Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Мы использовали выражение для плотности состояний одномерной системы: ν = 2(π υ) . Наконец, в силу (3.1) при d = 1 полу-

чим для кондактанса квантового резистора: G = (2e2 h)[TR].

Простота метода Ландауэра основана на физически ясном свойстве собственных состояний сплошного спектра стационарного уравнения Шредингера с потенциалом, область изменения кото-

рого сосредоточена в ограниченной области пространства – так называемых состояний рассеяния. А именно: вдали от области изменения потенциала они представляют собой плоские волны, которые могут быть выражены в терминах матрицы раcсеяния – S- матрицы. Другими словами, волновые функции стационарных состояний электронов, которые отвечают за перенос заряда в системе,

независимо от конкретного вида потенциала имеют универ-

сальный вид, а всю информацию о рассеивателе несет только S- матрица. При этом барьером может быть любой объект, питаемый идеальными одномерными проводами – будь то неупорядоченная область или цепочка неупорядоченных областей.

В случае двух контактов есть всего два типа состояний рассеяния: волны, набегающие на область рассеяния «слева» (ψL) и волны, набегающие на эту область «справа» (ψR). Далеко слева от области рассеяния состояния ψL есть простая суперпозиция двух плоских волн равной энергии (которая определяется распределением потенциала в системе) – падающей и отраженной, далеко справа – одна прошедшая волна. Амплитуды отраженных и прошедших волн состояний рассеяния являются матричными элементами S- матрицы, которая связывает волны, падающие на область рассеяния слева (ψi ) и справа (ψi ) (называемые начальными состояния-

ми рассеяния) с рассеянными волнами (т.е. – с конечными («финальными») состояниями рассеяния) (ψSc и ψSc ) :

31

туты прохождения и отражения волны, набегающей на область рассеяния слева (справа).

Из закона сохранения числа частиц следует унитарность S- матрицы: SS† =1 , а из симметрии по отношению к обращению времени – что S = ST (при наличии магнитного поля H инверсия

Вероятности прохождения, T = t 2 = t′ 2 , и отражения, R = r 2 =

= r′2 , очевидно, так же взаимосвязаны: T + R =1 .

Формулы Ландауэра верны, если только разность потенциалов между резервуарами мала, и допускают обобщение на случай проводника с произвольным числом каналов, распределенных по любому количеству контактов (на рис. 21 контактов два, входящих и исходящих каналов N).

Рис. 21. К многоканальному обобщению формулы Ландауэра

При этом амплитуды t, t′, r и r′ становятся матрицами размерности N×N: если индексы {i, j} нумеруют квантовые каналы проводимости, элемент tij становится амплитудой вероятности прохо-

32

ждения из j-го входящего канала в i-й исходящий, элемент rij – амплитудой вероятности отражения из j-го входящего канала в i-й исходящий канал. Тогда полная вероятность Ti прохождения в i-й

где G0 = 2e2h – квант кондактанса. Подробности можно найти, например, в [9] и приложении 2.

3.5. Простые применения формализма Ландауэра

Для того чтобы продемонстрировать предсказательную силу метода Ландауэра, проанализируем с его помощью несколько относительно простых физических ситуаций, описание которых понадобится нам в дальнейшем.

3.5.1. Последовательное соединение квантовых резисторов: резонансное туннелирование

Рассмотрим две неупорядоченные области, соединенные последовательно при помощи идеального одномерного проводника длины L (рис. 22, а), который моделирует квантовую точку в электрической цепи (рис. 22, б). Будем считать емкость этой квантовой точки достаточно большой, такой, что зарядовыми эффектами в системе можно пренебречь (условия, когда это допустимо, и противоположная ситуация рассмотрены в гл. 5).

Пусть амплитуда волны, падающей на систему слева, равна единице, A и D – амплитуды отраженной и прошедшей волн,

φ= 2k(E)L – набег фазы волны на длине идеального проводника, B

иC – амплитуды волн, соответственно прошедшей через левый резистор и отраженной от правого резистора (в точке ее падения на левый резистор).

Из условий сшивки волновых функций получим:

33

22) превосходит произведение прозрачностей одиночных барьеров: T >T1T2 , а в случае T1 =T2 даже обращается в единицу: Т = 1, если

энергии туннелирующих электронов равны энергиям квазидискретных электронных состояний в области между первым и вторым барьерами. Это явление, называемое резонансным туннелированием, возможно при условии сохранения фазовой когерентности в течение всего процесса прохождения электрона через туннельный переход, т.е. в ситуации, когда у системы существуют одноэлектронные собственные состояния, имеющие структуру состояний рассеяния. В этом случае рассматриваемая туннельная структура имеет полный оптический аналог – интерферометр Фабри–Перо. Линия резонанса, как известно, имеет форму лоренциана с характерной шириной Γ = Γ1 +Γ2 , где

есть частота ухода электронов/фотонов сквозь i-й барьер. В (3.15)

υ– скорость электрона.

Всамом деле, вблизи резонанса θ(E) = 2πn + δθ(E), δθ << π,

иможно написать:

cosθ(E) ≈1−(12)(δθ)2 =1−(12)(∂θ∂E ) 2E =E(r) (E − E(r ) )2 ,

где E(r ) – энергия одного из квазидискретных состояний:

θ(E(r) ) = 2πn, n = 0,±1,...

Соответственно, для прозрачности системы получим:

тим, что основной вклад в набег фазы дает баллистическое движение электрона в промежутке между барьерами. Тогда

35

иное, как частота ухода электронов сквозь i-й барьер, см. (3.15). Таким образом, естественная ширина резонансной линии суть

обратное время жизни квазидискретного состояния электрона в квантовой точке, имеющего соответствующую энергию.

Пики резонансного туннелирования могут быть обнаружены в эксперименте только в том случае, если их ширина меньше расстояния между ними, т.е. при γ < δ. Последнее возможно, если про-

зрачность каждого из барьеров достаточно мала.

Если падение напряжения на системе достаточно велико (рис. 23), в ее вольт-амперной характеристике (ВАХ) возникают участки с отрицательным дифференциальным сопротивлением, dIdV < 0 ,

что позволяет использовать явление резонансного туннелирования для создания генераторов в электрических цепях. Кроме того, если контролировать потенциал области между барьерами при помощи дополнительного электрода, система приобретает свойства транзистора (см. гл. 5).

Рис. 23. Возникновение участков с отрицательным дифференциальным сопротивлением в резонансных туннельных структурах

Промышленные транзисторы на эффекте резонансного туннелирования устроены много сложнее, чем рассмотренная выше принципиальная схема. Эскиз реального устройства такого типа, в котором резонансное туннелирование происходит через локализованные электронные состояния в барьере, дан на рис. 24.

36

где gOhm−1 – предсказание закона Ома. Видно, что последний выполняется лишь в предельном случае барьеров высокой прозрачности, т. е. при R1,2 1.

Применим этот результат для вычисления среднего сопротивления ансамбля цепочек из n тождественных квантовых резисторов с очень маленьким коэффициентом отражения R << 1. Ясно, что при увеличении числа звеньев полный коэффициент отражения всей цепочки сначала растет линейно с ростом числа звеньев n, приближаясь к единице. Однако Rn не может стать больше единицы; поэтому при достаточно большом числе звеньев поведение среднего сопротивления цепи изменяется. Чтобы понять, как именно, добавим к такой цепи еще одно звено. Получим:

Мы видим, что безразмерное сопротивление цепочки выросло на величину R/Tn > R. При больших п >> 1 можно считать число звеньев непрерывной переменной: dn = 1 << n. И написать:

Интегрируя это уравнение и записывая n = L/L0, где L – длина всей цепочки, L0 – длина одного звена, мы видим, что

т.е. сопротивление одномерной цепи экспоненциально растет с увеличением ее длины. Это фактически означает, что все элек-

тронные состояния в сколь угодно слабо неидеальном и доста-

точно протяженном 1D-проводнике локализованы.

Как показано в [11], ландауэровский анализ 1D-локализации нельзя признать вполне строгим потому, что сопротивление цепочки не является подходящим объектом для усреднения при больших n. Более корректным в этом предельном случае оказывается усред-

38

нение величины ln(1 + g−1 ) . В самом деле, как мы уже видели, 1+ gn−1 =1+ Rn Tn =1Tn , так что ln(1 + gn−1 ) = −lnTn n – именно эта величина при больших п линейно растет с ростом длины цепочки. Впрочем, физический результат при этом не изменяется.

Явление локализации волновых функций электронов в пространстве при T = 0, которое обусловлено влиянием беспорядка (а не взаимодействием электронов друг с другом) называется в литературе переходом Андерсона (см. также гл. 6). Разумеется, подобная картина является пусть и полезной, но все же идеализацией, поскольку «выключить» кулоновское взаимодействие в реальной электронной системе невозможно в принципе.

3.5.3. Последовательное соединение квантовых резисторов: последовательное туннелирование

Если барьеры на рис. 22 высокие и/или широкие, частоты ухода электронов из области между ними очень малы, так что характерное время

которое электрон проводит в квантовой точке, может быть очень большим. Если при этом оно превосходит время дифейзинга элек-

тронов в квантовой точке: τD > τφ , резонансное туннелирование в

системе более невозможно. Соответствующий режим ее проводимости называется режимом последовательного туннелирования, поскольку следующие три события:

1)туннельный переход электрона из левого берега в квантовую точку;

2)разрушение фазовой когерентности состояния электрона в объеме квантовой точки;

3)туннельный переход электрона из квантовой точки в правый берег – могут быть упорядочены во времени, и когерентных состояний рассеяния электронов, простирающихся от левого берега системы до ее правого берега, больше не существует. Тем не менее, энергетический спектр электронов в квантовой точке еще можно наблюдать, если только выполняется условие

39