Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

водник с размерами Lx × Ly × Lz при Lx << Lφ << Ly , Lz является эффективно двумерным проводником, а при Lx , Ly << Lφ << Lz – од-

номерным.

Тепловая длина LT. Нас по-прежнему интересуют свойства электронов с энергиями в узком слое шириной в несколько kBT вблизи уровня Ферми, которые, как правило, определяют кинетические свойства вырожденных проводников. Вычислим расстояние (называемое тепловой длиной LT), на котором разность фаз между электронами с энергиями EF и EF + kBT, стартовавшими одновре-

менно из одной точки пространства в одном направлении, увеличится на 1 радиан. В баллистическом образце имеем:

что находится в полном соответствии с выражением для теплового времени τт kBT, которое можно найти из соотношения неопре-

деленностей для энергии и времени t Е ≥ ħ, положив в нем E = kBT. Для системы, числовые значения параметров которой

были даны выше, при Т = 0,1 К имеем: L(Tb) ~ 1,5 10-3 cм.

В диффузионном образце тепловая длина L(Tdiff ) есть среднее

расстояние, на которое смещается диффундирующий электрон за тепловое время:

при Т = 0,1 К получим L(Tb) ~ 7,4 10-3 см .

Параметр электрон-электронного взаимодействия rs – это средняя энергия кулоновского взаимодействия двух электронов (рассчитанная, как если бы его на мгновение «включили» в фермигазе невзаимодействующих электронов), измеренная в единицах их

12

средней кинетической энергии. Параметр rs, таким образом, является мерой того, насколько справедливо приближение невзаимодействующих электронов: при rs >> 1 оно несправедливо вовсе, а при rs → 0 становится точным. Например, в двумерной системе, рассмотренной выше,

где r0 = n−12 2,2 10-8 см – среднее расстояния между электронами.

Уменьшение электронной плотности в системе всегда приводит к росту кулоновских корреляций, что легко видеть и в этом конкретном случае.

Магнитная длина lB. В задачах о поведении мезоскопических систем в магнитном поле возникает параметр SB = ceB, который

имеет смысл площади, приходящейся на один квант магнитного потока. Соответствующий масштаб расстояний

называется магнитной длиной. Этот масштаб также характеризует размеры области локализации волновой функции электрона в квантующем магнитном поле и возникает при описании квантового эффекта Холла. При В = 1 Т получим lB 180 Å.

Длина локализации электронов ξL. Считается, что поведение электронных волновых функций в проводящих и непроводящих материалах имеет важное качественное отличие: если в проводниках существуют электроны, состояния которых делокализованы в пространстве, т.е. плотность вероятности найти электрон в таких состояниях практически всюду есть величина порядка обратного объема системы:

Ψdeloc (r) 2 ~ 1/Ld,

то в непроводящих системах волновые функции всех электронов локализованы в окрестностях определенных точек пространства и, например, в случае так называемой экспоненциальной локализации ведут себя как

Ψloc (r) 2 exp{− r −r0 / ξL}.

13

Характерный размер области локализации электронной волновой функции (в данном случае – величина ξL) и называется длиной локализации электронов в системе.

Среднее расстояние между энергетическими уровнями δ.

Этот параметр наряду с энергией Таулесса играет важную роль в описании транспортных свойств мезоскопических систем. Его определение следует из смысла самого термина

δ =1 (ν× Ld ),

что иллюстрирует рис. 5.

Рис. 5. К определению среднего расстояния между уровнями энергии мезоскопической системы, которое по порядку величины определяется ее характерным размером L

Энергия Таулесса ЕTh – это характерная энергия, соответствующая времени, за которое электрон, диффундирующий в системе, сместится на расстояние порядка размера самой системы:

Для открытых систем таулессовское время τTh = ETh имеет смысл времени ухода электрона из системы.

Отношение g = ETh δ называется безразмерным таулессов-

где G – кондактанс системы (см. гл. 3).

1.3. Двумерный электронный газ

Само возникновение физики мезоскопических систем и существенная часть ее достижений тесно связаны с прогрессом в области полупроводниковой технологии, который привел к разработке

14

промышленных методов получения материалов высокой степени чистоты и совершенства кристаллической структуры и позволил приступить к созданию нового поколения функциональных устройств. Принцип действия большинства этих устройств основан на использовании квантовых эффектов, которые имеют место в тонких проводящих слоях с высокой подвижностью носителей заряда

– в двумерном электронном газе (two-dimensional electron gas, 2DEG).

Широко применяются две основные реализации 2DEG: кремниевые МОП (металл-окисел-полупроводник) – транзисторы на эффекте поля (metal-oxide-semiconductor field-effect transistors, MOSFETs) и гетероструктуры GaAs-AlGaAs. Движение электронов в направлении поперек границы раздела материалов в таких системах квантовано, а в плоскости границы – свободно, так что эффективно размерность классически доступной области движения электронов равна двум.

На рис. 6 дана зонная диаграмма кремниевой MOП-структуры. Двумерный электронный газ (2DEG) образуется на границе полупроводника p-типа и окисла, когда положительное смещение на металлическом электроде достаточно велико. Видно, что изгиб зон, который обусловлен большой длиной экранирования электрического поля в полупроводнике, при достаточно больших смещениях между металлическим и полупроводниковым электродами приводит к образованию инверсионного слоя.

Плотность электронов ns в 2DEG мала, что означает большую λF (порядка 40 нм, что сравнимо с толщиной слоя), и может быть изменена простым варьированием смещения Vg: ens =Cox (Vox −V0 ), где V0 – поро-

трическая проницаемость слоя SiO2 толщины dох), т.е.

15

Длина свободного пробега электронов в 2DEG может быть очень большой (> 10 мкм).

Рис. 7 иллюстрирует образование 2DEG в гетероструктуре GaAl–AlGaAs: ввиду того, что ширина запрещенной зоны в AlGaAs больше, чем в GaAs, на границе двух полупроводников возникает скачок потенциала, а в приконтактной области – изгиб зон. При определенной степени легирования n-области на границе полупроводников возникает инверсионный слой.

На рис. 7, с дана реалистическая схема изгиба зон в гетероструктуре металл – p-AlxGa1-xAs – GaAs. Здесь 2DEG образуется в собственном GaAs на границе с p-AlGaAs, а на границе между полупроводником и металлическим электродом возникает барьер Шоттки.

Данные приложения 1 позволяют составить представление о численных значениях некоторых важных величин, характеризующих физические свойства двумерного электронного газа в инверсионных слоях в кремнии и в гетероструктурах GaAs-AlGaAs.

16

2.НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Рассмотрим некоторые свойства систем пониженной размерности, которые необходимо знать для понимания физических явлений в мезоскопических структурах.

2.1. Волновые функции электронов в 2DEG

Найдем энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний электронов в 2DEG в пренебрежении их взаимодействием друг с другом. Считая движение электронов вдоль поверхности раздела свободным (так что переменные в уравнении Шредингера разделяются), направим ось Оz прямоугольной декартовой системы координат в вдоль нормали к плоскости 2DEG и запишем волновую функцию электрона в виде произведения:

где ψ(r ) = exp{i pr } , векторы p и r лежат в плоскости Oxy, а функция χ(z) удовлетворяет уравнению

Здесь ε = E − p2 2m и E − полная энергия электрона с эффек-

тивной массой m . Мы предположили, что потенциальная энергия электрона в 2DEG может быть аппроксимирована треугольным барьером (рис. 8):

Замечая, что уравнение (2.2) задает собственный масштаб дли-

ны

lF = (2meF 2 )−1/3 ,

введем безразмерную переменную

ξ(z) = (z −εeF )lF

изапишем его в стандартном виде:

17

χ/ / − ξχ = 0.

Как легко видеть, (безразмерные) расстояния в этом уравнении отсчитываются от классической точки поворота электрона на треугольном барьере. Его решение, удовлетворяющее граничным ус-

Рис. 8. Поведение зависящей от z компоненты волновой функции электрона, χ(z), в треугольном потенциальном барьере. Масштаб энергии соответствует GaAs при F = 5 МВ/м

Мы видим, что масштаб lF определяет и характер осцилляций волновой функции электрона в классически разрешенной области движения, и темп ее затухания вглубь полупроводника. Собственные значения энергии {εп} определяются из условия Ai (ξ) z=0 = 0 :

18

εn = ( 2e2 F 2 2m)13 ξn ,

где ξ1 ≈ 2,337 , ξ2 ≈ 4,088 , ...

Для постоянных {ξn} справедлива квазиклассическая формула:

при малых п. Например, при n = 1 получим квазиклассическую оценку ξ1 ≈ 2,338.

Каждому значению квантового числа п = 1, 2, 3... соответствуют подзоны свободного движения электрона в плоскости Oxy c за-

коном дисперсии

En,p = p2 + εn . 2m

Рис. 8 иллюстрирует характер локализации волновых функций электрона для n = 1, 2 и 3 вблизи поверхности GaAs.

2.2. Плотность состояний электронов в системах пониженной размерности

Плотность электронных состояний ν(ε) – это количество квантовых состояний электронов, приходящихся на единицу объема системы в единичном интервале энергий вблизи данной. Если Ω – (d-мерный) объем системы, {α} – полный набор квантовых чисел электрона, то

{α}

Как нетрудно видеть, ν(ε) ≡ dn(ε)dε, где п(ε) – полное число

электронных состояний на единицу объема системы с энергией, не превосходящей ε.

Плотность состояний в 2DEG. Для этого случая {α} =

={n,σ,v, p} , где п – номер подзоны размерного квантования, σ –

спиновое квантовое число, v – номер долины электронного спектра полупроводника, p – двумерный импульс свободного движения

19

электрона в плоскости 2DEG. Предполагая спектр электрона вырожденным по проекции спина и номеру долины, получим

Как мы видим, в двумерном случае плотность состояний электронов в пределах каждой подзоны не зависит от их энергии, так что ν(ε) представляет собой последовательность ступеней равной высоты, каждая из которых отвечает возможности заполнения соответствующей подзоны размерного квантования. При низких температурах ( kBT << EF ) в системе заполнены все состояния вплоть

до EF, и число электронов на единицу площади 2DEG линейно зависит от фермиевской энергии:

ns =N gσgvm EF +const, 2π 2

где N – число поперечных мод с εn < EF , а фермиевское волновое число зависит он номера подзоны:

На рис. 9 представлен вид плотности состояний электронов в невзаимодействующем двумерном электронном газе.

Рис. 9. Зависимость плотности состояний электронов от энергии в невзаимодействующем 2DEG. На вставке: ход удерживающего потенциала в направлении поперек плоскости свободного движения. Дискретные уровни соответствуют дну первой и второй подзон размерного квантования электронного спектра

Плотность состояний в квази1D-проводнике. Если двумер-

ный электронный газ заперт в узкий канал (см., например, рис. 10, где проводящий квазиодномерный канал создан на основе 2DEG в

20