Учебное пособие 800446

подставим (6.6) в уравнение (6.2) учитывая равенство

(u0 u1( ) O( 2))3 u03 3u02( u1 O( 2))

3u0( u1 O( 2))2 ( u1( ) O( 2))3 u03 3 u02u1 O( 2).

Получим

(u1 20u1 u03) O( 2) 0.

Разделим на , а затем положим 0. Учтя, что 1O( 2) O( ) и что O( 0) 0, получим уравнения для функции u1

Отметим, что и уравнение (6.7) и уравнение (6.10) можно получить из (6.7), если приравнять нулю коэффициенты при последовательных степенях .

Подставим в уравнение (6.10) u0( ) в виде (6.9) и принимая во внимание элементарное равенство

где a1 и 1 – произвольные постоянные.

В силу линейности уравнения (6.11) частное решение этого неоднородного уравнения можно записать в виде суммы двух частных решений, соответствующих каждому из слагаемых в правой части

Оба этих уравнения имеют правую часть специального вида. Поэтому частные решения моделируются, а затем применяется метод неопределенных коэффициентов как это показано в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнения (6.13) корни характеристического уравнения равны i 0, поэтому частное решение записывается в виде

u1(1) (Acos( 0 0) Bsin( 0 0)).

Подставляя в уравнение (6.13) и применяя метод неопределенных коэффициентов для отыскания А и В, получим

Складывая общее решение однородного уравнения (6.12) и частные решения (6.15) и (6.16) получим общее решение уравнения (6.11) в виде

где a0,a1, 0, 1– произвольные постоянные. Хотя мы получили четыре постоянных, но оказывается, что они связаны между собой и для их нахождения вполне достаточно двух начальных условий. Действительно, подставляя разложение (6.18) в условия (6.4), получаем

Приравнивая члены при одинаковых степенях в левой и правой частях

161

этих равенств, получим

3

a1cos 1 1 9 a20 1cos3 0, 4 0

Введя оба равенства (6.19) в квадрат и складывая, имеем

u02 u12 a02, a0 (u02 u12)12.

Из этих же равенств можно найти и параметр 0:

Возведя в квадрат равенства (6.20) и сложив их, получим

Таким образом, все постоянные выражены через две заданные u0 и u1. Преобразуем выражение для решения уравнения Дюффинга, сложив два первых члена в (6.18). Используя известную тригонометрическую формулу, имеем

a0 cos( 0 0) a1cos( 0 1) acos( 0 ),

где

a (a02 2 a0a1cos( 0 1) 2a12)12, a a0 o( ),

Подставляя полученные выражения для амплитуды а и фазы , и отбрасывая члены высшего порядка малости по , получим решение уравнения Дюффинга в виде

u( , ) acos( 0 ) a3( A sin( 0 ) B cos(3 0 3 )) ..., (6.21)

162

Итак, из (6.21) следует, что в первом приближении искомое решение записывается в виде u acos( 0 ). А первая поправка к этому решению есть

a3A sin( 0 ) a3B cos(3 0 ).

Поправочный член будет мал, как это заранее предполагается, только тогда, когда мало по сравнению с единицей. Если же величина имеет порядок О(1), то поправочный член, содержащий этот множитель, может оказаться даже больше главного члена разложения. Поэтому прямое разложение применимо только для таких времен, при которых выполняется

O(1), т.е. для O( 1).

Таким образом, можно утверждать, что подобные разложения являются неравномерными по t, т.к. при больших временах они становятся непригодными. Члены вида t sin( t ) называют вековыми или секулярными членами – термин, возникший в астрономии при описании движения планет.

7.УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

7.1.Понятие уравнения в частных производных и его решения. Типы уравнений первого порядка

Соотношение, связывающее независимые переменные x1,x2,...,xn, изменяющиеся в некоторой области D n-мерного пространства, функцию u(x1,x2,...,xn) и ее частные производные по переменным x1,x2,...,xn до порядка m включительно, называется уравнением с частными производными m - го порядка.

Уравнение в частных производных первого порядка имеет следующий

u u(x1,x2,...,xn),

определенная и непрерывная вместе с частными производными в некоторой

163

области изменения x1,x2,...,xn и обращающая уравнение (7.1) в этой области в тождество. При этом предполагается, что значения x1,x2,...,xn, при которых определена функция u(x1,x2,...,xn), и значения, принимаемые этой функцией и

еечастными производными, лежат в области определения функции Ф.

Вобщем случае уравнение (7.1) является нелинейным уравнением с частными производными первого порядка. Если функция Ф линейна относительно всех частных производных, то уравнение называется

квазилинейным

В том случае, когда в уравнениях (7.2)-(7.4) правые части равны нулю, то уравнения называются однородными.

Уравнение (7.2), а также (7.3) и (7.4) можно записать в виде скалярного произведения вектора A a1,...,an и градиента функции u

i1,i2,...,in - единичные ортогональные векторы.

Используя введенные обозначения, уравнение (7.2) можно записать в

виде

A u b(x1,...,xn,u).

Построение решения уравнений в частных производных первого порядка может быть проведено методами, развитыми в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, представленными в предыдущих главах пособия. В дальнейшем ограничимся рассмотрением уравнений, содержащих два или три независимых переменных.

164

Рассмотрим пример иллюстрирующий характер общего решения уравнения в частных производных

z x z x2y2.

x

Это уравнение 1-го порядка в частных производных, не содержащее

производную z . Считая переменную y фиксированной, рассматриваем его

y

как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и линейное

z 1 z xy2.

x x

Решение ищем в виде

z(x,y) uv,

где y - фиксировано. Используя метод Бернулли, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Частное решение второго уравнения системы имеет вид v x. Подставив это решение в первое уравнение, получим

du y2, u y2x C(y), dx

где C(y) - произвольная функция переменной y. Таким образом, имеем

z(x,y) xC(y) x2y2.

Общее решение зависит от произвольной функции C(y), т.е. содержит еще большую степень произвола, чем в случае обыкновенного дифференциального уравнения.

7.2. Понятие характеристики уравнения в частных производных. Общее решение уравнений

Интегрирование квазилинейных и линейных уравнений в частных производных первого порядка сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим сначала простейший случай однородных линейных уравнений вида

нуль одновременно и непрерывно дифференцируемы на некотором открытом

165

множестве D пространства переменных x, y.

Пусть кривая, заданная параметрическими уравнениями x x( ), y y( )

Вместо системы уравнений (7.6) обычно записывается одно уравнение в симметричной относительно x и y форме

Система уравнений (7.6) называется характеристической системой уравнения (7.5), интегральные кривые уравнения (7.7) (т.е. фазовые траектории системы (7.6) на плоскости x, y) называются характеристиками уравнения в частных производных (7.5).

Покажем, что из решения уравнения (7.7) можно получить решение

где Ф - произвольная дифференцируемая функция, является решением уравнения (7.5). Действительно,

соответствующего ему дифференциального уравнения (7.5). Тогда функция

166

z Ф(x,y) является общим решением уравнения (7.1), т.е. содержит любое

т.е. равенства (7.8) выполняются тождественно в любой точке области D . Будем рассматривать уравнения (7.11) как систему однородных

Но этот определитель является определителем Якоби функций и . Поскольку якобиан функций равен нулю, то эти функции зависимы, т.е.

(x,y) f (x,y) .

Это означает, что (7.10) является общим решением данного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения

представляет собой семейство поверхностей вращения с осью OZ .

2. Рассмотрим линейное однородное уравнение для функции трех переменных u u(x,y,z)

167

соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме, определяющую характеристики уравнения (7.12):

dx dy dz . (7.13) P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z)

Решение этой системы двух уравнений представляется двумя независимыми интегралами

1(x,y,z) C1, 2(x,y,z) C2. (7.14)

Общее решение заданного дифференциального уравнения в частных производных

представляет собой совокупность всех однородных дифференцируемых функций трех переменных нулевой степени однородности.

3. Рассмотрим построение решения неоднородного квазилинейного уравнения

V(x,y,z) 0 - какое либо алгебраическое уравнение, решением которого является функция z z(x,y). Относительно функции V(x,y,z) предполагается,

что V 0. Используя правило дифференцирования неявно заданной функции,

z

получим

Подставляя эти выражения в уравнение (7.16) и умножив обе части на

V , имеем

z

Выше было показано, что функция V(x,y,z) - решение линейного однородного уравнения (7.17), определяется выражением

Общее решение уравнения в частных производных

Ф(x az, y bz) 0

представляет уравнение цилиндрических поверхностей с направлением образующих заданным вектором a,b,1 .

Образующие этих цилиндрических поверхностей – прямые, уравнения которых

x az C1, y bz C2 169