Учебное пособие 800446

Накладываем условие равенства нулю второго слагаемого в левой части уравнения. Получаем совокупность связанных дифференциальных уравнений:

Решаем первое уравнение. Имеем:

где в качестве решения уравнения с разделяющимися переменными взяли частное решение при C 0 (см. п. 2.4). Подставляя во второе уравнение совокупности (*) v 1x, получаем:

формально можно получить из общего решения при C .

4. Рассмотрим задачу о построении линии по ее геометрическим свойствам, сводящуюся к дифференциальному уравнению Бернулли.

Найти линии, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси OY , равен квадрату ординаты точки касания.

По условию задачи (см. рис. 7) OA BM 2. Обозначим координаты точки M через x, y, где M - произвольная точка искомой линии. Тогда BM y.

координаты текущей точки касательной с угловым коэффициентом, равным y .

образом, дифференциальное уравнение задачи имеет вид:

Найдем решение полученного уравнения Бернулли, используя метод сведения к линейному уравнению. Используя подстановку (2.61) для v 2.

Полагая y 1 z, z y 2y , получим линейное уравнение

Рис. 7. Полоса единственности решения линейного уравнения

Воспользуемся формулой (2.52), выражающей общее решение линейного

Заменяя z y 1, получим:

дифференциального уравнения). Отметим, наконец, что полученное уравнение Бернулли можно было решить с помощью разделения переменных, так как p(x) q(x).

41

дифференциальных уравнений 1-го порядка, допускающих интегрирование в квадратурах. Ниже рассматривается новый тип уравнений, занимающий особое место в теории дифференциальных уравнений. Важность этого типа уравнений связана с тем, что к нему сводятся не только некоторые из ранее изученных уравнений, но и многие другие уравнения. Особенно важна связь таких уравнений с теорией потенциала, без которой невозможно построить термодинамику, электродинамику, гидродинамику и ряд других физических и прикладных дисциплин.

1. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

левая часть которого представляет собой полный дифференциал функции

U(x, y), т.е.

непрерывны по обеим переменным в некоторой односвязной области плоскости (т.е. области без “дырок”) и ни в одной точке этой области не обращаются одновременно в нуль.

42

Поскольку полный дифференциал функции двух переменных

то уравнение в полных дифференциалах (2.62), (2.63) можно переписать в виде

Таким образом, решение этого уравнения сводится к нахождению функции U(x, y) по ее полному дифференциалу. Уравнение (2.65) можно,

Очевидно, что особых решений уравнение в полных дифференциалах не имеет.

В простейших случаях, когда заранее известно, что левая часть уравнения вида (2.62) представляет собой полный дифференциал, можно воспользоваться методом подведения под дифференциал.

Суть этого метода проиллюстрируем на примерах. Пример. Найти общий интеграл уравнения xdx ydy 0.

Пример. Найти общий интеграл уравнения (x2 y)dx (x y)dy 0. Решение. Сгруппируем члены, входящие в уравнение так, чтобы каждая

группа являлась полным дифференциалом:

x2dx (ydx xdy) ydy 0,

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и выражение

(x y)2 2y2 C

есть его общий интеграл.

Приведенные примеры показывают недостатки метода: даже когда известно, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, подобрать соответствующие группы, которые являются полными дифференциалами, не всегда просто. Тем более, что до сих пор мы не привели критерия, по которому можно распознать этот тип уравнения.

Поэтому возникают вопросы: как узнать по виду уравнения в форме (2.62), является ли оно уравнением в полных дифференциалах? В случае если уравнение является таковым, как построить функцию U(x, y) и, следовательно, общий интеграл этого уравнения?

2. Признак уравнения в полных дифференциалах и построение общего интеграла.

Теорема. Пусть функции P(x, y)и Q(x, y) непрерывны и имеют

непрерывные частные производные P и Q внутри некоторой области

y x

a x b, c y d . Тогда необходимым и достаточным условием того,

Доказательство. Докажем необходимость условия (2.68). Пусть дифференциальное выражение является полным дифференциалом, то есть справедливо равенство

dU(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy.

Но тогда отсюда и формулы (2.64) следует, что

Дифференцируя первое из равенств (2.69) по y, а второе по x, получим:

По предположению P и Q непрерывны, а значит будут непрерывны и

y x

смешанные производные. По теореме матанализа о смешанных производных они должны быть равны

44

где выбрано решение уравнения, которое при y y0 обращается в нуль. Подставляя (2.72) в (2.70), получаем:

x y

Таким образом доказано, что при выполнении условия (2.68) дифференциальное выражение Pdx Qdy является полным дифференциалом и найдена функция U(x, y) полный дифференциал которой равен этому

Следовательно, общий интеграл выражается в квадратурах. Пример. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Это уравнение не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни линейным. Запишем его в симметрической форме:

(2xy 3y2)dx (x2 6xy 2y)dy 0

и проверим выполнимость условия (2.68). Имеем:

уравнением в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл по формуле (2.74), положив x0 y0 0:

З а м е ч а н и е. Формула (2.74) не имеет симметричной формы: в первом интеграле стоит функция P(x,y), а во втором - функция Q(x0, y), зависящая от

46

Тогда, по теореме существования неявной функции, уравнение (2.76) определяет y как функцию от x: y y(x). И эта функция удовлетворяет условию y(x0) y0. В случае, когда P(x0, y0) 0 (2.76) определяет x как функцию от y, x x(y), удовлетворяющую условию x(y0) x0.

4. Уравнение с разделяющимися переменными – частный случай

уравнения в полных дифференциалах.

Запишем уравнение (2.1) в симметрической форме

Общий интеграл уравнения запишем по формуле (2.74):

Этот же результат получается и непосредственно интегрированием уравнения с разделенными переменными, если в формуле (2.6) неопределенные интегралы заменить определенными с переменными верхними пределами.

5. Рассмотрим вопрос о единственности решения уравнения в полных дифференциалах.

обращаются одновременно в нуль, во первых - имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, во вторых – начальным условием y(x0) y0 , где

48

M0(x0, y0) - любая точка указанной области, определяется единственное решение.

Доказательство. Первая часть теоремы доказана в п. 2 настоящего раздела и там же это решение было фактически построено в квадратурах в виде

единственная интегральная кривая, если в этой точке не обращаются в нуль обе функции P(x, y) и Q(x, y).