Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

y

y (x)

0 x0 x

Рис. 3

В случае, если задача Коши с начальным условием (1.10) имеет не одно

интересен и для теории дифференциальных уравнений, и для многочисленных практических приложений. Зная, что решение задачи Коши единственно, мы, отыскав решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, будем уверены в том, что получили определенный, единственный закон, описывающий физическое явление, и других траекторий развития процесса при данных условиях нет.

2. В этом разделе будут сформулированы достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара).

Ниже будут рассматриваться только непрерывно дифференцируемые задачи (1.10).

Итак, ставится вопрос: каким условиям достаточно подчинить правую часть дифференциального уравнения (1.7) в окрестности начальных данных

с точкой (x0, y0) внутри области (a,b - заданные положительные числа) и удовлетворяет в области D следующим условиям.

1. Функция f (x, y) непрерывна и, следовательно, ограничена (поскольку

где M - постоянное положительное число, P(x, y) - любая точка области D. 2. Функция f (x, y) имеет ограниченную частную производную по

аргументу y, т.е.

10

где K - постоянное положительное число, P(x, y) - любая точка области D. При этих условиях уравнение (1.7) имеет единственное решение y (x), удовлетворяющее начальному условию (1.10). Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности начального значения

x0 независимой переменной x; именно, оно заведомо определено в интервале

Рис. 4. Иллюстрация области в теореме Пикара

Доказательство теоремы Пикара мы не приводим. Из теоремы следует,

что если правая часть уравнения (1.7) – полином относительно переменных

через любую точку P0(x0, y0) проходит одна и только одна интегральная кривая, поскольку в любом прямоугольнике D с центром в точке P0(x0, y0) оба условия теоремы Пикара будут выполняться. В этом случае, вся плоскость

XOY будет заполнена не пересекающимися и не касающимися друг друга

гладкими интегральными кривыми.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ

Введем терминологические дополнения. Интегрированием дифференциального уравнения назовем совокупность операций выполняемых для нахождения общего решения.

Интегрируемость дифференциального уравнения в квадратурах означает, что в общий или частный интегралы дифференциального уравнения

11

входят интегралы от функций, зависящих от y и x (по отдельности), которые не обязательно вычисляются через элементарные функции.

Например, для дифференциального уравнения y xy2 2xy

общий интеграл представляется квадратурами

Вданном случае интегралы вычисляются в элементарных функциях.

2.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. К дифференциальным уравнениям, интегрируемым в квадратурах, в первую очередь принадлежат уравнения с разделяющимися переменными. В этом случае функция f (x, y), в уравнении представляет собой произведение

и (y) 0, то общий интеграл уравнения выражается в квадратурах:

причем заданным начальным условием y(x0) y0 определяется единственное решение этого уравнения, где M0(x0, y0) - любая точка прямоугольника (a,b)(c,d) на плоскости XOY .

Частный интеграл уравнения (2.1), определяющий решение, удовлетворяющее начальному условию может быть записан в виде

12

дифференциальным уравнением. Из равенства дифференциалов двух функций следует, что эти функции отличаются на постоянную:

Ф(y) F(x) C ,

c y d ; G 0. Поэтому уравнение (2.7) определяет y как функцию от x,

y

непрерывную и дифференцируемую. При этом имеет место равенство:

y G G f (x) (y).x y

Таким образом, функции, определяемые уравнением (2.7), а следовательно и уравнением (2.6), являются решениями данного дифференциального уравнения (2.1). Эти функции получаются при различных значениях C, выбор которых определяется начальными условиями (x0, y0). При фиксированном значении параметра C решение единственное.

Справедливо и обратное утверждение. Всякая функция, являющаяся решением уравнения (2.1), т.е. тождественно ему удовлетворяющая, обязана удовлетворять и вытекающему из него соотношению (2.6).

Следовательно, формула (2.6) действительно определяет общий интеграл уравнения.

Из (2.6) видно, что любые начальные условия (x0, y0) из прямоугольника a x b, c y d однозначно определяют надлежащие значения C.

13

(y)

однозначное обращение. Обозначив обратную функцию Ф 1, получим искомое частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

Освобождаясь от дифференциалов, имеем общий интеграл:

Разрешив общий интеграл относительно y, получим общее решение уравнения:

y tg(arctgx C), arctgx C . 2 2

Отметим, что в полученном общем решении значения параметра C (“произвольной постоянной”) не вполне произвольны. При выбранном интервале изменения независимой переменной x, параметр C может принимать бесконечное множество значений, но таких, чтобы не нарушались указанные неравенства.

14

Можно провести дальнейшее упрощение общего решения, если воспользоваться формулой для тангенса суммы дуг и обозначить C1 tgC . В результате получим

y x C1 . 1 C1x

Интегральной кривой является гипербола, смещенная и по оси OX , и по оси OY .

2. Доказанные в теореме 1 утверждения установлены в предположении, что (y) 0 ни при каком значении y из рассматриваемой области. Если( ) 0, где (c,d), то видно, что дифференциальное уравнение (2.1) имеет

( ) 0, то уравнение, кроме общего интеграла, имеет еще решение, не получающееся из общего.

Будет ли это решение y особым (т.е. будет ли в каждой его точке нарушаться условие единственности) – этот вопрос требует специального рассмотрения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения y xy2 2xy.

Решение. Запишем данное уравнение в виде y xy(2 y). Отсюда видно, что функции y 0 и y 2 являются решениями уравнения.

Остальные решения уравнения найдем, применив процедуру разделения переменных и интегрируя уравнение с разделенными переменными:

Для вычисления интеграла в левой части равенства разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби

15

y 2 нельзя получить из общего интеграла ни при каком значении этого параметра.

Таким образом, вся совокупность решений рассматриваемого дифференциального уравнения включает общий интеграл и решение, не входящее в этот интеграл:

3. В симметрической форме уравнения с разделяющимися переменными имеют вид:

Разделение переменных в этом уравнении осуществляется умножением обеих частей (2.10) на множитель

1

.

P2(x)Q1(y)

Общий интеграл уравнения имеет вид:

16

решения. Соответствующие этим решениям интегральные кривые – прямые, параллельные осям координат.

Частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию y(x0) y0 , записывается в виде:

2.2.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1.К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные уравнения после выполнения замены неизвестной функции на новую функцию.

Определение. Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

Таким образом, уравнение (2.1) будет являться однородным дифференциальным уравнением, если функция f (x, y) представляет собой однородную функцию переменных x и y нулевой степени однородности

f (tx,ty) t0 f (x, y). В этом случае функция зависит лишь от отношения этих переменных.

17

Теорема 2. Однородное дифференциальное уравнение (2.13) при условии, что функция (u) непрерывна и (u) u в интервале u (a,b), имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку

разделяющимися переменными. Действительно, так как y xu, то y u xu .

Предполагая, что (u) u и x 0, разделяем переменные и интегрируем:

Обозначив интеграл в левой части последнего равенства через Ф(u), где

u y , получим общий интеграл уравнения (2.13) в виде: x

(теорема 1, п.2.1) можем утверждать, что если в рассматриваемом интервале (a,b) функция (u) u непрерывна (для чего достаточно непрерывности функции (u)) и не обращается в ноль, то в области такой, что a u b, x 0 уравнение (2.15) имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, а через каждую точку (x0,u0) указанной области проходит единственная интегральная кривая. Это же утверждение справедливо для уравнения (2.13), из которого уравнение (2.15) получается подстановкой.

Соответствующее значение параметра C получается из (2.16):

C0 Ф xy0 ln x0 .

0

Таким образом, решение с начальными условиями y(x0) y0 будет иметь вид

18

где Ф 1 - обратная функция для Ф(u).

Область единственности решения задачи Коши a y b или ax y bx, x

x 0, представляет собой внутреннюю часть двух вертикальных углов,

Таким образом, получен общий интеграл рассматриваемого ОДУ. Для получения частного решения подставим в общий интеграл начальные данные

вытекающим из однородного уравнения (2.13), найдутся такие значения u , при которых уравнение (u) u имеет решения, то каждому такому u0 будет