Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Следует отметить, что ни одном из экспериментов, выполненных к настоящему времени, фундаментальный предел чувствительности NEMS-детектора массы не достигнут, а доминирующим источником шума во всех его реализациях являются внешние по отношению к NEMS-процессы в усилителе электроизмерительной цепи системы. Однако если эти внешние шумы все же удастся уменьшить, NEMS-детекторы позволят осуществить измерения массы с точностью до атомной единицы массы – к такому выводу, во всяком случае, нас приводят оценки фундаментального предела чувствительности этого класса устройств, [68].

8.3.2. Сверхчувствительный NEMS-детектор массы: эксперимент

В качестве яркого примера практического применения наноэлектромеханических систем рассмотрим здесь высокочастотный инерциальный NEMS-детектор массы с чувствительностью 20 зг1, что эквивалентно массе 90 атомов ксенона или массе отдельной молекулы в 12 кДа [70].

На рис. 79 дана схема эксперимента работы [70].

Рис. 79. Принципиальная схема эксперимента по инерционному детектированию массы при помощи NEMS-резонатора [70]

Устройство смонтировано в криогенной сверхвысоковакуумной камере с остаточным давлением ниже 10–10 торр. Газовая форсунка, расположенная на выходе резервуара с ксеноном или азотом, в сочетании с механическим затвором позволяет осуществлять контролируемую импульсную доставку атомов газа на поверхность NEMS-резонатора. Форсунка снабжена распылителем с диаметром выходного отверстия 100 мкм, который поддерживается при тем-

1 Зептограмм (zeptogram): 1 зг = 10–21 г – единица массы в системе СИ.

141

пературе 200 К для предотвращения конденсации газа, и отделена от основного резервуара газа буферным сосудом небольшого объема Vс 100 см–3, температура которого стабилизирована при Тс = = 300 К.

пропорциональна полной скорости доставки адсорбата от форсунки к поверхности NEMS-сенсора, т.е. числу падающих на резонатор атомов или молекул адсорбата в единицу времени. Для полного потока молекул газа, исходящего из форсунки, можно

от отверстия до сенсора).

В (8.31) предполагается, что молекулы газа, падающие на поверхность сенсора, адсорбируются ею с вероятностью единица, а множитель 1/π возник потому, что распылитель считается ламбертовским источником частиц.

На рис. 80 показан график зависимости прироста массы резонатора от времени, полученный в реальном времени при импульсной доставке молекул азота при температуре T = 37 К. Затвор открыва-

L = 2,37 см, АD = 3,45 10-13 м2, скорость адсорбции ∂MD ∂t составила 20,5 зг/с. NEMS-резонатор, изготовленный из карбида кремния, имел фундаментальную частоту ω0 = 190 МГц, габариты: L = = 2,3 мм, w = 150 нм, t = 100 нм, а его добротность Q в рабочем диапазоне температур была порядка 5000.

142

ную частоту резонатора до 1 ГГц, добротность до 104, уменьшить его эффективную массу до 1 10–16 г, чтобы, используя существующую систему считывания с динамическим диапазоном 80 дБ, создать NEMS-детектор массы с чувствительностью порядка одной атомной единицы массы.

9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По разным причинам многие очень важные и в различной степени разработанные разделы физики мезоскопических систем не нашли отражения в настоящем издании. Например, мы не сказали ни слова об акустических, оптических и магнитных свойствах мезоскопических систем, о квантовом эффекте Холла, мезоскопических сверхпроводниках и гранулированных проводниках, о переходе Мотта, свойствах сильно локализованных систем и теории перколяции, о молекулярной электронике, спинтронике и физических основах квантового компьютинга, о методах создания наноструктур и способах измерения их физических свойств. Понятно, что с каждым днем этот список только растет. А те вопросы, которые мы обсудили были по необходимости рассмотрены на уровне качественных рассуждений, а не строгого расчета.

Тем не менее, мы надеемся, что наши усилия будут в какой-то мере полезны тем, кто только начинает изучать мезоскопику. Потому что нашей основной задачей было показать, что они не будут разочарованы: ведь главные события в этой науке еще впереди.

143

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Электронные свойства 2DEG в инверсионных слоях Si и в гетероструктурах GaAs-AlGaAs [2]

144

Окончание прил. 11

1 Например, для расчета длины когерентности следует число из соответствующего столбца таблицы умножить на величину абсолютной температуры системы в системе «СИ», а для вычисления циклотронного радиуса необходимо число из соответствующего столбца таблицы разделить на величину индукции магнитного поля, измеренную в Тесла; ответ в обоих случаях получится в нанометрах.

145

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Вывод формулы Ландауэра

втеории линейного отклика

Вгл. 1 был дан простой вывод формулы Ландауэра для кондактанса квазиодномерного проводника в двухтерминальной геометрии (см. рис. 16, 18). Здесь, следуя [71], мы получим аналогичное соотношение более строго и в более общем случае, когда неупорядоченная область соединяет произвольное число N идеальных полуограниченных проводников (как, например, на рис. П1, где N = 4).

Рис. П1. Четырехконтактная мезоскопическая система с идеальными проводниками 1,…, 4. Рассеяние электронов происходит только в неупорядоченной области (заштрихована).

Cn – сечение nго проводника, yn – координаты точек в этом сечении, xn – координата вдоль нормали к поверхности Cn, внешней по отношению к неупорядоченной области

Для этого сначала воспользуемся стандартной процедурой теории линейного отклика и выведем формулу Кубо (т.е. – соотношение Кубо–Гринвуда для системы невзаимодействующих электронов) для локального тензора проводимости σˆ (r , r′) – тензора, ко-

торый связывает плотность тока в системе j(r) с локальным зна-

чением вектора напряженности электрического поля E(r) :

личину, которая связывает усредненную по пространственным пе-

ной в пространстве напряженностью электрического поля, которую

146

в задаче о статической проводимости можно считать константой. Соответственно,

Это определение понадобится нам в дальнейшем.

Важно подчеркнуть, что перенос заряда в мезоскопических системах является фазовокогерентным на расстояниях порядка длины дифейзинга Lφ l, которая сравнима с размерами всей системы:

Lφ L ; естественно, что именно масштаб Lφ определяет размер области нелокальности функции σˆ (r , r′) в соотношении (П2.1). Однако на практике тензор σˆ (r , r′), зависящий от координат, не

представляет большого интереса. Более полезно знать интегральную характеристику проводящих свойств системы – ее кондактанс G, поскольку как раз эту величину позволяет определить эксперимент: если асимптотические значения потенциалов Vn проводников вдали от области рассеяния неодинаковы, ток Im в m-ом контакте дается глобальной формой закона Ома:

n=1

Пусть рассматриваемая система находится под действием слабого зависящего от времени внешнего электрического поля с на-

пряженностью E(r, t) = − V (r, t), где V (r, t) – соответствующий скалярный потенциал, который для простоты выбирается в виде

Здесь параметр δ характеризует темп включения и выключения возмущения. Важно, что в статическом случае предел ω → 0 следует искать при конечном δ, и лишь затем устремить δ к нулю.

Будем считать, что потенциал V (r) быстро достигает постоян-

ных значений при стремлении координаты от неупорядоченной области вглубь каждого из присоединенных к ней полуограниченных идеальных проводников, так что электрическое поле сосредоточено только в самой неупорядоченной области, где имеет место рассеяние электронов. Поскольку спектр неограниченной системы

147

возмущенного перехода можно занумеровать непрерывной переменной α, а условия ортогональности и полноты, которым удовлетворяет ортонормированная система его собственных функций – состояний рассеяния {ψα (r )} , имеют вид

∫d 3r ψα(r)ψβ(r)= δ(α −β), ∫dαψα(r) ψα(r′)= δ(r − r′).

Плотность тока в проводнике определим из формулы

где ρˆ – матрица плотности системы, удовлетворяющая уравнению

либровочно-инвариантного) дифференцирования.

Для того чтобы вычислить ток в первом неисчезающем приближении по внешнему полю, следует линеаризовать уравнение фон Неймана вблизи равновесного решения:

148

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ρˆ(1) →0 при t → –∞, а при t < 0 имеет вид

Переходя в нем к представлению состояний рассеяния, получим соотношение между матричными элементами операторов плотности электронов и плотности тока:

Интегрируя это соотношение по частям, можно выразить матричные элементы Vαβ оператора внешнего возмущения через век-

тор напряженности электрического поля:

Из (П 2.9)–(П 2.12) найдем для плотности тока выражение вида j (r , t) = jω (r ) cos (ωt ), где амплитуда

Наконец, переходя в (П 2.13) к пределу ω → 0, получим формулу Кубо для нелокального тензора проводимости:

(П 2.14)

149

где f ′ ≡∂f ∂ε, знак P предполагает интегрирование в смысле главного значения, а символом обозначено тензорное произведение двух векторов (если a = aαeα ,..., объект a b есть тензор второго ранга с компонентами aαbβ ).

Для вещественной части σˆ(r,r′) из (П 2.13) можно также напи-

Поскольку в отсутствии магнитного поля при εα = εβ мы имеемjαβ (x) = 0 (см. (П2.6)), а нормальная компонента тензора проводимости – вектор σˆ (r , r′) er′ (здесь er′ = r′ r′ – орт направления

радиус-вектора r′) – должна обращаться в нуль на всех непроводящих границах, интергрирование по частям в (П 2.1) позволяет выразить плотности тока через асимптотические значения потенциалов в проводниках, Vn, и потоки тензора проводимости через поперечные сечения Сп (см. рис. 70, где изображен двумерный образец, так что вектор yn имеет всего одну компоненту):

j(r ) = −∫d 3r σˆ (r ,r′) V (r′) = −∑n Vn ∫Cn dynσˆ (r , rn ) ern . (П2.15)

Отсюда, как будет видно далее, следует, что не только токи в проводниках, но и локальные значения вектора плотности тока всюду в системе полностью определяются только асимптотами потенциалов Vn (т.е. различные распределения потенциала V (r ),

имеющие одинаковые асимптоты, дают одинаковые плотности тока). Вычисляя поток вектора j (r ) через поперечное сечение т-го

проводника, для тока, текущего по этому проводнику наружу, получим:

150