Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Эта концепция равно применима и к описанию классических волн в неупорядоченных системах – упругих и электромагнитных [35]. Действительно, если для простоты отвлечься от векторного характера упругих волн в кристаллической решетке и электромагнитных волн в твердом теле, их стационарные состояния и стационарные состояния электронов (в пренебрежении их взаимодействием друг с другом) описываются одним и тем же уравнением

проницаемости среды от ее среднего значения, равного ε .

В эксперименте [36] был исследован процесс распространения звука в длинной напряженной стальной струне. Действие внешнего поля, случайного или периодического в пространстве, моделировалось малыми неоднородностями распределения массы струны, которые, соответственно, были рассредоточены по ее длине либо случайным образом, либо их положение на струне зависело от координаты периодически:

V (x) = (mω2 K )∑i δ(x − xi ),

где K – механическое напряжение в струне. В обоих случаях был изучен спектр частот и пространственное распределение поперечных волн, которые возбуждались в струне электромеханическим актуатором, расположенным у одного из ее концов.

Поведение звуковых волн в струне в двух указанных случаях принципиально различное. В случае периодического внешнего поля собственные моды струны распространяются по всей ее длине (рис. 56, а), а их спектр имеет вид обычной зонной структуры: квазинепрерывные области разрешенных частот в нем разделены запрещенными зонами (рис. 56, б). И хотя спектр разрешенных частот струны, на первый взгляд, не претерпевает качественных изменений при замене внешнего поля на случайное (рис. 56, г), все ее

91

собственные моды в этом случае локализованы в пространстве

(рис. 56, в).

Рис. 56. Спектры собственных частот звуковых волн в напряженной струне в периодическом (а) и случайном (в) поле, а также пространственное распределение собственных мод ψ(х), соответствующих частотам α и β зонного акустического спектра (б) и частотам γ и δ акустического спектра неупорядоченной струны (г) (по данным [36])

Следуя аналогии (6.1), мы можем предположить, что в пренебрежении кулоновским взаимодействием при увеличении степени беспорядка в электронной системе происходит переход от зонных – полностью делокализованных в пространстве – собственных электронных состояний к полностью локализованным состояниям, который, таким образом, обусловлен многократным рассеянием электронов в случайном поле.

Принято считать, что в отсутствии диссипации энергии поведение невзаимодействующих волн в среде с беспорядком определяется лишь тремя пространственными масштабами: длиной волны λ, длиной упругих столкновений l и размером образца L. В зависимости от соотношения между ними реализуются следующие режимы:

1)l > L, однородная среда, делокализованные волновые функ-

ции;

2)λ > l > L, диффузионное распространение волн, полная потеря информации о начальном направлении их распространения ввиду многократного упругого рассеяния, сохранение фазовой когерентности и, соответственно, эффект слабой локализации, обусловленный интерференцией волн, рассеянных назад;

92

3) l < λ < L, система удовлетворяет известному критерию сильного беспорядка Иоффе–Регеля (l < λ) (см., например, [37]); зонная теория не работает, когерентные эффекты обращают в нуль коэффициент диффузии; при достаточно больших L система практически непрозрачна, а коэффициент отражения энергии волн близок к единице.

Переход от режима 2 к режиму 3 называется переходом Андерсона. Всюду ниже мы будем обсуждать это явление в основном применительно к электронной подсистеме твердого тела.

6.1. Диффузия частиц и концепция локализации

Представления о диффузии позволяют дать еще одно полезное определение локализации. Рассмотрим простой пример: движение классической броуновской частицы, которая стартует из точки, расположенной в начале координат d-мерной неупорядоченной среды (рис. 57). Естественно считать ее локализованной, если вероятность обнаружить ее снова в ок-

рестности начала координат при t → ∞ отлична от нуля, и делокализованной – в противном случае. Вспоминая, что плотность вероятности p(r ,t) классического диффузионного процесса удовлетво-

ряет уравнению

где D =lυF d − коэффициент диффузии и ∫ p(r ,t)dr =1, найдем для плотности вероятности найти частицу в точке r в момент времени t:

здесь r2 = ∑1d xi2 . Отсюда, пренебрегая экспоненциально малым вкладом той части пространства, где r2 > 4Dt, получим оценку для

93

объема d-мерного шара, внутри которого, вероятнее всего, может находиться диффундирующая частица к моменту наблюдения:

Из (6.3) следует, что плотность вероятности возврата частицы в начало координат в момент времени t есть

p(0,t) = (4πDt )−d2 . (6.5)

Полезно, пользуясь (6.3), вычислить полную плотность вероятности возврата диффундирующей частицы в начальную точку ее траектории за весь временной интервал от момента первого столкновения τ до некого момента времени t > τ:

Из (6.6) следует, что зависимость функции Р(0,t) от длительности интервала наблюдения существенным образом зависит от размерности пространства: при d = 1, 2 любая степень беспорядка ведет к локализации классической броуновской частицы; при d = 3, напротив, ее состояние всегда делокализовано.

6.2. Квантовые поправки к проводимости. Слабая локализация

В режиме (2), то есть при λ < l < L, взаимодействие электронов

со статическими дефектами малó. Поэтому еще верна зонная теория электронного спектра, плоские (блоховские) волны служат хорошим начальным приближением для волновых функций, а учет случайного поля в системе по теории возмущений наряду с элек- трон-электронным взаимодействием позволяет проследить эволюцию ее свойств при увеличении степени беспорядка (см., например, [38]).

Всюду ниже мы будем для простоты полностью пренебрегать кулоновским взаимодействием, что не позволит нам рассмотреть задачу во всей полноте. Тем не менее, такой подход не является совершенно бессмысленным: дело в том, что в системах высокой

94

плотности, когда не только беспорядок, но и кулоновское взаимодействие можно рассматривать как возмущение, в ряде эффектов (например, в проводимости) вклады беспорядка и электронэлектронного взаимодействия можно разделить. Наконец, в силу (6.1) наше рассмотрение вполне применимо к свету и звуку.

Ниже мы увидим что, волновая природа электронов вносит существенные изменения в классическую картину диффузии и с ростом концентрации дефектов приводит к развитию сценария так называемой слабой локализации электронных волновых функций, которая считается предвестником их сильной локализации в режиме 3.

6.2.1.Когерентное рассеяние назад

Сточки зрения теории вероятностей пространством элементарных событий рассмотренного выше классического диффузионного процесса являются отдельные траектории частицы, приводящие ее

виз начала координат при t = 0 в точку r в момент времени t. Поскольку в классическом случае все элементарные события статистически независимы, плотность вероятности p(r,t) есть результат

простого сумммирования вероятностей всех этих траекторий. Ясно, что в случае диффузии квантовой частицы – электрона –

ситуация кардинальным образом меняется: ведь если дифейзинг отсутствует, все ее траектории характеризуются вполне определенной фазой волновой функции, их вклады когерентны, и простое правило сложения вероятностей более неверно.

Если амплитуда вероятности i-й траектории, приводящей электрон из точки О в точку M (r ) (рис. 58) к моменту времени t есть Ai, то для полной плотности вероятности pq (r,t) можно написать:

Здесь первая сумма в правой части – неинтерференционный вклад, который соответствует классическому случаю, вторая обусловлена интерференцией волн.

95

нормальном падении потока лазерного излучения на плоскую поверхность массивного диэлектрика.

На схеме рис. 60 падающая

электрика в промежуточные состояния с волновыми векторами

волн амплитуды рассеянных волн в точках r1, r2 , ..., rN одинаковы

на траектории (γ) и на обращенной во времени траектории (–γ). Результат интерференции двух

волн, бегущих по траекториям (γ) и (–γ), определяется разностью их фаз; соответствующее слагаемое в (6.7) имеет вид

При рассеянии назад (т.е. когда угол рассеяния ϑ≡ π−θ , где θ – угол между векторами (−ki и k f ) в точности равен π, фаза коси-

т.е. за счет конструктивной интерференции вкладов траекторий, переходящих друг в друга при обращении времени, интенсивность некогерентного фона в направлении назад вдвое превосходит ее величину во всех других направлениях.

стояния rN − r1 можно записать:

97

ляется активной, т. е. способна усиливать световые потоки, система становится случайным лазером – источником когерентных световых импульсов. Принцип действия таких устройств был описан В. С. Летоховым, [40], и затем реализован в [41].

Эффект усиления обратного рассеяния звуковых волн в случайной среде объясняет, например, явление эха в лесистой местности.

6.2.2. Интерференционные поправки к проводимости

Как уже было упомянуто выше (гл. 1), результатом классической теории переноса, основанной на кинетическом уравнении Больцмана для электронов проводника, является, в частности, соотношение Эйнштейна (1.9) между друдевской проводимостью и

коэффициентом диффузии, σ = e2νd D. Оно получено в предположениях, что:

1) λF <<l (илиεF τ , что то же самое), так что для движения

электронов верно квазиклассическое приближение, а к их рассеянию на примесях применима концепция столкновений,

2)корреляция между последовательными актами электронпримесного рассеяния отсутствует,

3)электрон-электронное взаимодействие пренебрежимо мало. Однако существует, по крайней мере, два класса процессов уп-

ругого рассеяния электронов в металле, для которых гипотеза 2 неверна.

Первый из них – многократное рассеяние электрона на каждом отдельном примесном центре: вторичные волны, возникающие в результате многократного рассеяния электрона на любом из статических дефектов, когерентны, и вклад интерференции этих волн следует учесть. Такой учет приводит к простой замене борновской амплитуды рассеяния электрона на примеси, в терминах которой определяется больцмановское время между столкновениями τ, на полную амплитуду электрон-примесного рассеяния (см., например, [42]). Однако если эта полная амплитуда не содержит резонансов, качественная картина движения электронов в системе при этом не изменяется.

99

Второй класс когерентных процессов рассеяния нам уже известен – именно он приводит к усилению обратного рассеяния волн в неупорядоченной среде, что для случая распространения электронов в проводнике приводит к возникновению относительно малых квантовых поправок к проводимости, которые уменьшают ее [43] (отсюда и название явления: слабая локализация).

Заметим, что ситуация для электронов несколько разнообразнее, чем для классических волн. Например, если атомы примеси парамагнитны, в электрон-примесном взаимодействии имеется спин-орбитальная составляющая, и в упругом рассеянии электронов на примесных атомах присутствует еще один канал – рассеяние с переворотом спина электрона. В этом случае интерференционная поправка к проводимости оказывается положительной. Ниже мы не будем обсуждать эту возможность (подробнее о явлении слабой антилокализации см., например, в [37]).

Рассмотрим для наглядности изменение импульса электрона, который при t = t0 начинает движение из некоторой точки про-

странства с начальным импульсом k и волновой функцией ψ exp i(k r − E t0 ) и последовательно рассеивается на дефектах 1, ..., N. Его импульс при этом последовательно изменяется на q, q1, ..., qN и принимает значения k → k1′ → k2′ → k3′ → − k. Ровно такую же амплитуду вероятности имеет процесс k → k1′′→ k2′′→ → k3′′→ − k (рис. 62), который переходит в первый при обращении

времени. В отсутствии внешнего магнитного поля разность фаз вкладов двух этих парных траекторий в величину плотности вероятности возврата электрона в начальную точку строго равна нулю, поэтому соответствующее интерференционное слагаемое удваивает некогерентный вклад согласно (6.9).

Следуя [44], оценим относительную величину обусловленной этим механизмом квантовой поправки к проводимости δσσD . Ес-

тественно предположить, что изменение проводимости пропорционально вероятности реализации траектории с самопересечением в процессе диффузии электрона.

100