Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Вторые слагаемые в правой части представляют собой малые поправки к первым слагаемым. Отметим, что для струны со сво-

бодными концами характерна зависимость ω0 L −2 , а поведение ω0 L −1 свойственно струне, закрепленной с двух сторон. Резуль-

тат (8.17), таким образом, означает, что при увеличении VG поведение нанотрубки как механической колебательной системы претерпевает качественный переход – от режима «свободного» движения к режиму движения закрепленной струны. Для фундаментальной моды этот переход происходит при условии ξL 1, соответст-

вующем переходу от малого изгиба трубки к большому.

Кривая на рис. 76 показывает зависимость частоты фундаментальной моды ω0 = 140 МГц Е-нанотрубки от напряжения VG = 0 при нулевом значении остаточного механического напряжения в ней. Стрелкой отмечена область смены режима.

Рис. 76. Зависимость частоты ω0 фундаментальной моды Е- нанотрубки от напряжения VG для ненапряженной трубки, [64]

Из риунка видно, что зависимость ω0 = ω0 [VG ] имеет ступен-

чатый вид, причем каждая новая ступень возникает в момент, когда на нанотрубку последовательно туннелирует очередной электрон, что хорошо видно на вставке, где ход зависимости ω0 = ω0 [VG ] при

Т0 = 0 дан в увеличенном масштабе. Для Е-нанотрубки высота ступеней имеет порядок 5 МГц и вполне может быть измерена в эксперименте, если частота ω0 превосходит обратное время туннелирования электронов на трубку.

Итак, мы убедились в том, что состоянием нанотрубки в рассматриваемой системе можно манипулировать путем изменения

131

электрического напряжения на управляющем электроде, которое полностью определяет степень ее деформации и величину механического напряжения в ней, а также изменяет частоты собственных механических колебаний нанотрубки.

Отметим в заключение, что рассмотренная модель дает весьма упрощенную картину процессов в системе. Например, механические степени свободы здесь вводятся посредством классической теории упругости и предполагаются бездиссипативными, нанотрубка считается несжимаемой и не имеющей внутренней структуры, не учтены квантовые эффекты более высокого порядка по туннельной прозрачности – например, возможность совместного туннелирования электронов, а также дискретность электронного спектра нанотрубки. Насколько эти предположения оправданы, могут показать только эксперименты.

8.3. NEMS-детектор массы

Успехи полупроводниковых технологий последних лет дают возможность создавать наномеханические резонаторы с фундаментальной резонансной частотой порядка нескольких гигагерц и доб-

ротностью Q =103 105. Эти факторы в сочетании с исчезающей

малой массой подвижных элементов таких устройств обуславливают их рекордную чувствительность к изменениям инертной массы на очень высоких рабочих частотах.

Принцип действия резонансных детекторов массы, которые имеют сегодня широкую область научных и технологических применений, весьма прост: при дискретном изменении массы осциллятора его резонансные частоты также приобретают дискретные сдвиги, величина которых прямо пропорциональна изменению его массы. Лидерами по чувствительности к изменению массы долгое время считались детекторы, в которых фиксировались изменения частот определенных акустических мод фононного спектра кристаллов, [65], тонких пленок, [66], кантилеверов микронных размеров, [67]. Однако, как показали недавние эксперименты [68], детекторы массы на основе вакуумных радиочастотных NEMS значительно превосходят все другие известные устройства такого рода.

132

Они позволяют «взвесить» отдельные электрически нейтральные молекулы сточностью до1 а.е.м.1

Чувствительность резонансных детекторов массы в основном определяется двумя параметрами: а) эффективной массой движущейся части устройства и б) стабильностью резонансной частоты осциллятора на малых и больших временах. Первый из этих параметров зависит от геометрии резонансной структуры и свойств материалов, из которых она изготовлена, второй управляется двумя классами механизмов – внешними по отношению к структуре процессами в цепях преобразования и считывания сигнала, и физическими процессами в самом резонаторе. Причем в случае инерционных детектров массы на основе NEMS - в отличие от устройств, использующих макро- и микромеханические резонаторы - именно фундаментальные флуктуационные процессы в наноструктуре ограничивают их чувствительность.

Рис. 77. Высокочастотный наномеханический резонатор в виде закрепленной с двух сторон балки длиной L, шириной w и толщиной t

В качестве примера рассмотрим здесь резонансный детектор массы, роль сенсора в котором выполняет высокочастотный наномеханический резонатор в виде закрепленной с двух сторон кремниевой балки (рис. 77). Будем считать, что фундаментальная мода в этом случае имеет частоту ν0 = ω0/2π = 1 ГГц и представляет собой изгибные колебания балки в направлении оси Oz. Для описания изгибных колебаний резонатора с частотой, близкой к резонансной,

1 1 а.е.м. (или 1 Да (дальтон)) – внесистемная единица массы, равная 1/12 части массы атома изотопа углерода C12; 1 Да = 1/NA ≈ 1,66 10–27кг.

133

используем модель затухающего гармонического осциллятора, вполне адекватную при Q >> 1. Механический отклик резонатора в этой модели параметризуется специфическими для каждой моды добротностью Q, эффективными коэффициентом жесткости балки (отвечающим ситуации, когда внешняя сила приложена к балке в

ее центре) Keff = 32Et3w/L3 и массой осциллятора Meff = 0,735Ltw [68] (см. обозначения на рис. 77; материал балки предполагается

изотропным). Параметры двух возможных реализаций такого резонатора даны в табл. 1 (где второй столбец соответствует балке из аморфного кремния, третий – балке из кремниевой нанопроволоки).

Таблица 1

Параметры двух реализаций закрепленной с двух сторон балки

с частотой фундаментальной моды изгибных колебаний 1 ГГц

8.3.1. Разрешающая способность NEMS-детектора массы

При резонасном детектировании, как уже говорилось, в резонаторе предварительно возбуждаются стационарные колебания на фундаментальной частоте, после чего производится измерение сдвига амплитуды или частоты этих колебаний под действием изменения физического окружения резонатора. В случае амплитуд-

134

ных измерений для достижения максимального отношения сигнал/шум амплитуду возбуждения выбирают по возможности большой; будем предполагать, что режим линейного отклика при этом все еще выполняется (по грубым оценкам, для этого достаточно, чтобы наибольшее значение среднеквадратичного отклонения бал-

ки удовлетворяло условию δx2 ≤ 0,53 t , где t – толщина балки в

направлении ее колебаний. Для качественных оценок в модели простого гармонического осциллятора достаточно считать точечными и его эффективную массу, и подлежащую измерению величину ее изменения δМ (которое может быть связано, например, с адсорбцией или десорбцией на поверхность осциллирующей балки некой макромолекулы).

Пусть δM << Meff . В линейном приближении по δМ можно записать:

Будем считать, что δM в (8.18) – минимальное изменение массы, которую способен зафиксировать детектор, и назовем эту характеристику устройства его массовой чувствительностью. Видно, что δМ зависит от минимального сдвига частоты резонатора, который может измерить детектор, и от величины обратного массового

отклика системы R −1 .

Пренебрегая изменением коэффициента жесткости балки при изменении ее массы, получим

Следующий вопрос, на который следует ответить для определения разрешающей способности детектора: какова величина наименьшего сдвига частоты δω0, которая может быть измерена в реальной (т.е. зашумленной) системе? Для оценок можно считать, что разрешимыми в принципе являются сдвиги частоты, имеющие по-

135

рядок средней (по ансамблю последовательностей результатов измерений) квадратичной флуктуации частоты, т.е.

δω0 ≈ (1N ) ∑iN=1(ω−ω0 )2 .

В этом случае отношение сигнал/шум равно единице. Более реальную оценку для δω0 дает результат интегрирования взвешенной спектральной плотности флуктуаций частоты Sω(ω) осциллятора с нормированной передаточной функцией внешней измерительной цепи Н(ω):

Здесь Sω(ω) измеряется в рад/с. Для простоты аппроксимируя Н(ω) прямоугольной передаточной функцией, отличной от нуля в интервале ω0 ±πΔf (где f ≈ 1/2πτ и зависит от длительности интервала времени усреднения измерений τ) с тем же интегральным спектральным весом, можно переписать (8.21):

Вид спектральной плотности Sω(ω) в (8.21), (8.22) зависит от того, какие именно физические процессы приводят к флуктуациям частоты осциллятора, и от конкретного способа ее измерения. Существует несколько физических механизмов флуктуаций фундаментальной частоты в рассматриваемой конструкции NEMSдетектора масс, которые накладывают фундаментальные ограничения на его разрешающую способность. В числе наиболее существенных:

а) флуктуации резонатора, обусловленные тепловым движением составляющих его атомов (термомеханический шум);

б) флуктуации температуры резонатора (ввиду малой теплоемкости флуктуации его температуры могут быть велики);

в) адсорбционно-десорбционный шум – молекулы газа в окрестности резонатора могут адсорбироваться на его поверхность или десорбироваться с нее; при этом эффективная масса резонатора, а с ней и собственная частота его колебаний изменяются случайным образом;

136

г) флуктуации импульса резонатора, обусловленные его взаимодействием с молекулами окружающей газовой среды.

В качестве примера мы, следуя [69], рассмотрим здесь только последний из этих механизмов; анализ остальных вкладов можно найти, например, в [68].

Уравнение движения резонатора, окруженного молекулярным газом низкого давления, имеет следующий вид:

Здесь первое слагаемое в круглых скобках отвечает потерям механической энергии внутри балки, второе – средней силе трения, действующей на нее со стороны молекул газа; Qi – внутренняя доб-

ротность балки, ν = kBT m – тепловая скорость молекул газа,

A = Lw – площадь поверхности балки резонатора, F(t) – дельтакоррелированная гауссова случайная сила (белый шум), описывающая хаотическое взаимодействие осциллятора с окружающей средой. Обозначая через Qgas вклад в добротность резонатора, обусловленный диссипацией его механической энергии в газе: Qgas =Meff ω0ν pA , определим полную добротность устройства со-

отношением Q =(Qi−1 +Qgas-1 )−1 . Случайная сила F(t) полностью характеризуется двумя кореляционными функциями:

Уравнение (8.23) с белым шумом в правой части называется уравнением Ланжевена (см., например, [50], § 118 и далее). Оно, в частности, описывает движение классической частицы в присутствии стохастических тепловых флуктуаций. Заметим, что парный коррелятор шума равен произведению коэффициента трения γ = = 2тω0/Q и температуры – в полном соответствии с флуктуацион-

137

но-диссипационной теоремой ([50], § 124). Последняя, как известно, верна, если среда, с которой взаимодействует рассматриваемая система, находится в состоянии термодинамического равновесия.

Предполагая, что Qi << Qgas и что все флуктуации в системе происходят из-за столкновений балки резонатора с молекулами га-

за, для спектральной плотности флуктуаций случайной силы в

(8.23), (8.24) имеем

Найдем установившееся решение уравнения (8.23) и вычислим при помощи (8.24) и (8.25) спектральную плотность флуктуаций смещения осциллятора:

Sx (ω) ≡ ∫−+∞∞ eiωτ x(t ) x(t + τ) dτ =

Рассчитаем, наконец, минимальную величину сдвига частоты δω0, которую можно зафиксировать при помощи NEMS-детектора, если в системе доминируют флуктуации импульса резонатора, обусловленные его взаимодействием с молекулами окружающей газовой среды. Как уже говорилось, при подобных измерениях в резонаторе детектора предварительно возбуждаются колебания с по-

стоянной среднеквадратичной амплитудой отклонения δx2 .

Флуктуации отклонения балки, которые обусловлены столкновениями молекул газовой среды с ее поверхностью, вызывают флуктуации частоты колебаний резонатора. Для спектральной плотности флуктуаций последней можно написать:

138

гия, которую имеет возбужденный резонатор; эта величина характеризует мощность сигнала на выходе детектора. Для нахождения δω0 следует теперь вычислить интеграл в формуле (8.22), используя выражение (8.27) для Sω(ω). В случае, когда Q >> 1, а 2πΔf << ω0/Q, нетрудно получить

возможная ширина диапазона измерений для устройств рассматриваемого типа имеет порядок ω0/2πQ, поскольку отклик резонатора на зависящие от времени возмущения характеризуется масштабом времени Q2ω0 .

Наконец, для массовой чувствительности детектора получим:

где мы вновь полагаем, что Q ≈ Qgas.

Отношение максимальной энергии на выходе детектора, Ec , к тепловой энергии Eth =kBT представляет собой эффективный ди-

намический диапазон, который определяется только внутренними параметрами наномеханического резонатора. Фактически это – измеряемое по мощности отношение сигнал/шум для случая, когда когерентный колебательный отклик детектора определяется на фоне шума, обусловленного столкновениями молекул газовой среды с поверхностью резонатора. Этот динамический диапазон (Dynamic

139

от давления газа в обоих случаях. Указанный механизм шума становится существенным только при Qgas >> Qi, т.е. при p >> 1 торр для резонатора из кремниевой нанопроволоки и при р >> 10 торр – из кремниевой балки. Ширина диапазона измерений ω0/2πQ ограничена и имеет порядок 104 Гц для Q = 103 и 106 Гц – для Q = 105.

Отметим, что механизм флуктуаций смещения балки, обусловленный рассеянием молекул газовой среды на поверхности резонатора, несуществен, если NEMS-детектор находится в вакууме.

Как показано в [68], выражение (8.30) для фундаментального предела чувствительности NEMS-детектора массы сохраняет свой вид при учете всех существенных механизмов шума. Из него следует, что существует несколько возможностей для увеличения δМ:

1)увеличение массового отклика R . Как видно из определения (8.19), для этого эффективная масса резонатора должна быть как можно меньше, а его рабочая частота – как можно выше;

2)частотный диапазон измерений должен покрывать всю допустимую параметрами системы область спектра;

3)динамический диапазон резонатора должен быть максимально возможным.

140