, ωB – циклоторонная частота. Предполагая, что δθB << 1, мы пренебрежем этим эффектом.

Интерференция начинает разрушаться при таком значении индукции магнитноого поля B = Bφ, что при t = τφ в (6.18) Δϕ 1. Отсюда

Легко убедиться, что при B = Bφ условие δθB << 1, которое позволяет пренебречь силой Лоренца, действительно выполняется.

Если индукция магнитного поля больше величины, определяемой (6.19), условие Δϕ ≥ 1 начинает выполняться при длительностях замкнутых траекторий, меньших времени когерентности. Соответствующий временной интервал называется магнитным вре-

а среднее расстояние, на которое сместится диффундирующий электрон за магнитное время, называется магнитной длиной:

В области достаточно сильных магнитных полей – таких, что τB << τφ - магнитное поле становится определяющим фактором

дифейзинга, и в оценке (6.13) следует заменить верхний предел с τφ на τB; тогда

Этот результат многократно подтвержден экспериментально. На рис. 65 приведены данные работы [46], где была исследована зависимость сопротивления пленок Mg от магнитного поля при различных температурах образцов.

105

дифференцируем обе части (6.23) по параметру α и затем устремим его к нулю. Получим:

d ln g (L) =β(g (L)). (6.24) d ln L

Здесь β – так называемая скейлинговая функция, которая согласно исходному предположению является универсальной, т.е. не зависит от материальных параметров системы, но чувствительна к ее глобальным симметриям (например, к инвариантности по отношению к обращению времени). Ее смысл особенно ясен в случае, когда кондактанс системы зависит от ее размера степенным обра-

зом: g(L) = const Lζ ; из (6.24) следует, что тогда функция β есть

показатель степени в этой зависимости: β = ζ.

Вид скейлинговой функции не может быть определен при помощи масштабных преобразований; однако нетрудно найти ее асимптоты при очень больших и очень малых значениях кондактанса.

В самом деле:

а) при больших g система имеет металлическую проводимость, которая описывается классической формулой Друде:

где, напомним, σD = ne2l kF – классическая проводимость. Под-

Учет квантовых поправок к проводимости (6.15) позволяет распространить эту формулу на область слабой локализации и получить:

где Сd > 0 – безразмерная постоянная, зависящая от эффективной размерности образца. Для этого следует:

- учесть, что при Т = 0 вклад неупругих столкновений электронов в длину когерентности обращается в нуль и, предполагая, что в этом случае сбой фазы электронных волновых функций обусловлен

107

рассеянием электронов на поверхности образца, подставить в (6.15) вместо Lφ размер образца L;

- для каждого значения d выразить полученные поправки к кондактансу в терминах самого кондактанса (см. подробности в [37]); б) разумно предположить, что при малых g система любой размерности находится в режиме сильной локализации, а ее кондактанс

экспоненциально убывает с ростом линейного размера образца:

где g0 e2 – константа.

Используя асимптоты (6.27), (6.28) и предполагая, что функция β непрерывна и монотонна, можно построить ее график, например, в зависимости от lng (рис. 66). Как видно из рисунка, поведение скейлинговой функции β существенным образом определяется эффективной размерностью системы.

В частности, при d = 3 существует система с таким значением g = = gc 1, для которой β = 0. Физические параметры этой системы таковы, что ее кондактанс не изменяется при изменении размеров об-

разца, что соответствует точке фазового перехода металл–изолятор, имеющего место в системе при изменении степени беспорядка – так называемого перехода Андерсона (в отличие от перехода Мотта, обусловленного межэлектронным взаимодействием). В терминологии теории скейлинга точка g = gc классифицируется как не-

устойчивая фиксированная точка. Дело в том, что при переходе через эту точку характер зависимости кондактанса трехмерной системы от ее размера претерпевает драматическое изменение:

1) при как следует из рис. 66, скейлинговая функция

β < 0, и кондактанс образцов падает с ростом их размера (что соответствует локализации электронных волновых функций и не-

108

металлическому типу проводимости), т.е. система уходит от точки g = gc в область меньших g;

2) при g > gc функция β > 0, и при увеличении размеров системы ее кондактанс растет (и она, таким образом, уходит от точки g = gc в область бòльших g), т.е. волновые функции электронов в ней делокализованы, а тип ее проводимости – металический.

При d ≤ 2 согласно рис. 66 все одноэлектронные состояния в системе при сколь угодно малой степени беспорядка должны быть локализованы, т.е. если гипотеза однопараметрического скейлинга применима к реальным системам, одно- и двумерные «металлы» настоящими металлами не являются.

Хотя строгость рассуждений [47] нельзя назвать безупречной, эксперимент до недавнего времени не давал оснований сомневаться в справедливости скейлинговой гипотезы локализации. Однако последние исследования низкотемпературной проводимости 2DEG

вкремниевых МОП-транзисторах на эффекте поля (Si MOSFETs)

[48]и позже – двумерного дырочного газа в GaAs p-типа [49] позволили обнаружить явление, которое до настоящего момента называется в литературе «возможным переходом металлизолятор в

2DEG».

Эксперименты [48, 49] имеют общую особенность: степень упорядоченности полупроводниковых материалов, которые применялись для реализации 2DEG, и качество поверхностей раздела пленок с разным типом проводимости были в них рекордно высокими, что позволило выполнить измерения сопротивления 2DEG при значительно более низких плотностях носителей заряда, чем это было возможно ранее.

Как показали последующие оценки, плотности электронов (и дырок), созданные в этих установках, соответствуют режиму, в котором энергия кулоновского взаимодействия между носителями в десятки раз превышает фермиевскую энергию полупроводника, (которая, грубо говоря, имеет порядок их кинетической энергии).

Например, при плотности электронов ns =1011 см−2 в кремниевом МОП-транзисторе на эффекте поля энергия кулоновского отталки-

109

вания электронов Uc e2 (πns )12 ε 10 мэВ, тогда как энергия Ферми в кремнии EF = πns 2 2m 0,55 мэВ. Последнее означает,

что кулоновское отталкивание электронов в таких системах является доминирующим взаимодействием, а вовсе не малым возмущением.

На рис. 67, а приведена зонная диаграмма кремниевого полевого МОП-транзистора, представляющего собой металлический электрод в виде тонкой алюминиевой пленки, напыленной на слой окисла SiO2, находящийся на поверхности слаболегированного кремния p-типа, который служит источником электронов. При достаточно большой разности потенциалов Vg, управляющей изгибом зон в полупроводнике, вблизи его поверхности возникает одномерная потенциальная яма, которая удерживает электроны в двумерном слое, ориентированном перпендикулярно плоскости рисунка. На рис. 67, б показан основной результат работы [48] – температурная зависимость удельного сопротивления 2DEG c очень высокой подвижностью электронов (т. е. с очень малой концентрацией атомов примести) для различных плотностей электронов.

Рис. 67. Зонная диаграмма кремниевого полевого МОП-транзистора (а) и удельное сопротивление 2DEG в кремниевом полевом транзисторе как функция абсолютной температуры для различных плотностей электронов (б)

110