Учебное пособие 800446

dy

(x,C ).

dx

1

Разделяя переменные и интегрируя, получим его общее решение:

y (x,C1)dx C2.

(3.53)

Рассмотрим примеры интегрирования уравнений вида (3.51).

Пример.

Решить уравнение x3y x2y 1.

Решение. Вводим новую функцию z y , тогда y z . Подставив ее в

уравнение, имеем

x3z x2z 1.

p и его решение

Это линейное уравнение первого порядка относительно

разыскиваем в виде произведения z uv

x

3

2

uv 1.

(u v

uv ) x

Учитывая требования u(x3v x2v) 0, v(x) 0, находим функцию v(x):

dv

dx

v

1

, подставляем в уравнение для определения

u(x)

,

v

x

x

x3u

1

1.

Отсюда

x

dx

1

du

C1.

,

u

x2

x

Таким образом, p

C1

1

, и можно найти функцию y

x

x2

1

y C1

dx

dx

,

y C1ln

x

C2.

2

x

x

x

Пример. Проинтегрировать уравнение y 2y exy 2.

Решение.

Применяя

подстановку

z y , относительно z получим

z u v,

z

Подставим

в уравнение

эти выражения, имеем:

u v uv .

2uv

e

x

u

2

v

2

.

Потребовав,

чтобы одна

из введенных функций

u v uv

dv

dx,

~

2

lnv 2x C1.

v

Частное решение берем в виде:

v e 2x .

Подставим эту функцию во второе уравнение системы. Получаем

следующее дифференциальное уравнение

du

x

2

e

u

.

dx

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

du

e xdx C ,

1

e x C ,

u

1

.

u2

1

u

1

e

x C1

1

,

z

ex C e2x

1

или

dy

1

,

y

dx

C2.

ex C e2x

dx ex C e2x

1

1

Преобразуем интеграл к дробному виду

dx

dex

ex(1 C ex)

e

2x(1 C ex)

1

1

1

A B

D

At(1 C t) B(1 C t) Dt2

1

1

.

t

2

(1 C t)

t

t

2

1 C t

t

2

(1 C t)

1

1

1

положив t 0, найдем

B 1;

положив t 1 C , найдем

D C2

. Далее,

1

1

1

C1

1

C12

.

e

2x(1 C ex)

ex

e

2x

1 C ex

1

1

dx

dex

dex

dex

C1

C12

C1lnex

e

2x(1 C ex)

ex

(ex)2

1 C ex

1

1

1

d(1 C ex)

C1x e x C1ln1 C1ex

C1

1

C2,

ex

1 C

ex

1

кривые, кривизна которых в любой точке равна единице.

Решение.

Воспользуемся

известным

из

математического

анализа

выражением для

кривизны

линии

y(x)

и

приравняем кривизну

единице.

Получаем:

y

y

(1 y

2

3 2

(1 y 2)3

2 1,

или

)

.

Возвращаясь

к

переменной

z,

используем

формулу

sint

tgt

z

. Таким образом, получили общий интеграл уравнения

1 tg2t

1 z2

для функции z (первый интеграл)

z

x C1, откуда

z

x C1

,

1 z2

1 (x C )2

1

или

dy

x C1

.

2

dx

1 (x C1)

Интегрируя,

получаем

2(x C )d(x C )

1

2.

y C2

1

1

1 (x C1)

2

1 (x C1)

2

Возведем обе части равенства в квадрат, получим уравнение семейства

искомых кривых:

(x C )2 (y C

)2 1.

2

1

y(n)

f (y, y , y , , y(n 1)).

(3.54)

Введем новую неизвестную функцию, зависящую от x посредством y:

(3.55)

z(y) y .

Выразим производные по x функции y через функцию z и ее

производные по

y. Имеем, используя правило дифференцирования

сложной

функции:

dy

dz

dz

dy

dz

y

z

,

dx

dx

dy

dx

dy

dy

d

dz

d

dz

dy

d

2

z

dz

2

y

z,

z

z

z

dx

dx

dy2

dx dy

dy dy

dy

.

n

По индукции заключаем, что производная

порядка

функции

y

выражается через новую функцию

z

и ее производные

по

y

до

(n 1) -

го

y z

dz

y z2

d2z

dz

2

,

z

,

dy

dy2

dy

94

y(4)

z3

d3z

4z2

dz d2z

dz

3

z

,

dy3

dy

dy2

dy

(n) zn 1

d

n 1

z

dz

d

n 2

z

y

z,

, ,

.

n 1

n 2

dy

dy

dy

d

n 1

z

dz

d

n 2

z

,

(3.57)

dy

n 1

F

y,z,

, ,

dy

n 2

где

dy

dz

d

n 2

z

1

dz

d

n 2

z

dz

d

n 2

z

F y,z,

, ,

f

y,z,

, ,

z,

, ,

.

n 2

n 1

n 2

n 2

dy

dy

dy

dy

z

dy

dy

Полученное

уравнение

(3.57) имеет

порядок,

на

единицу меньший

z (y,C1, ,Cn 1),

то, возвращаясь к исходной функции y , получим уравнение:

y (y,C1, ,Cn 1).

(3.58)

Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (3.54),

выраженный в квадратурах

dy

x Cn.

(3.59)

(y,C , ,C

n 1

)

1

y за

В заключении отметим следующее. Принимая

независимую

переменную в (3.55), мы могли потерять решение вида

y const . Поэтому в

уравнении (3.54) нужно положить y C . В результате получим

f (C,0, ,0) 0.

содержащие независимое переменное:

y f (y, y ).

(3.60)

Выполним подстановку

z(y) y (x),

(3.61)

откуда y z

dz

. В результате подстановки уравнение (3.60) примет вид

dy

z

dz

f (y,z).

(3.62)

dy

dy

(y,C ).

(3.63)

dx

1

Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл уравнения

(3.60)

dy

x C2.

(y,C )

1

Пример. Найти решения уравнения

(1 y2)yy (3y2 1)y 2.

Решение.

Это

дифференциальное

уравнения 2-го порядка, не

содержащее независимой переменной.

Полагая

y z(y),

т.е. принимая y за

независимую переменную, имеем: y

z

dz

. Уравнение принимает вид:

dz

dy

(1 y

2

)yz

(3y

2

1)z

2

.

dy

Отсюда видно,

что

z 0,

т.е.

y 0

и

y C ,

является решением

уравнения. Разыскиваем ненулевые решения уравнения для z;

y(1 y

2

)

dz

(3y

2

1)z.

dy

Разделяя переменные, получим:

dz

3y2 1

dy.

2

z

y(1 y

)

Разложим

подынтегральную

функцию

в

правой

части равенства на

простые дроби:

3y2 1

A(1 y2) y(By D)

A By D

.

y(1 y2)

y(1 y2)

y 1 y2

y2, получим:

A B 3,

D 0,

B 4.

Итак, разложение имеет вид:

3y2 1

1

4y

.

y(1 y2)

y

1 y2