Учебное пособие 800446

53.y 2 y ex (x 2). Ответ: y Cx2 ex.

xx

54.(2x 1)y 4x 2. Ответ: y (2x 1)(C ln2x 1) 1.

xlnCx

70

71

интегрирования уравнения (3.6) является нахождение всех движений x(t), определяемых этим уравнением, и изучение их свойств.

x

Рис. 9

В механике наиболее полно эта задача изучена в случае, когда сила f является линейной функцией от положения точки и ее скорости. В этом случае уравнением движения является линейное уравнение второго порядка:

этого уравнения можно найти в квадратурах, а при некоторых функциях f (t) - даже в элементарных функциях.

Рассмотрим геометрическое истолкование дифференциального уравнения второго порядка. Как нам уже известно, дифференциальное уравнение первого порядка задает общее свойство семейства касательных всех его интегральных кривых. Из математического анализа известно, что кривизна кривой y y(x) в каждой ее точке вычисляется по формуле

Всякое уравнение второго порядка (3.3) можно переписать в виде

73

или

второго порядка выражает зависимость между координатами точки M(x, y) кривой y y(x), направлением касательной и кривизной в этой точке. Поэтому интегральные кривые уравнения 2-го порядка в каждой своей точке имеют заданное этим уравнением соотношение между направлением этой кривой и ее кривизной.

Если задать координаты точки M0(x0, y0), принадлежащей интегральной кривой и угловой коэффициент касательной в этой точке (т.е. направление кривой) то, по уравнению (3.9), определится и кривизна интегральной кривой в этой точке. Таким образом, начальные условия вида

y(x0) y0, y (x0) y0 (3.10)

позволяют выделить из семейства интегральных кривых, задаваемого уравнением (3.3), определенную кривую.

Поскольку при данном x задание двух величин y и y определяет интегральную кривую уравнения (3.3), то можно ожидать, что общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка будет зависеть от двух произвольных постоянных

Это соображение можно подкрепить таким не вполне строгим рассуждением. Если исключить из (3.11) параметры C1 и C2 для того, чтобы получить общие свойства функции в (3.11), придется это соотношение дважды продифференцировать по x:

74

в последнем равенстве параметры a и b автоматически исключены. Таким образом, уравнение y 0 представляет общее свойство линий y ax b, состоящее в том, что кривизна (см. формулу (3.7)) этих линий в каждой точке равна нулю.

Обратно, интегрируя это дифференциальное уравнение 2-го порядка,

Получено то же семейство прямых с переобозначенными параметрами. Если потребовать, чтобы искомая линия, проходила через точку (x0, y0) и имела в этой точке угловой коэффициент y k , то получим начальную задачу:

где x0, y0, y0 - заданные числа. Поставленная задача о нахождении решения дифференциального уравнении, удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка.

Перейдем теперь к общему случаю уравнения n–го порядка. Поскольку дальнейшем будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно старшей производной (т.е. уравнения вида (3.2)), то и понятие задачи Коши сформулируем для такого уравнения.

Задачи Коши для уравнения вида (3.2) ставится следующим образом.

75

Среди всех решений уравнения

при x x0 , которые называют начальными условиями этого решения.

Заданные числа y0 , y0, y0, , y0(n 1) - называют начальными значениями

решения y y(x), число x0 - начальным значением независимой переменной.

Решение задачи Коши имеет вид: y x4 1. 4

3. Введем понятие о граничной (краевой) задаче.

Многие задачи физики, баллистики и других естественных и технических наук приводят к решению граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированная в п. 2 задача Коши является лишь одной из важных задач теории дифференциальных уравнений, в

76

которых ищется решение, удовлетворяющее заданным условиям. В краевых задачах условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке (как в задаче Коши), а на концах заданного интервала [a,b]. Решение в этом случае ищется внутри интервала, на концах которого оно обязано удовлетворять определенным условиям.

В случае дифференциального уравнения первого порядка граничные задачи, вообще говоря, ставятся не так, так как в этом случае задание значения искомого решения в одной точке (при определенных условиях, сформулированных ранее) уже определяют единственную интегральную кривую. Таким образом, граничные задачи могут ставиться только для уравнений второго и более высокого порядка.

Граничные задачи не всегда имеют решение, а если решение и существует, то, весьма часто, не единственное.

Пример. Найти решение краевой задачи: y 6x, y (0) 0, y(1) 1. Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем:

y 3x2 C1, y x3 C1x C2.

Подставим граничные условия при x 0 и x 1, имеем:

произвольные постоянные. Наша задача заключается в таком выборе этих

то поставленная краевая задача не имеет решения, ибо мы получили

77

Все решения этой краевой задачи дает формула: y cosx C2 sin x.

Задачи для самостоятельного решения

Найти дифференциальные уравнения следующих семейств кривых:

Убедится, что следующие функции удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

Из решений предшествующих задач выделить частные решения со следующими начальными условиями:

3.2. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Общее частное решение

1. Для дифференциального уравнения n-го порядка также доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши. Здесь не приводится доказательство этой теоремы, а лишь формулируются достаточные условия существования и единственности решения начальной задачи в упрощенной форме для уравнения, разрешенного относительно старшей производной.

Теорема (Пикара). Пусть дано уравнение

и заданы начальные условия

y y0, y y0, , y(n 1) y0(n 1) при x x0 .

78

уравнения 2-го порядка, связанные с исключением параметров C1 и C2, позволяют и дифференциальное уравнение (3.15) или (3.1) рассматривать как результат исключения n произвольных постоянных из уравнения семейства функций

79