Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800446

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

являются характеристиками данного уравнения.

Пример. Найти общее решение неоднородного уравнения с переменными коэффициентами

y2 z xy z axz.

x y

Решение. Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристик данного уравнения

Выделим два уравнения

axz

Преобразуя, получим

axz

xdx ydy 0,

Проинтегрировав,

находим

интегралы

системы

(уравнения

характеристик)

1 a

C1,

. или

C1,

C2.

Таким образом, общий интеграл заданного уравнения имеет вид

Ф x2 y2,ayz 0.

Отсюда получим

z ya f (x2 y2),

где f - произвольная дифференцируемая функция.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнений

(x 2y)

z f (xy y2).

x y (x y 2z)

(x z)

(y z)

u f

yz,

Ф x

, z

0 или

y xy

x 2xy

2xy

170

7.3. Задача Коши для уравнений с частными производными первого порядка. Решение задачи Коши

Из предыдущего материала следует, что как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с частными производными первого порядка имеют бесконечное множество решений, поскольку в общем решении присутствует произвольная функция. Ввиду большой степени произвола в общем решении в приложениях дифференциальных уравнений по преимуществу интересуются не общими, а частными решениями, удовлетворяющими некоторым начальным данным, однозначно выделяющим решение из бесконечной совокупности.

Задачу Коши рассмотрим для случая, когда заданная дифференциальным уравнением искомая функция, зависит только от двух переменных

		z		z
F x,y,z,		z	,	z	0.
F x,y,z,			,		0.
		x
		x		y
Общим интегралом этого	уравнения является семейство функций

Ф(x,y,z) 0 (Ф - произвольная дифференцируемая функция).

Задача Коши состоит в требовании отыскания в этом семействе поверхности, которая проходит через заданную кривую, определяемую уравнениями

f1(x,y,z) 0,

f2(x,y,z) 0,

т.е. через кривую, являющуюся линией пересечения этих двух поверхностей. Это требование и является заданием начальных условий Коши. В частности, начальные условия Коши можно задать в виде требования, чтобы искомая поверхность содержала заданную плоскую кривую

x x0,

z 0(y).

Пример. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и условию x 1,

z ky (т.е. в сечении плоскостью x 1 эта поверхность дает

прямую z ky).

Решение. Составим уравнение характеристик

ln x ln y lnC,

xy C .

Общее решение

уравнения z Ф(x y). При

x 1

получаем Ф(y) ky.

Решение, удовлетворяющее начальному условию

z kxy

- гиперболический

параболоид.

171

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения уравнений, удовлетворяющее условиям

z 2x при

y 1.

Ответ: z 2xy.

z y2

z y2e2

2 .

при

x 1. Ответ:

z y2

Ответ: y2 x2 ln

при

x 0.

y2 x2

z ln

x a,

а)

1 (т.е. поверхность проходит через эллипс).

a2c2y2 b2x2z2

b2c2x2

Ответ:

б) x a,

1 (т.е. поверхность проходит через гиперболоид).

a2c2y2 b2x2z2 b2c2x2

Ответ:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 1

Найти общее решение уравнения

2xyy y2 4x2

(xy x2)y y2

x2 y2

2x2y 0

xy y xtg

5. 2x2y 4xy y2 0

6. y2 4xy 4x2y 0

x2y 2xy 3y2

x2 y2

2xyy 0

xy' y

10.

xy' y

x2 y2

3x2 y2

11.

xy 2

12. y' e x

13.

14. xy

x2 y2

172

15.

x2 xy 5y2

16. 3y

x2 6xy

17.

2xy y2 (2xy x2)y 0

18.

xy y xey

19.

xy' y

20.

xy' y

x2 y2

x 2y

21.

22.

xy 4

2x2 y2

2x y

23.

2xy y2

(2xy x2)y 0

24.

x y

25.y x2 xy y2

x2 2xy

Задача № 2

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному

условию y(x0) y0

1 2x

y 1,

y(1) 1.

y(0) 1.

2 1

yctgx

sin x

y 3x2y

x2(1 x3)

y(0) 0.

xy y xy2,

y(0) 1.

y y xy2,

y(1) 2.

sin x,

y( )

xy y 2y2 ln x,

y(1)

x2y 2xy 3,

y(1) 0.

10. y 2xy 2x3y3,

y(0)

173

11.	y yctg x 2xsin x,
12.	y	y	x2 2x,

		x 2

13.y y sin x, x

14.y ycosx sin2x,

15.	y		y		2
		x		x3 ,

16.	y 4xy ex(4x 1),
17.	y 4xy 4x3,

18. y x 1y 2 , x2 x

19.y y ln x ,

20.

3x,

x 1

21.

(x 1)3,

x 1

22.

x2 ,

23.

y x3,

24.

2(1 x2)

25.

y xy x3,

y 0.2

y( 1) 3. 2

y( ) 1 .

y(0) 3. y(1) 1.

y(0) 1.

y(0) 1. 2

y(1) 3.

y(1) 1.

y(1) 0.

y(0) 1 . 2

y(1) 1.

y(1) 5 . 6

y(0) 2. 3

y(0) 3.

Задача № 3

Найти общее решение дифференциального уравнения

1.	xy	(1 2x	2	)y	2.	yy				2	0
							(y )
3.	yy				4.	y		y
									0
		y (1 y )

174

5. y 2ctgx y sin3 x

6. y

x(x 1)

x 1

7. y

x2 1 y

8. y

tg x

9. y

10.

2yy

(1 y) 5(y )

1 (y )

12.

2xy

12x

11. 1 (y )

13.

x3y x2y 1

14.

y y tg x sin2x

15.

1) 2xy

16.

2yy

(y )

17.

18.

(y )

19.

20.

tg xy

(y )

sin x

1 y

21.

xy y x2

22.

23. 2yy

24.

ctgx sin x

3 (y )

25.

ln x 1

Задача № 4

Найти общее решение дифференциального уравнения

1.y 9y xcos2x sin 2x

2.y 6y 9y (x2 1)e4x

3.y 16y 64y (2x 3)e8x

4.y 3y 10y sin x 3cosx

5.y 3y 2y e3x(x2 x)

6.y 4y 3y (20x 14)e2x

7.y 18y 90y e 9x(x2 1)

8.y 10y 21y (x2 3x 2)e 7x

9.y 4y xcos2x 3sin2x

10.y 4y 53y e 2x(cos3x sin3x)

11.y y 2cos3x 3sin3x

175

12.y 4y (3x 1)e x

13.y 2y ex(2sin x 3cosx)

14.y 6y 13y e 2x cosx

15.y y 6sin2x

16.y 3y 2y ex(3 4x)

17.y 2y ex(x2 2x 3)

18.y 2y 5y 2cos3x

19.y 4y 8y ex(5sin x 3cosx)

20.y 4y 5y 4ex cos x

21.y 3y 10y xe 2x

22.y 5y 6y (12x 7)e2x

23.2y 5y 11xcosx

24.y 4y 4y e2x sin3x

25.y 4y 7cos2x

Задача № 5

Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных уравнений

8x 3y,

3x y,

2x y.

x 3y.

2x 3y,

x 2y,

5x 4y.

3x 6y.

176

5x 4y,

4x 5y.

x 4y,

x y.

x 4y,

2x 3y.

2x y,

11.

3x 4y.

x 8y,

13.

x y.

x y,

15.

4x 4y.

6x y,

17.

3x 2y.

x 2y,

19.

3x 4y.

x 2y,

4x 3y.

3x 2y,

2x 8y.

7x 3y,

10.

x 5y.

x y,

12.

4x y.

2x 3y,

14.

2x y,

16.

3x 2y.

2x y,

18.

6x 3y.

4x 2y,

20.

4x 6y.

177

5x 4y,

x 8y,

21.

22.

4x 5y.

x y.

x 4y,

3x 2y,

23.

24.

2x 3y.

2x 8y.

x 2y,

25.

3x 6y.

178

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шипачев В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. М.: Наука,

2000.

2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н. С. Пискунов. М.: Наука, 1978. Т. 1.

3.Бугров Я. С. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М.: Наука, 1989. 448 с.

4.Карташев А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и

основы вариационного исчисления / А. П. Карташев, Б. А. Рождественский. –

М.: Наука , 1976. 256 с.

5.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – М.: Наука , 1969. 424 с.
6.	Данко	П.	Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /
П. Е. Данко,		А. Г.	Попов, Т. Я. Кожевникова - М.: Высш. шк., 1986. Ч. 2. –
415 c.

7.Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г. Ю. Резниченко. – М.: Институт компьютерных исследований, 2003. 184 с.

8.Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – Киев: Вища школа, 1984. 408 с.

9.Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. – М.: Мир, 1984.

535 с.

10.Ли Цзун-дао. Математические методы в физике / Цзун-дао Ли. – М.:

Мир, 1965. 296 с.

11.Вержбицкий В. М. Численные методы / В. М. Вержбцкий. – М.:

Высш. шк., 2001. 382 с.

12. Амосов А. А. Вычислительные методы для инженеров / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова – М: Высш. шк., 1994. 544 с.

179

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.68 Mб6Учебное пособие 800441.pdf
#
01.05.20222.72 Mб1Учебное пособие 800442.pdf
#
01.05.20222.75 Mб14Учебное пособие 800443.pdf
#
01.05.20222.76 Mб2Учебное пособие 800444.pdf
#
01.05.20222.76 Mб4Учебное пособие 800445.pdf
#
01.05.20222.77 Mб7Учебное пособие 800446.pdf
#
01.05.20222.8 Mб7Учебное пособие 800447.pdf
#
01.05.20222.82 Mб3Учебное пособие 800448.pdf
#
01.05.20222.85 Mб2Учебное пособие 800449.pdf
#
01.05.2022355.3 Кб7Учебное пособие 80045.pdf
#
01.05.20222.85 Mб1Учебное пособие 800450.pdf