Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800446

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Fk (x)	L	Yk (x)
1F1
1F1
2F2	L
	L
	L	Y(x)
mFm
mFm	Рис. 12
	Рис. 12

Принцип суперпозиции имеет эмпирическое происхождение. Например, в теории тяготения согласно этому принципу гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. И кроме того, гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности.

Подобное поведение физических систем наблюдается в оптике, радиотехнике, теплотехнике и при изучении колебаний ряда механических систем.

Частным случаем этой теоремы является нижеследующая теорема,

широко используемая в расчетах электрических цепей и в теории колебаний.

Теорема 8.

Если система линейных уравнений

A(x)Y F1(x) iF2(x),

где i- мнимая

единица,

F1(x) colon(u1,..., un ) ,

F2(x) colon(v1,...,vn)

действительными функциями aij (x), ui (x), vi (x)

(i, j 1,2,...,n)

имеет решение

Y(x) Y (x) Y (x),

Y (x) colon(y

(1),...,y(n)),

Y (x) colon(y

(1)

,...,y(n)),

то

действительная

часть решения

Y1(x)

его

мнимая

часть Y2(x)

соответственно являются решениями уравнений

dY1 A(x)Y1 F1(x), dx

dY2 A(x)Y2 F2(x). dx

Доказательство.	По	условию L[Y] F1 iF2, где L	- линейный
оператор (5.24). Докажем,	что	L[Y1] F1, L[Y2] F2 . Действительно, в силу
линейности оператора L, получаем L[Y1 iY2] L[Y1] iL[Y2] F1			iF2 .

Учитывая определение равенства комплексных чисел, имеем L[Y1] F1,

L[Y2] F2 .

Теорема 9. Если Y(n)(x) является решением линейной неоднородной системы

L[Y] F ,

(5.50)

140

а Y(0)(x) - решением соответствующей однородной системы L[Y] , то

сумма	Y(n)(x) Y(0)(x) также будет решением неоднородной системы
(5.22).
Доказательство. По условию теоремы L[Y(n)] F и L[Y(0)] , где -

нулевой вектор. Покажем, что L[Y(n) Y(0)] F . Действительно, используя линейность оператора L, будем иметь:

L[Y(n) Y(0)] L[Y(n)] L[Y(0)] F F.

Таким образом, теорема доказана.

Теорема 10 (об общем решении неоднородной системы). Общее решение на отрезке x [a,b]неоднородной системы (5.22) с непрерывными на

[a,b]	коэффициентами aij (x) и непрерывными правыми частями fi (x) равно
	n
сумме	общего решения Yoo(x) CiYi , соответствующей неоднородной
	i 1

системы (Yi (x) - линейно независимые решения однородной системы) и

частного решения Yчн (x) рассматриваемой неоднородной системы.

Доказательство. Как отмечалось выше, достаточными условиями существования и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений

dyk	f	k	(x, y ,..., y	n	) (k 1,2,...,n),

dx			1

с начальными условиями yk (x0) yk0, являются: непрерывность всех функций

fk в окрестности начальных данных и ограниченность	fk	. Очевидно, что
	yk

для нормальной линейной системы с непрерывными aij (x)	и fi (x) эти условия

выполняются при	x [a,b]. Поэтому для доказательства сформулированной
теоремы достаточно показать, что подбором постоянных Ci		в решении
n
Y CiYi Yчн можно удовлетворить произвольно заданным		начальным
i 1
условиям Y(x0) Y0	colon(y10, y20,...,yn0).
Покажем, что векторное уравнение
	n
	CiYi(x0) Yчн (x0) Y0
	i 1
или эквивалентная система алгебраических линейных по		Ci (i 1,...,n)
уравнений

141

Ci y1i(x0) yчн1(x0) y10,

i 1

	n
	Ci y2i(x0) yчн2(x0) y20,
							(5.51)
	i 1						(5.51)


	n
	Ci yni (x0) yчнn(x0) yn0
	i 1
имеет решение C(0)	,...,C(0)	, при любых правых частях y	k0	y	чнк	(x	) системы
1	n		k0		чнк	0

(5.51). Но определитель этой системы равен определителю Вронского в точке x x0. Для линейно независимых решений Y1,Y2,...,Yn соответствующей однородной системы он отличен от нуля. Следовательно, система (5.51) имеет решение C1(0),C2(0),...,Cn(0) при любых правых частях. Теорема доказана.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

В том случае, когда удалось найти общее решение однородной системы линейных уравнений, соответствующей заданной неоднородной системы, для нахождения частного решения последней (а вместе с тем и общего ее решения)

применяется метод Лагранжа.
Теорема 11.		Пусть на сегменте				[a,b] матрица A(x) и вектор F(x)
непрерывны (т.е. матричные элементы aij (x)							и координатные функции fi (x)
непрерывны	при	x [a,b]).		Пусть известна фундаментальная					система
решений	для	соответствующей				однородной системы			уравнений
Y (x) A(x)Y(x) .		Тогда	общее		решение неоднородной системы				уравнений
Y (x) A(x)Y(x) F(x) может быть найдено с помощью квадратур.
Доказательство.			По	условию		теоремы фундаментальная система
решений однородной системы известна; т.е. известны функции
			z11(x),		z12(x), z1n(x),
			z21(x),		z22(x), z2n (x),

			zn1(x),		zn2(x), znn (x).
							n
Решение неоднородной				системы		yk aki(x)yi(x) fk (x)		(k 1,2,...,n)
будем искать в виде						i 1
будем искать в виде
		yk Ci (x)zik (x) fk (x)					(k 1,2,...,n),		(5.52)
			i 1

где Ci(x) (i 1,2,...,n)- некоторые непрерывно дифференцируемые функции.

Отметим, что при постоянных Ci формула (5.52) дает общее решение

142

однородной системы.

Подставим (5.52) в уравнения системы. Получим

n			n	n
					(k 1,2,...,n).
(Ci	(x)zik (x) Ci (x)zik (x)) akj(x) Ci (x)zij (x) fk (x),				(k 1,2,...,n).
i 1			j 1	i 1
Изменив порядок суммирования в правой части этого равенства,
получим
n			n	n
(Ci(x)zik (x) Ci(x)zik		(x)) Ci(x) akj (x)zij (x) fk (x),			(k 1,2,...,n).
i 1			i 1	j 1
Запишем последнее равенство в виде
n	n		n		(k 1,2,...,n).
Ci (x)zik (x) Ci (x) zik			(x) akj (x)zij (x) fk (x),		(k 1,2,...,n).
i 1	i 1		j 1
i 1	i 1		j 1

Принимая во внимание, то что zik (x) - фундаментальная система решений однородной системы уравнений, видим: выражение в квадратной скобке во второй сумме равно тождественно нулю. В результате мы приходим к следующей алгебраической системе уравнений для определения производных

Ci (x)

		n
		Ci(x)zik (x) fk (x),				(k 1,2,...,n)
		i 1
или в развернутом виде
z	(x)C	(x) z	(x)C	(x) z	n1	(x)C	(x) f	(x),
11	1	12	2		n1	n	1
	(x)C2(x) z22(x)C2(x) zn2(x)Cn(x) f2(x),
z21	(x)C2(x) z22(x)C2(x) zn2(x)Cn(x) f2(x),
									(5.53)
									(5.53)

	(x)C1(x) zn2(x)C2(x) znn(x)Cn(x) fn(x).
zn1	(x)C1(x) zn2(x)C2(x) znn(x)Cn(x) fn(x).

Определителем этой линейной системы уравнений является определитель Вронского, который, в силу линейной независимости функций zik (x), отличен от нуля при x [a,b].

Решая систему (5.53) методом Крамера, получим

n	Wki(x)
Ci (x) fk (x)		(i 1,2,...,n),	(5.54)
	W(x)
k 1		Wki (x) - алгебраическое
где W(x) - определитель Вронского (5.33),
дополнение элемента zik (x) вронскиана W(x).		Отметим, что для удобства в

формуле (5.54) вспомогательные определители разложены по столбцу из свободных членов f1(x), f2(x),..., fn (x).

Интегрируя (5.54), находим:

n x		Wki(x)
Ci(x)	fk (x)	Wki(x)	dx ci	(i 1,2,...,n).	(5.55)
Ci(x)	fk (x)		dx ci	(i 1,2,...,n).	(5.55)
k 1x		W(x)
0
	143

Подставив эти значения Ci (x) в формулу (5.52), получаем:

n	n x	Wji(x)	n
yk (x) zik (x) f j(x)		Wji(x)	dx cizik (x),	(k 1,2,...,n).	(5.56)
yk (x) zik (x) f j(x)		W(x)	dx cizik (x),	(k 1,2,...,n).	(5.56)
i 1	j 1x	W(x)	i 1
	0

Формулы (5.56) определяют общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Первые выражения в (5.56) дают частное решение неоднородной системы, а вторые выражения – общее решение соответствующей однородной системы уравнений.

Таким образом, задача интегрирования линейной неоднородной системы сводится к задаче построения фундаментальной системы решений соответствующей ей однородной системы уравнений и последующего нахождения квадратур.

Пример. Найти общее решение неоднородной системы

dy	z,	dz	y	1	ln x,
		dx		x2
dx

если известно общее решение соответствующей однородной системы

y C ex	C	e x ,	z C ex	C	e x.
1	2		1	2

Решение. Общее решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных:

y C

(x)ex C

(x)e x ,

z C (x)ex C

(x)e x.

(*)

Функции C1(x) и

C2(x) определяем из системы уравнений:

C (x)ex

C (x)e x 0,

C (x)ex C

(x)e x

ln x.

C (x)

Разрешим полученные уравнения относительно неизвестных функций

и C (x)

. Складывая эти уравнения,

а затем вычитая из первого второе,

получим:

dC (x)

e x

(x)

ln x

lnx .

Отсюда

C1,2(x)

ln x dx c1,2

где

c1,2 - произвольные постоянные.

Используя метод интегрирования по

частям udv uv vdu, получим:

x 1

u e x,

du e xdx

dv x 2dx,

v x 1

u e x,

du e xdx

e x ln x e x ln xdx c1.

dv x 1dx,

v lnx

Подставляя вычисленный интеграл в выражение для C1(x) и проделав

144

аналогичную процедуру с интегралом, входящим в C2(x), получим:

	1	e x	1							1	ex	1
C	(x)			ln x	c	,	C	2	(x)				ln x	c	2 .

1	2		x		1					2		x

Найденные функции подставим в выражения (*). То есть, общее решение системы записывается в виде:

y c ex	c	2	e x	lnx ,	z c ex	c	2	e x	1	.

1					1				x

5.5.Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами. Метод Эйлера построения фундаментальной системы решений

Вданном разделе изучаются линейные системы дифференциальных уравнений вида (5.15), сокращенная форма записи которых следующая

		dyk	n
		dyk	aki yi fk (x)		(k 1,2,...,n)		(5.57)
		dx	aki yi fk (x)		(k 1,2,...,n)		(5.57)
		dx	i 1
или Y AY F(x) .
Здесь	постоянные вещественные				коэффициенты aki (k,i 1,2,...,n) -
элементы	матрицы		A,	Y colon(y1,..., yn),		F(x) colon( f1,..., fn ),	fk (x)
(k 1,2,...,n)- непрерывные в				(a,b) функции.

Из общей теории линейных систем уравнений, изложенной в предыдущих параграфах этой главы, следует существование решения этой системы и единственность решения начальной задачи. Здесь мы покажем, что систему (5.57) можно проинтегрировать в конечном виде, выражая решение либо через элементарные функции, либо в квадратурах.

В п. 5.5 было показано, что интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной системы. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений можно найти методом вариации постоянных, если известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы

	dyk	n
		aki yi	(k 1,2,...,n),	(5.58)
	dx
		i 1
или		Y AY .		(5.59)

Ниже будет показано, что фундаментальная система решений может быть построена из элементарных функций, непрерывно дифференцируемых в интервале ( , ).

Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы.

Частное решение системы (5.58) будем искать в виде

145

e x,

e x

,...,y

e x

(5.60)

или, что тоже самое, в векторной форме

Y e x ,

colon( 1, 2,..., n),

(5.61)

где

1, 2,..., n

- некоторые постоянные, причем числа 1, 2,..., n не

равны нулю одновременно (при

1 2

... n 0 получили бы

нулевое

решение, которое не может входить в фундаментальную систему решений).

Необходимо найти постоянные 1,

..., n

так, чтобы функции

ke x удовлетворяли системе (5.58) .

Подставляя в векторное уравнение (5.58) искомое решение (5.61) и

учитывая Y e x , находим

e x e x A ,

или

(A E) ,

(5.62)

где colon(0,0,...,0),

E diag(1,1,...,1).

Равенство

(5.62) показывает:

функция

(5.61)

является

решением

рассматриваемой однородной системы в том случае, когда - собственное число матрицы, - принадлежащий этому собственному числу собственный вектор этой матрицы.

В координатной форме уравнения (5.62) представляет собой однородную систему линейных уравнений вида

(a11 ) 1 a12 2 a1n n								0,
			) 2 a2n n					0,
a21 1 (a22			) 2 a2n n					0,
									(5.63)
									(5.63)

a	a	n2	2	(a	nn	)	n	0.
n1 1		n2	2		nn		n

Отметим, что систему (5.63) можно получить и непосредственно, минуя операции в матричной форме, если подставить функции (5.60) в уравнения

(5.58).

Будем искать решения отличные от нулевого. При этом определитель системы (5.63) должен быть равен нулю, то есть

		a11	a12		a1n
( )	A E	a21	a22		a2n	0.	(5.64)
		a21	a22		a2n


		an1	an2	ann

Алгебраическое уравнение (5.64) называется характеристическим

уравнением для системы типа (5.58) с постоянными коэффициентами aij .

Среди корней характеристического многочлена с действительными коэффициентами в правой части (5.64) могут быть:

1)	простые действительные корни i,(i 1,2,...n);
2)	кратные действительные	корни k кратности Sk , при этом
		146

						l
сумма всех кратностей, включая простые корни m с					Sm 1,	S j n,
где l l - число различных корней;						j 1
где l l - число различных корней;
3)	среди	корней	есть	комплексно-сопряженные			пары
m m ivm,	m 1	m ivm, простые или кратные.
Соответственно этим случаем			Y(k)	из (5.60) могут иметь следующий
вид:

1.Все i - действительные и различные.

Тогда фундаментальная

система

решений

может

быть

записана

следующим образом:

y(1)

(1) e 1x; y(1)

(1) e 1x

(1) e 1x ,

:Y(1)

; ;y

(1)

:Y(2)

y(2)

(2)

e 2x; y(2)

(2) e 2x

; ; y

(2)

(2) e 2x ,

:Y(n)

y(n)

(n) e nx; y(n)

(n) e nx

; ;y

(n)

(n) e nx .

Здесь i(k), (i 1,..., n)

находятся

для

каждого

Y(k)

из (5.63)

при

соответствующем значении k

(k 1,...,n). При этом общее

решение

(5.59)

для данного случая имеет вид

(1)

e 1x

(2) e 2x

(n) e nx ;

y (x) C

(x) C

(1)

e 1x

(2) e 2x

(n) e nx ;

(x) C

(1) e 1x

(2) e 2x

(n)

e nx.

Пример 1. Найти общее решение однородной линейной системы

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

y 2z

2y z 2u.

Решение. В матричной форме эту систему можно записать следующим

образом:

AX,

где

0 ,

X y .

Запишем характеристическое уравнение (5.64) для этой системы

147

		1			2		0
	( )	0	1				0			0;					(1 )(1 )(2 ) 0.
		2			1		2
Корни	этого уравнения					1 1; 2 1; 3											2	все			действительные					и
различные, следовательно,				Y(1)		1(1)ex;							2(1)ex;				3(1)ex
				Y(1)		1(1)ex;							2(1)ex;				3(1)ex
				Y (2)		1(2)e x;							2(2)e x;					3(2)e x ,
		(1)		Y(3) 1(3)e2x;									2(3)e2x; 3(2)e2x .
Найдем из (5.63)		(1)	,		(i 1, 2, 3),					соответствующие корню
		i																				1
		(1 1) 1 2 2												0
															0
		( 1 1) 2													0
		2		1		2	(2 )							3	0.
				1		2			1					3
Так как определитель этой системы													( 1) 0, то одно из неизвестных
можно взять в качестве произвольного параметра, поскольку
							Mij			0				2		0
										0				2
										2				1
										2				1
и ранг этой	системы равен двум.							Пусть							3 1,			тогда			2	0 и		1		1	.
и ранг этой	системы равен двум.							Пусть							3 1,			тогда			2	0 и		1			.
Поэтому																									2
Поэтому											1
					Y(1)(t)						1	ex; 0;					ex .
					Y(1)(t)							ex; 0;					ex .

										2
Для определения i2,					(i 1,2,3) получим
	(1	2) 1 2 2						0											2		2	0
	(1	2) 1 2 2						0
								0															0.
	( 1 2) 2							0						, ( 2)					0		0 0		0.
		2 (2 2) 3 0												, ( 2)					0		0 0
	2 1	2 (2 2) 3 0																	2		1 3
Так как ( 2) 0,положим							2	1, при этом										Mij			2	0	0,	поэтому
																					2	0
																				2		3
																				2		3
2 1 0 3 2 2										1;					3		1.
	и следовательно 1									1;					3		1.
2 1 3 3 2

Y(2) e x; e x; e x .

Аналогично для нахождения i(3), (i 1,...,3) будет

148

(1	3) 1 2 2				0		1	2 0

			)		0				0
( 1		3		2		, ( 3)	0	3 0		.

2 1	2 (2 3) 3 0						2	1 0

Пусть 3 1, тогда 2 1 0, поэтому

Y(3) 0; 0;

e2x .

Общее решение системы будет иметь вид

y(x) 1 C1ex C2e x, 2

z(x) C2e x,

u(x) C1ex C2e x C3e2x.

2. Рассмотрим случай, когда среди действительных корней есть кратные. Пусть корень k имеет кратность Sk , тогда этому корню в

фундаментальной системе решений будут соответствовать Sk строк:

: Y(k)

(k)

;

(k)

; ...;

;

:Y(k 1)

(k 1)

x e

;

;...;

1) x e

(k 1)

x e

;

……………………………………………………………..

(k S 1)		(k S 1)		S 1 x		(k S 1)		S 1 x
(k S 1)		(k S 1)		S 1 x		(k S 1)		S 1 x
:Y	k		k	x k	e k ;		k	x k	e k ;...;
		1				2

(k S		1) S	1		x
(k S		1) S	1	k
	k	x k	e	k	.
n

Пример 2.

Найти

общее

решение

системы

дифференциальных

уравнений

2y z

1 y

или

1 0 z

Решение. Характеристическое уравнение этой системы будет

( )

то есть 2

2 1 0

или

Запишем фундаментальную систему решений

x ex ..

Y(1) 1(1)

ex; 2(1)

ex ; Y(2)

1(2)

x ex;

2(2)

Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получим однородную систему уравнений для

определения i( j)	с рангом r 2
	149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.68 Mб6Учебное пособие 800441.pdf
#
01.05.20222.72 Mб1Учебное пособие 800442.pdf
#
01.05.20222.75 Mб14Учебное пособие 800443.pdf
#
01.05.20222.76 Mб2Учебное пособие 800444.pdf
#
01.05.20222.76 Mб4Учебное пособие 800445.pdf
#
01.05.20222.77 Mб7Учебное пособие 800446.pdf
#
01.05.20222.8 Mб7Учебное пособие 800447.pdf
#
01.05.20222.82 Mб3Учебное пособие 800448.pdf
#
01.05.20222.85 Mб2Учебное пособие 800449.pdf
#
01.05.2022355.3 Кб7Учебное пособие 80045.pdf
#
01.05.20222.85 Mб1Учебное пособие 800450.pdf