Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

механический резонатор ведет себя как набор нескольких невзаимодействующих между собой затухающих гармонических осцилляторов.Измерения [59] показывают, что в условиях высокого вакуума добротности нисших мод механических резонаторов c линейными размерами 10–6–10–9 м очень велики – они лежат в интервале 103–105 (причем Q убывает с ростом отношения площади поверхности резонатора к его объему), что значительно больше, чем в электрических резонансных цепях. Этот фактор, а также очень малая масса подвижных элементов и высокая прочность конструкции делают NEMS весьма привлекательными для практических применений, таких, как сверхбыстродействующие детекторы, приводы (исполнительные механизмы), компоненты систем анализа сигналов. В области фундаментальных исследований с развитием технологии NEMS связываются надежды на прорыв в изучении роли фононов в механических процессах и особенностей квантового поведения мезоскопических механических систем.

Ясно, что квантовое поведение механического резонатора имеет место только при условии, что

где νт – линейная частота наинисшего собственного колебания ре-

зонатора. При Т 30 мК получим, что νт ≥ 600 МГц, т.е. лежит в радиочастотном диапазоне. Например, для кантилевера длины lc и сечением в форме квадрата со стороной tc, изготовленного из материала с модулем Юнга Е и плотностью массы ρ, для частоты νт согласно [60, с. 141] можно записать:

= 1 мкм, tс = 0,1 мкм получим νт 130 МГц – это слишком мало,

чтобы удовлетворить условию (8.1), и означает, что при Т 30 мК характерный размер механического резонатора должен иметь порядок долей микрона.

Еще один масштаб, определяющий поведение квантовых электромеханических систем, есть квантовая неопределенность xzp

121

координаты осциллятора при нулевом смещении; можно показать, что для кантилевера

зывает опыт, чувствительность SET позволяет регистрировать даже такие ничтожные смещения.

На рис. 71 приведена микрофотография одного из первых рукотворных радиочастотных механических резонаторов, который позволил доказать возможность возбуждения и детектирования механических смещений с частотами порядка частоты его собственных изгибных колебаний – монокристаллической кремниевой балки размерами 7,7×0,33×0,8 мкм3 и собственной частотой 70,72 МГц [61].

Рис. 71. Микрофотография радиочастотного механического резонатора на основе балки из монокристаллла кремния. Получена в работе [60] посредством сканирующего электронного микроскопа (СЭМ)

Как видно из (8.2), частота собственных изгибных колебаний кантилевера зависит от модуля Юнга материала резонатора и его

плотности как Eρ, а неопределенность положения при нулевом

смещении – как (Eρ)−14 (см. (8.3)). Поэтому квантовый режим по-

ведения проще реализовать, выбирая для механического резонатора материалы, которые имеют высокую прочность при минимальной плотности. Например, алмаз, карбид кремния SiC, нитриды

122

кремния и алюминия SiN и AlN более предпочтительны в этом отношении, чем Si и GaAs. Нитрид алюминия, кроме того, является пьезоэлектриком, что упрощает возбуждение и регистрацию механических колебаний в системе.

На рис. 72 показана сделанная посредством СЭМ микрофотография представителя другого типа наноэлектромеханических систем – одноэлектронного шаттла [62]. Принцип его действия состоит в переносе электронов с одного из электродов системы, называемого источником S (Source), на другой ее электрод D (сток, или Drain) через малый металлический островок, находящийся на острие кантилевера С, при возбуждении одной из нисших собственных мод механических колебаний кантилевера. Собственные колебания кантилевера возбуждаются при подаче переменного напряжения на электроды G1 и G2.

Рис. 72. Микрофотография механического одноэлектронного шаттла [62]

Рис. 73, a иллюстрирует принцип действия детектора смещений на одноэлектронном транзисторе, реализованного в работе [63]. На рис. 73, б показана сделанная посредством СЭМ микрофотография системы, состоящей из одноэлектронного транзистора (SET) и подвешенной кристаллической балки, закрепленной в двух крайних точках, [63]. Подложка и балка изготовлены из GaAs (на снимке даны в темных тонах), SET и электроды, управляющие балкой,

123

сделаны из алюминия (более светлые области снимка). Туннельные барьеры образованы окисью алюминия; балка расположена на расстоянии 0,25 мкм от электрода IG , который служит для создания электростатической связи между островком и балкой. По данным измерений [63] собственная частота изгибных колебаний балки в плоскости системы составляла 116 МГц.

Рис. 73. Схема действия детектора пространственных смещений на одноэлектронном транзисторе (а) и микрофотография системы (б)

Здесь источник S и сток D электронов выполнены в виде алюминиевых электродов, изолированных от проводящего островка I слоями окисла. Однако толщина слоев окисла мала, и электроны могут туннелировать из источника на островок и затем – с островка на сток. Этот туннельный ток затем усиливается и измеряется. Туннелирование электрона, например, с островка на сток возможно, если разница между полной работой сторонних сил в источниках напряжения – между электродами S и D и управляющими электродами – и энергией заряжения, которая запасается электрическим полем при перераспределении зарядов в системе, положительна. Поэтому если разность потенциалов между S и D достаточно мала, электроны туннелируют на островок и с островка строго по одному (отсюда – термин «одноэлектронный»); при этом полный ток между источником (эмиттером) и стоком (коллектором) очень чувствителен к потенциалу управляющего электрода (базы) (поэтому – «транзистор»).

124

8.2. Углеродная нанотрубка как наноэлектромеханическая система

Рассмотрим более подробно физическую модель одноэлектронного транзистора, у которого роль металлического островка выполняяет закрепленная в двух крайних точках углеродная нанотрубка (рис. 74). Нанотрубка подвешена в двух крайних точках и связана с управляющим

электродом G емкостной связью. Между нанотрубкой и металлическими электродами L и R существует туннельная проводимость. Потенциал левого электрода V, правый заземлен.

Пусть емкость одностенной углеродной нанотрубки на рис. 74 мала, так что эффекты кулоновской блокады существенны при переносе заряда в этой системе. Следуя [64], убедимся в том, что изменение напряжения VG на управляющем электроде изменяет распределение механического напряжения в нанотрубке, что приводит не только к изменению ее равновестной формы, но и к модификации ее механических и электрических свойств.

8.2.1. Равновесная форма нанотрубки

Допустим, что нанотрубка представляет собой брус в форме прямого кругового цилиндра длины L и радиусом основания r, свободно подвешенный вдоль оси Ох между двумя электродами L и R вблизи управляющего электрода G. Электростатическое взаимодействие трубки с этим последним приводит к ее изгибу; если z(x), 0 < x < L, – отклонение формы деформированной трубки от

прямолинейной, для ее упругой энергии можно написать, [60]:

где I = πr4 4 – момент инерции цилиндра относительно его продольной оси, S = πr2 – площадь его поперечного сечения. Здесь

125

первое слагаемое – энергия ненапряженного изогнутого бруса, два других суть вклад энергии деформации, обусловленный действием механического напряжения Т0 + Т, где Т0 – остаточное напряжение, которое могло возникнуть, например, в процессе роста трубки, Т – напряжение, связанное с удлинением трубки под действием кулоновских сил со стороны управляющего электрода:

Приближенно считая управляющий электрод бесконечной плоскостью, расположенной на расстоянии R от нанотрубки, для емкости на единицу ее длины с(z) (см. рис. 74) имеем

где разложение в ряд Тейлора верно при условии z << R. В этом случае силами Ван-дер-Ваальса между нанотрубкой и подложкой можно пренебречь. Выражение для электростатической энергии системы довольно громоздко. Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда емкости потенциальных барьеров CL и CR, соединяющих нанотрубку с левым и правым электродами, пренебрежимо малы (более общая ситуация рассмотрена в [64]).). Полагая также Т0 = 0, получим для WQ:

где VG – потенциал управляющего электрода (потенциал V источника (электрода L) в рассматриваемом приближении не входит в выражение для электростатической энергии, а потенциал стока (электрода R) выбран за начало отсчета), пе – избыточный (квантованный) заряд нанотрубки. В предположении, что заряд распределен по поверхности нанотрубки равномерно, для ее емкости относительно электрода G можно написать:

126

Варьируя функционал полной энергии системы

относительно функции z(x) при постоянном числе избыточных электронов на трубке, получим уравнение для формы нанотрубки, [60]:

где K0 – кулоновская сила, действующая на единицу длины нанотрубки (при z/R << 1 ее можно приближенно считать постоянной). Предполагая, что напряжение T есть константа (мы определим ее позже из условия самосогласования (8.5)), нетрудно найти решение уравнения (8.9) с понятными граничными условиями (z(0) = z(L) = 0, z′(0) = z′(L) = 0):

Подставляя (8.10) в (8.5), найдем связь между напряжением Т в нанотрубке и линейной плотностью внешней силы K0. Эту связь легко получить в двух наиболее интересных предельных случаях:

r < z << R, L. Для каждого их двух этих режимов можно определить также смещение нанотрубки в ее средней точке – величину

127

Для одностенной нанотрубки с r = 0,65 нм, Е = 1,25 ТПа, L = = 500 нм, R = 100 нм (назовем ее Е-нанотрубкой) кроссовер –

изгиба максимальное отклонение формы Е-нанотрубки от прямолинейной составляет znmax = 0,24n23 (нм). Заметим, что этот режим

недостижим ни в одном из существующих субмикронных устройств на основе кремния: все они функционируют только в режиме малого изгиба.

8.2.2. Равновесный заряд нанотрубки

Результатов, полученных выше, недостаточно для сравнения с экспериментом – необходимо установить соотношение между количеством избыточных электронов на трубке и напряжением на управляющем электроде VG. Для этого следует минимизировать

шению к параметру n. В обоих рассмотренных выше предельных случаях мы можем выписать функцию Wneq в явном виде:

Два первых слагаемых в (8.13) отвечают электростатической энергии неизогнутой трубки, а третье слагаемое есть вклад механических степеней свободы – напряжения, изгиба и изменения емкости CG при изгибе трубки. Как правило, это нелинейное наномеханическое слагаемое мало по сравнению с остальными: в Е- нанотрубке оно достигает того же порядка величины, что и вклад от Wst, лишь при п ≈ 3000, когда приближение (8.6) уже неверно. Отрицательный знак наномеханического слагаемого легко объясним: трубка подвижна, и минимум энергии системы при изменении напряжения VG достигается не только за счет изменения заряда трубки, но и посредством изменения ее формы.

128

Из (8.13) для величины п, минимизирующей энергию, получим

ния в круглых скобках, а δ п – малая поправка, которая в режиме большого изгиба ведет себя как VG53.

На рис. 75 показана зависимость смещения средней точки Е- нанотрубки от напряжения на управляющем электроде VG при r =

чета работы [64]). Видно, что при изменении VG поперечное смещение нанотрубки zmax изменяется ступенчатым образом.

Рис. 75. Зависимость смещения средней точки Е-нанотрубки от напряжения на управляющем электроде. Пунктирная кривая получена без учета кулоновских эффектов и влияния механического напряжения.

8.2.3. Собственные частоты механических колебаний нанотрубки

Спектр собственных механических колебаний – важная характеристика системы, которая поддается непосредственному измерению в эксперименте. Как увидим из дальнейшего, кулоновское взаимодействие в рассматриваемой NEMS сильно влияет на упругие свойства входящей в ее состав нанотрубки – настолько сильно, что качественно изменяет ее поведение.

Для того чтобы найти спектр собственных колебаний нанотрубки, можно добавить к постоянному напряжению управляющего

129

электрода малое возмущение, периодически изменяющееся во времени. Теперь поперечное смещение произвольной точки нанотрубки зависит не только от ее продольной координаты, но и от време-

ни, z = z (x,t), поэтому в левой части уравнения (8.9) появляется внешняя сила (−ρS z ), где ρ – объемная плотность трубки, ρ = 1,35

г/см3. Понятно, что по-прежнему форма нанотрубки в основном определяется большой и постоянной во времени компонентой управляющего напряжения и в среднем по времени описывается решением (8.10) статического уравнения (8.9), в котором напряжение Т – по-прежнему константа (8.11), которая определяется из условия самосогласования (8.5). Другими словами, именно большая постоянная составляющая VG определяет величину механического напряжения в нанотрубке.

Уравнение для малого возмущения поперечного отклонения, δz (x,t ), которое развивается на фоне большого статического сме-

щения (8.10), с учетом сказанного имеет следующий вид

а частоты поперечных собственных мод нанотрубки в системе определяются из требования, что это уравнение с граничными условиями δz (0) = δz (L) = 0, δz′(0) = δz′(L) = 0 имеет нетривиальное

решение. В итоге получаем уравнение для собственной частоты:

а параметр ξ определен в (8.10). По причинам, которые мы обсудили ранее, в задачах наноэлектромеханики наиболее интересна так

называемая фундаментальная (наинисшая) собственная мода ω0. В двух предельных случаях, рассмотренных выше, решения уравнения (8.16) для этой моды таковы:

130