Учебное пособие 800446
.pdfгде K - положительное число, M(x, y1, , yn) D. Тогда система имеет единственное решение
y1 1(x), , yn n(x),
удовлетворяющее начальным условиям y1 y1(0), , yn yn(0) при x x0. Это решение определено и непрерывно дифференцируемо (все k (x) имеют непрерывные производные) в интервале x x0 h, где h min a,bM .
3. Понятие общего, частного и особого решений.
Вупрощенной формулировке общее решение системы (5.1)
определяется как семейство решений этой системы, зависящее от n
произвольных параметров C1,C2, ,Cn |
|
|
y1 1(x,C1, ,Cn), |
|
|
y2 2(x,C1, ,Cn), |
(5.8) |
|
|
||
|
yn n(x,C1, ,Cn).
Геометрически общее решение есть семейство интегральных кривых в (n 1)-мерном пространстве x, y1, , yn, зависящее от n параметров
C1,C2, ,Cn, причем уравнения этого семейства линий разрешены
относительно y1, ,yn.
Частное решение системы – это такое решение, которое состоит из точек единственности решения задачи Коши.
Решение, получаемое из общего решения при определенных числовых значениях параметров C1,C2, ,Cn, включая , является частным решением.
Особым решением называется такое, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.
Пример. Найти решение системы
dy |
|
2 |
|
|
|
||
x |
y |
z, |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
(5.9) |
||
|
dz |
|
|
|
|
|
2 |
z, |
где x 0. |
||||
|
|
|||||
dx |
|
|
|
|
Решение. Заданная система, представляет собой совокупность зацепляющихся уравнений – одно из них можно решить независимо от другого. Интегрируем второе уравнение, разделяя переменные
|
|
|
dz |
|
|
x C , |
z 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 z |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
z (x C )2. |
||
|
|
x C |
(x C ), или |
|||||
|
z |
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
120 |
|
|
Подставим найденную функцию в первое уравнение
dy 2 y C1. dx x
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение найдем методом Бернулли: y uv, y u v uv ,
dv |
|
|
2 |
v 0, |
v x2, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
du |
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
v C , |
u |
1 |
C |
2 |
, |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
x |
|
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
откуда: |
y C x C |
2 |
x2 |
, |
z (x C )2 |
(x C ) |
- общее решение системы. |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
Второе уравнение системы (5.9) имеет особое решение z 0. Подставим его в первое уравнение, получим
dy x 2 y. dx x
Решая это уравнение методом Бернулли, получим y x2 C ln x . Итак,
система (5.9) помимо общего решения имеет еще семейство решений
z 0,
y x2 C ln x .
5.3.Интегрирование системы дифференциальных уравнений сведением
кодному уравнению n–го порядка
Впредыдущих разделах 5–й главы рассматривались примеры нахождения решений систем уравнений. Однако используемые там приемы интегрирования не были систематическими, а носили скорее характер ”ad hoc”.
Вэтом разделе будет рассмотрен один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений.
Суть используемого здесь метода заключается в следующем: из уравнений системы и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений системы, исключаются все искомые функции, кроме одной. Для определения этой функции получают одно дифференциальное уравнение n–го порядка (в случае системы из n уравнений). Из полученного уравнения находится одна неизвестная функция, а остальные искомые функции находятся из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования.
1. Общий случай нормальной системы.
Рассмотрим схему приведения системы к одному дифференциальному уравнению n – го порядка в случае системы вида (5.1):
121
|
(k 1,2, ,n). |
(5.10) |
yk fk (x, y1, y2, , yn) |
||
Метод исключения неизвестных реализуется в предположении, что все |
||
функции fk (k 1,2, ,n) имеют непрерывные частные |
производные до |
|
(n 1)- го порядка включительно по всем аргументам x, y1, y2, , yn . |
||
Дифференцируя, например, первое из уравнений (5.10) последовательно |
||
(n 1) раз и подставляя на каждом шаге вместо производных |
|
|
yk (k 1,2, ,n) |
их значения, взятые из правых частей уравнений (5.10), мы получим следующие уравнения:
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
f1 |
|
|
fn, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
y1 |
|
y |
n |
|
yn |
|
|
f1 y |
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
y |
F (x, y , y |
2 |
, , y |
n |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y1 |
F2 |
|
|
F2 |
|
y1 |
|
F2 |
|
yn |
|
F2 |
|
|
|
|
F2 |
f1 |
Fn |
fn |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
y |
n |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
y |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
y |
|
F (x, y , y |
2 |
, , y |
n |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(m) |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
n |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
m 1 |
fi, |
(m 2,3,...,n 1), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
y |
F (x, y , y |
2 |
, , y |
n |
) |
|
(m 2, ,n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
n |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1(n) |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
fl , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
yl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
y(n) F (x, y , , y |
n |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При |
получении |
|
|
|
|
|
|
этих |
|
|
|
|
уравнений |
|
|
|
использовали |
правило |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирования |
|
|
|
|
|
сложной |
|
|
|
|
функции |
|
|
многих |
переменных: |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u f (x, y1, , yn), |
|
где |
|
|
|
|
y1 g1(x), |
|
|
y2 g2(x), |
|
, |
yn gn(x), функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u f (x, y1, , yn ) дифференцируема в точке |
|
(x, y1, , yn ), а функции |
gk (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(k 1,2, ,n) имеют производную в точке |
|
x, то производная по x |
от сложной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции u F(x) f (x,g1(x), ,gn(x)) вычисляется по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF |
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
g1(x) |
|
f |
|
gn (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, получена система (n 1) |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122
|
|
dy1 |
f (x, y , , y ), |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx |
|
1 |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
d2 y1 |
F (x, y , , y |
n |
), |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dn 1y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
F |
|
(x, y , , y |
|
) |
|||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dxn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и еще одно уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d n y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
F (x, |
y , , y |
n |
). |
|
(5.12) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dxn |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дальнейшее продвижение по намеченной схеме заключается в |
||||||||||||||||
исключении из уравнения (5.12) |
функций |
|
|
y1,y2, , yn . Для этого следует |
использовать систему (5.11), рассматривая ее как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных y2, , yn . Требуем, чтобы эта система была разрешима относительно указанных неизвестных. Из математического анализа известно, что для разрешимости такой системы уравнений требуется выполнение условия
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
y3 |
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
F2 |
|
|
0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
y3 |
|
|
|
|
yn |
|
|
|
(5.13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn 1 |
|
|
Fn 1 |
|
Fn 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Предполагая, что условие (5.13) выполняется, выразим из уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||
(5.11) |
y |
2 |
, , y |
n |
через |
x, y y |
, , y(n 1) |
и |
|
|
подставим эти |
выражения |
в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнение (5.12). В результате для функции |
|
y1 получим дифференциальное |
||||||||||||||||||||||||||
уравнение n – го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) f (x, y |
y |
, , y(n 1) ). |
|
(5.14) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1, |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Решив |
уравнение (5.14) |
получим |
функцию y1(x), |
а |
затем |
ее |
|||||||||||||||||||||
производные |
y |
, , y(n 1) . |
Это |
|
позволит |
найти остальные |
неизвестные |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y1, y1, , y1(n 1) |
|
|
|||
y2, , yn , |
поскольку они выражаются |
через |
|
|
из системы |
(5.11).
Можно показать (мы на этом не останавливаемся), что при сделанных предположениях, решение y1(x), найденное из (5.14) а также функции y2, , yn , найденные из (5.11), в совокупности будут являться решением
123
системы уравнений (5.10). И наоборот – решение системы (5.10) будет являться решением уравнения (5.14) и системы (5.11).
Пример. Решить систему уравнений
dy |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
, |
||
|
|
|
|||||
dx |
|
|
z |
||||
|
|
1 |
|
||||
|
dz |
|
. |
||||
|
|
||||||
|
|
y x |
|||||
dx |
|
Решение. Дифференцируя обе части первого уравнения, получим:
|
|
|
|
|
d |
2 y |
1 |
|
|
dz |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|||||
Из уравнений системы имеем: |
|
dx2 |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
dz |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
dy |
|
||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
||
|
dx |
|
y x |
|
|
z2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Подставим эти выражения в предыдущее уравнение и присоединим выражение для z, найденное из 1-го уравнения:
d |
2 y |
1 dy |
|
2 |
z |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx2 |
y x dx |
|
|
|
1 |
dy |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
Для решения уравнения 2-го порядка представим его в виде:
|
|
|
|
d dy |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dx dx |
|
|
dx |
|
|
, |
где |
|
|
|
dx |
|
|
|
d |
ln |
|
y x |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
y x |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим уравнение |
|
|
d |
|
|
dy |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
1 |
|
ln |
|
y x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда |
1 C1(y x), |
C1 0. Преобразуем его к виду: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (y x) C1(y x). dx
Интегрируя, имеем: y x C2eC1x, C1 0, C2 , . Находим вторую неизвестную функцию:
z |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
dy |
|
C (y x) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
C C |
e |
C1x |
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
Таким образом, решение системы имеет вид:
C x |
|
1 |
|
C x |
|
y x C2e 1 , |
z |
|
e |
1 . |
|
C1C2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
124 |
|
|
|
2. Нормальная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
В случае линейной системы с постоянными коэффициентами процедуру исключения неизвестных можно выполнить с большим изяществом. Идея реализуемого ниже метода та же, что и при исключении неизвестных из линейной системы алгебраических уравнений, решаемых методом Крамера. Покажем это на примере системы трех линейных дифференциальных уравнений. Обобщение на случай n уравнений производится автоматически.
Пусть задана нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами aij
|
dy1 |
|
a |
|
|
y a y |
2 |
a y |
3 |
f |
1 |
(x), |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
1 |
|
12 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dy |
2 |
a21y1 a22 y2 |
a23y3 f2 |
(x), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(5.15) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dy3 |
|
|
a |
31 |
y a |
32 |
y |
2 |
a |
33 |
y |
3 |
f |
3 |
(x), |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где fk (x) (k 1,2,3) |
- |
|
|
дважды непрерывно дифференци-руемые функции, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданные на (a,b). Запишем систему (5.15) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
y a y |
2 |
a y |
3 |
f |
1 |
(x), |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a21y1 |
|
a22 |
|
|
|
y2 a23y3 |
f2(x), |
(5.16) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
y a |
|
|
|
|
y |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
y |
|
f |
|
|
(x). |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
31 |
|
|
1 |
|
|
|
32 |
|
2 |
|
|
|
33 |
|
dx |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Эта система формально аналогична системе линейных неоднородных алгебраических уравнений. Как и в методе Крамера введем главный определитель системы, который в нашем случае будет содержать элементы,
зависящие от оператора d : dx
ddx
a |
|
d |
a |
a |
|
dx |
|||||
11 |
|
12 |
13 |
a22 |
a22 |
|
d |
a23 . |
(5.17) |
||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
||
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
||||
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Правило вычисления этого детерминанта такое же, как и для определителя с числовыми элементами. Отличие заключается в том, что при
125
|
d d |
|
d d |
|
d2 |
|||||
”умножении” |
|
|
|
получается символ 2-ой производной |
|
|
|
|
. |
|
dx |
|
dx |
dx |
|
dx |
dx2 |
Таким образом введенный определитель содержит символы производной первого, второго и третьего порядков. Как и для обычного числового определителя для операторного определителя справедлива теорема разложения по элемента какого – либо ряда. Этим свойством мы сейчас и воспользуемся.
Для исключения функций y2 и y3 из уравнений (5.16) умножим обе части первого из них слева на A11, второго уравнения - на A21 и третьего – на
A31, где обозначили Aij - алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя (5.17)
|
d |
|
|
a |
22 |
|
d |
|
a |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
, |
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11 |
dx |
|
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
21 |
dx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
a12 |
|
|
a13 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
d |
|
|
d |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
dx |
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
a23 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
затем сложим эти уравнения. Получим:
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
a |
11 |
|
|
|
|
A |
21 |
a |
21 |
A |
31 |
a |
31 |
y |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A a |
12 |
A |
21 |
a |
22 |
|
|
|
|
|
|
A |
31 |
a |
|
y |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
32 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13
a33 d , dx
(5.18)
(5.17)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A a |
13 |
|
A |
21 |
a |
23 |
|
A |
31 |
a |
33 |
|
|
|
|
|
y |
3 |
(A f |
1 |
A |
21 |
f |
2 |
A |
31 |
f |
3 |
). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
a |
|
|
|
|
|
|
|
A a |
|
|
|
A a |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
11 |
11 |
|
dx |
|
|
|
21 |
21 |
|
|
|
31 |
31 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A a |
A |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
A a |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
11 |
12 |
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
dx |
|
|
|
31 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A a |
A a |
|
|
|
A |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
A f |
|
A f |
|
A f |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
13 |
|
|
|
21 |
|
|
23 |
|
|
31 |
|
|
33 |
|
dx |
|
|
|
11 |
1 |
21 |
2 |
|
31 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
где введена функция
126
|
|
f1 |
|
a12 |
d |
|
a13 |
|
|
|
||||
1 |
|
f2 |
a22 |
|
a |
23 |
|
|
, |
(5.19) |
||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
d |
|
|
|
||
|
|
f3 |
|
a32 |
|
|
a33 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||
то уравнение (5.18) можно записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1. |
|
|
|
(5.20) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Полученное уравнение |
|
для |
|
|
функции |
|
y1 |
является линейным |
неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка с
постоянными коэффициентами. |
Интегрируя это уравнение одним из методов, |
||||||||||||||
изложенным в гл. 4, найдем |
функцию y1. Функции y2 |
и y3 можно |
|||||||||||||
определить из системы алгебраических уравнений |
|
|
|
|
|
||||||||||
a12y2 a13y3 y1 f1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(a12a22 a13a32)y2 (a12a23 |
a13a33)y3 |
|
|
|
|
|
(5.21) |
||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
y |
(a a |
|
a |
a |
|
)y f a f |
|
a f |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dx |
11 |
1 |
12 |
21 |
13 |
|
31 |
1 1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
|
|
|
Первое уравнение системы (5.21) есть первое уравнение |
|
в (5.14). Второе |
уравнение получается дифференцированием этого уравнения, с последующим исключением производных y2 и y3, выражения для которых берутся из второго и третьего уравнений системы (5.15).
При решении системы двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами удобнее использовать метод исключения в виде, изложенном
в п.5.1 этого параграфа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dy |
3y 2z, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dz |
|
2y z. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2z |
dy |
|
dz |
||
Решение. |
Дифференцируем |
|
второе уравнение: |
|
|
2 |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dx |
||||
Подставим в это уравнение y из первого уравнения и y - из второго: |
|
|
|
|
||||||||||
|
y 3y 2z, |
y |
1 |
(z z). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате исключения неизвестной функции y из одного уравнения пришли к следующим уравнениям
127
d2z |
|
dz |
|
1 |
dz |
|
||
|
2 |
|
z 0, |
y |
|
|
|
z . |
dx2 |
dx |
|
|
|||||
|
|
2 |
dx |
|
Первое из уравнений является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его
решение (см. гл. 4) ищем в виде z ekx . Подставляя эту функцию в уравнение,
получим: |
k |
2 2k 1 0, k |
k |
2 |
1. |
Характеристическое уравнение имеет |
|
|
1 |
|
|
|
кратный корень. В этом случае линейно независимые частные решения имеют вид z1 ex, z2 xex. Следовательно, общее решение первого уравнения
записывается так: z ex(C1 xC2). Подставим эту функцию во второе уравнение, получим:
z1ex(2C1 C2 2C2x) . 2
Задачи для самостоятельного решения
Решить системы уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C ex |
C |
2 |
e x |
1 |
cosx, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y y2 |
|
sinx, |
z |
y |
. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
z2 C ex C |
2 |
e x |
sin x. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C ex |
C |
2 |
e x |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
y y |
|
, |
y y , y |
y |
y |
|
y . |
Ответ: |
y |
2 |
C ex |
C |
2 |
e x |
, |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
1 |
3 |
1 |
|
3 |
|
y |
|
C |
|
ex |
2C xex. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (C C |
2 |
x)ex, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
y 2y z, |
z y. |
|
|
Ответ: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x C C |
|
). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ex (C |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y eax(C cosx C |
2 |
|
sin x), |
|||||||||||||||||||
4. |
y ay z, |
z y az. |
|
Ответ: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x C |
|
|
|
|
cosx). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z eax( C |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4.Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений
Вп. 5.1 дано определение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений и приведен вид системы (5.4). В дальнейшем уравнения (5.4) будем записывать в сокращенном виде:
dyi |
n |
|
|
|
aij(x)yj fi(x), |
(i 1,2,...,n) |
(5.22) |
||
dx |
||||
j 1 |
|
|
или в векторной (матричной) форме
128
|
|
|
dY |
A(x)Y F(x), |
|
|
(5.23) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Y и F n- мерные векторы, A - матрица коэффициентов системы |
|||||||||||||
|
|
a (x) |
a (x) |
a |
n1 |
(x) |
|||||||
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
a |
|
|
|||
|
A |
a |
|
(x) a |
|
(x) |
|
(x) |
|||||
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
1n |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
an2(x) |
ann |
|
|
|||
|
|
an1(x) |
(x) |
||||||||||
Y colon(y1, y2,...., yn), |
F colon( f1, f2,...., fn) , где символ “colon” - обозначает |
матрицу-столбец.
Используя правило умножения матриц и определение равенства матриц легко убедиться в том, что уравнение (5.23) равносильно системе уравнений
(5.22).
Если все функции aij (x) и fi(x) в (5.22) непрерывны |
на |
отрезке |
||||
a x b, |
то в достаточно малой окрестности каждой точки M |
0 |
(x |
0 |
, y(0) |
,..., y(0)) , |
|
|
|
1 |
n |
||
где a x0 |
b , выполнены условия теоремы существования и единственности |
(см. п. 5.2). Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (5.23). Это вытекает из того, что правые части системы (5.23) непрерывны, а их частные производные по любому yj
ограничены, т.к. эти производные равны непрерывным на [a,b]
коэффициентам aij(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
все функции |
fi(x) 0 |
(i 1,2,...,n), |
т.е. F(x) colon(0,0,...,0), то |
||||||
система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyi |
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
aij (x)yi |
(5.24) |
||||
|
|
|
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
называется |
линейной однородной. В векторной |
записи линейная однородная |
||||||||
система имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dY |
A(x)Y. |
(5.25) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||
Для изучения свойств линейных систем дифференциальных уравнений |
||||||||||
введем линейный оператор |
|
d |
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
A. |
(5.26) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Тогда однородное уравнение (5.26) можно записать в виде |
||||||||||
|
|
|
|
L[Y] , |
(5.27) |
|||||
где colon(0,0,....,0) - |
нулевой |
вектор, а соответствующее неоднородное |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
129 |
|